XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Что называют нормальной системой ОДУ? Как для однородной нормальной системы линейных ОДУ построить фундаментальную систему решений? [УПЦ 15. Пусть дана нормальная система ОДУ. Что называют ее: а) решением; б) фазовой траекторией; в) интегральной кривой? При каких условиях фазовые траектории системы не пересекаются? [УПЦ 16. Что такое сходящийся числовой ряд? При каких условиях данный функциональный ряд сходится на данном множестве точек: а) поточечно; б) равномерно'? [1Х] 17. Прн каких условиях на периодическую функцию можно утверждать,. что се ряд Фурье сходится к ней: а) в данной точке; б) на данном промежутке? [Ц, .[1Х] 18.
Дайте определение: а) банахова пространства; в) гильбертова пространства. Что называют рядом Фурье элемента гильбертова пространства? Напишите неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. [1Х] 19. Сформулируйте задачу Штурма — Лиувилля. Найдите собственные значения и собственные функции оператора Штурма — Лиувилля в случае граничных условий в виде линейной комбинации функции и ее производной.
[ХЦ, [ХП] ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА'ЧЕНИЯ 4 и ~ — начало и окончание доказательства № окончание примера, замечания замыкание множества г' в нормированном или метрическом пространстве Х111 граница множества Г в нормированном или метри- ческом пространстве 1-185, Х1П множество натуральных чисел 1-1.2 множество действительных чисел 1-1.3 множество комплексных чисел 1-4.3, Х линейное арифметическое пространство 1Ъ' $71 отрезок, соединяющий точки А и В, и его длина 111 АВ, (АВ) вектор (элемент линейного пространства) и столбец п,а его координат 1Ъ' длина (модуль) вектора а П1, 1'Ч )а( ))а(! норма вектора о в нормированном пространстве 1Ъ" нулевой вектор П1, 1Ъ' скалярное произведение векторов а и Ь 1П, 1Ъ' 0 (а, 6) а Е А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) 1-1.1 А с В, В З А множество А является подмножеством В (множество В содержит в себе множество А) 1-1.2 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ А -- матрица, транспонированная к А 111 дсФ А -- определитель матрицы А П1 ~; ая — сумма и слагаемых ам ..., аю ..., а„1-2.6 ь=1 Й = 1, и, — число Й принимает последовательно все значения из множества И от 1 до и включительно 1-2.6 Да), Дх)] значение функции ~(х) в точке а 1-2.1 х(1) - вектор-функция скалярного аргумента 1 11 ~(х) векторная функция векторного аргумента (функция многих переменных) Ъ Есаул ~(х) — градиент скалярной функции ~(х) векторного аргументахх Ъ' х(1), х'ф производная вектор-функции скалярного аргумента 6 11 — (х, у), Д, Д(х, у) частная производная функции ) (х, у) по переменному х Ъ' 1[у] функционал, определенный на некотором множестве функций у(х); значение функционала на функции (в точке) у(х) 1.2 нормы в нормированном пространстве С1~а,6] 1.2 КС~а,6] линейное пространство кусочно непрерывных на отрезке ~а, 6] функций 6.5 С" ~а..6] .
нормированное пространство функций, имеющих непрерывную и-к> производную 1Ъ', 1.2 Бг(й) — - гильбертово пространство функций, суммируемых на множестве й с гс~ с квадратом 1Х бу, бу(х) — вариация аргумента функционала., значение вариации в точке х 1.2 бу' = (бу)' — производная от вариации бу ба~У,бу) — (первая) вариация функционала,1 в точке у 1.2 бозор,бу] — вторая вариация функционала 7 в точке д 5.2 Х* ~х, и) —. вспомогательный функционал, соответствующий функционалу 1~х, и) 7.2 Н(~, х, р) и Н(Ф, х, и) — функция Гамильтона и функция Понтрягина 7.2, 7.3 ~7 -- оператор Гамильтона Ч11 - оператор Лапласа ЧП й(А) и В(А) -- область определения и область значений оператора А 10.2 12 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Буквы латинского алфавита Буквы греческого алфавита Начер- тание Начер- Произно- тание шение Произно- шение Произно- шение Начер- тание йота каппа ламбда ми ни кси омикрон пи пси омега Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят „жи").
А о В Д Г у Ь 6 Е е Х ~ НВ О дд эльфа бета гамма дельта эпсилон дзета эта тэта 1 ь К к А Л М р М и е 1 О о П я Р р Е о. Т т Т о Ф у Х х Ф ф й ш ро сигма тау ипсилон фи хи "ЧАСТЫ Классическое вариационное исчисление Париационное исчисление в широком смысле — это учение об измененип, функций, и в качестве такового оно оказывается продолжением дифференциального и интегрального исчислений. Прп таком понимании, нетример, исследования Пуанкаре о проблеме трех тел образуют глооу вариоционного исчисления, поскольку в и х Пуанкаре из известных траекторий, обладаюиеах некоторым свойсепвом, с помощью принципа варьирования получил новьье. траектории, обладающие нужными свойствами. Д.
Гильберт 1. основные понятия Разнообразие задач, приводящих к поиску максимума или минимума некоторой интегральной величины, весьма велико. Это отражает мудрое высказывание великого Эйлера: „В мире нет ничего, в чем не был бы виден смысл какого-либо максимума или минимума". 1.1. Задачи, приводящие к вариационным проблемам Примеры успешного решения экстремальных проблем можно найти уже в древней истории. Пример 1.1 (задача Дидоны). В 1Х в. до н.э. финикийская царевна Дидона и несколько ее спутников, спасаясь от преследования тирской знати, бежали из г.
Тира и высадились на африканском берегу Средиземного моря. Решив поселиться именно здесь, Дидона упросила местных жителей отдать в ее распоряжение участок земли., который можно охватить шкурой быка (чувствуете двусмысленность постановки вопроса?). Простодушный правитель тех мест не понял всей глубины замысла и согласился отдать беглецам участок земли, который, по его разумению, должен был по площади быть равным площади расправленной шкуры быка. Дидона же после заключения соглашения разрезала шкуру быка на тонкие полоски, связала их в длинный ремень и ограничила им довольно значительную территорию на берегу моря. Так был заложен город Карфаген, который впоследствии был-таки разрушен римлянами.
Задача, которую поставила Дидона, может быть сформулирована следующим образом. Найти такую кривую заданной длины Л (Ь в упомянутой выше истории длина ремня из 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Рис. 1.1 д(а) = у(Ь) = О. (1 1) При сделанных предположениях длина Л криволинейной части границы вычисляется по формуле ~Ъ'1] ь — 1+ у (х) ах, а (1.2) а площадь о земельного участка по формуле ь Н = у(х) дх.
я (1.3) Итак, требуется найти такую гладкую функцию у = у(х), которая удовлетворяет условиям (1.1) и (1.2) (ь' фиксировано) и обеспечивает интегралу (1.3) максимальное значение. Задачи подобного рода ставили и решали (своими, оригинальными, способами) еще Аристотель и Архимед. Так, Архимед установил замечательное свойство окружности: из всех шкуры быка), которая ограничивает на плоскости фигуру наибольшей площади. Формализуем задачу. Считая берег моря прямолинейным, расположим прямоугольную систему координат Оху так, чтобы ось Ох совпала с берегом моря. Предположим, что прямо- У линейная (морская) часть границы участка земли есть отрезок [а, Ь] оси Ох, а криволиу(х) нейная часть является графи- Я ком еладкой (т.е.
непрерыв- но диффсренцируемой) функ- О а ь, Иии у = у(х), .определенной на отрезке ~а., Ь] (рис. 1.1). При этом 1.1. Задачи, принолыпио к нариапионным проблемам 17 замкнутых кривых, длины которых равны некоторому заданному значению, окружность охватывает наибольшую плошадь; из всех замкнутых кривых, которые охватывают заданную площадь, окружность имеет наименьшую длину. Несмотря на наличие древних прецедентов, моментом рождения вариационного исчисления как математической дисциплины принято считать 1696 год, когда в июньском номере журнала, Асса Егпй$огплш» появилось письмо И.
Бернулли, в котором он писал: „Остроумнейших математиков всего мира приветствую я, Иоганн Бернулли! Лк>дей высокого ума нельзя ничем более привлечь к работе, как указать им трудную и вместе с тем полезную задачу, решением которой возможно и славу приобрести, и оставить по себе вечный памятник. Я надеюсь, что заслужу благодарность ученого мира, если я, по примеру Паскаля, Ферма и других великих, предложу лучшим математикам нашего времени задачу, которая даст им возможность испробовать, хороши ли те методы, которыми они владеют, и как велика сила их ума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
