XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Учитывая эту сложность, мы в дальнейшем будем называть точками функции, рассматриваемые как элементы некоторого множества (как правило, нормированного пространства) и как аргументы некоторого функционала. Это аналогично тому, как мы часто называем точкой аргумент действительной функции действительного переменного. В нормированном пространстве можно ввести понятия окрестности точки и непрерывности отображения [1Х], которые аналогичны соответствующим понятиям для числовых функций [1]. Так, е-окрестностью точки ре нормированного пространства 1У называют множество О,-(ре) = 1у Е 1У: ]]У вЂ” ро]] < е). Если в данном нормированном пространстве рассматриваются несколько норм, то каждой норме соответствует своя е-окрестность фиксированной точки пространства.
Рассмотрим банахово пространство С1[а,6], введенное в примере 1.6, б. Наряду с ранее указанной нормой ]].]]с, в этом пространстве часто используют и другую норму: Отметим, что с нормой ]].]]<. линейное пространство С [а,6] уже не является банаховым. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Пусть е — — положительное число. Сильной е-окрестпностью функции до Е С~[а, Ь] назовем множество функций д Е Е С [а,Ь], для которых [[у — до[[с = а [у(х) — до(х)[ < е (а,Ь) Слабой е-окрестпностпью той же функции назовем множе- ство функций д Е С [а, Ь], для которых [[д — до[[с = ах.[[у(х) — до(х) [+ [т/(х) — д'„(х) [) < е.
(а,Ь! Из определений ясно, что функция у(х), попавшая в слабую е-окрестность функции уо(х), попадает и в сильную е-окрестность этой же функции. Другими словами, слабая е-окрестность всегда содержится в сильной е-окрестности. Функционал /[у], определенный на нормированном пространстве М, называют непрерывным в точке уо Е М, если для всякого числа О ) 0 существует такая е-окрестность точки до, что для любой точки у из этой окрестности выполнено неравенство [1[д] — у[до] [ < Ь.
В нормированном пространстве М функций выберем некоторую функцию уо(т) и пусть д(х) произвольная функция из М. Разность у(х) — уо(х) = отд(х) называют вариацией функции уо(х). Сразу подчеркнем отличие понятия вариации от приращения функции в точке. Приращение функции в точке хо есть число, равное разности двух значений функции, а вариация это функция, равная разности двух функций, рассматриваемых в качестве аргумента функционала. Для данного функционала д[д] с областью определения М и данной функции д Е М будем называть вариацию Ьу этой функции допустпимой вариацией, если у+ Ьд Е М.
Для дифферснцируемых функций следует различать производную вариации оу' = (Ьр)' и вариацию производной о(д'). Значением первого 27 Ь2. Оенопиые определения понятия может быть лишь функция, являющаяся производной допустимой вариации, а значением второго — любая допустимая вариация.
Рассмотрим приращение функционала /[у], определенного на нормированном пространстве С'[а,6], в точке у, соответствующее вариации (приращению аргумента) бу: Ь,У[у] = /[у+ бу] — 7[у]. Пусть его можно представить как сумму (1.9) Ь,7[у] =,7[у+ бу] —,7[у] =,71 [у,бу] + о(бу), (1.10) где .71 [д,бд] функционал, линейный относительно бу, а о[бу) — функционал, являющийся бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с [[бу[] при бу — о 0 относительно нормы [[ [[ .~ в С [а,6], т.е.
-+ 0 при [[бд]] — + О. [о(бу) [ [[бу[[.,~ Тогда функционал 7[у] называют дифференцируемым в гпочне д, а линейный функционал о1[д, бу] сильным дифференциалом (дифЯеренциалом Фреияе). Понятие диффсренцируемости функционалов аналогично понятию дифференцируемости функций.
Функция Дх) одного действительного переменного дифференцируема в точке х, если ее приращение Ь1 [х) в этой точке можно представить в виде[И] Ьу[х) = АЬх+о(Ьх)., где А не зависит от Ьх, а о(Ьх) /Ьх — > 0 при Ьх — ~ О. Обратим внимание на то, что в этом представлении первое слагаемое АЬх линейно относительно приращения Ьх.
Коэффициент А первого слагаемого представляет собой производную 1'[х) функции в точке х. 28 ». ОСНОВНЫЕ ПОНЛТИЛ Первой вариацией бТ[д,бу] функционала У в точке у называ»от предел И[у,бу] = 1пп ' = —,1[у+ обд] . (1.11) а — ~0 о а=в Этот предел представляет собой функционал, который каждой вариации бу (при фиксированном д) ставит в соответствие число. Если этот функционал линеен (по бу), то его называют слабым дифференциалом (дифференциалом Гатов) в точке у.
Замечание 1.2. В вариационном исчислении часто под первой вариацией понима»от то, что мы назвали дифференциалом Гато. Другими словами, считают, что первая вариация функционала линейна относительно вариации функции. Теорема 1.1. Если функционал /[у] дифференцируем в точке у, то его дифференциал Гато в точке у существует и совпадает с дифференциалом Фреше. Выберем некоторую вариацию бу в точке у и вычислим предел ,У[у+обу] —,У[у] 3»[у,обу]+о(об1») б1[у.,бу] = 1пп = 1»ш в — »О о а — »О о + О =,Т» [у, бу]. о,Т» [д, бд] а — »О о Здесь второе равенство справедливо в силу дифференцируемости,1[у], третье — в силу линейности,7» относительно бу. При этом следует учесть, что 1пп ' = ]]дд[[1ш» .' = []бу]] О = О, о(обу) о(об»д) а эе о ' а ~0 [[оду[] так как при о — » О []обу[] = ]о]][бу]] — » О.
29 К2. Оеновлые определение Доказанное равенство показывает, что первая вариация б/~д, бд) дифференцируемого функционала представляет собой функционал, линейный по бд. Поэтому, согласно определению, этот функционал и есть дифференциал Гато, который оказался равным дифференциалу Фреше. ~ Утверждение, обратное теореме 1.1, неверно: дифференциал Гато может существовать и у недифференцируемого функционала. Чтобы показать это, обратим внимание на следующее. Понятия дифференциала Фреше и дифференциала Гато не связаны с конкретным видом нормированного пространства, и их можно рассматривать, например, в конечномерном линейном арифметическом пространстве.
В этом случае функционал есть просто функция многих переменных, а дифференцируемость такого функционала совпадает с дифференцируемостью его как функции многих переменных ~У). Первая вариация функционала в конечномерном случае соответствует производной по направлению. Действительно, если задан, функционал" 1: ее" — ~ Й, то „вариацией' аргумента х является произвольный вектор бх. Если этот вектор имеет единичную норму !)бх!) = 1, то значением первой вариации,,функционала' на этом приращении будет 1(х+ пбх) — ~(х) ду о — ~0 СХ дп т.е.
производная функции 1 по направлению и = дх. В общем случае 11~х,бх1 = ))бх(( —, ду дп' бх где и = . . Линейность первой вариации относительно бх 'ебх!! означает, что первая вариация представляется через скалярное произведение (1.12) 11[х,бх] = (а, бх), Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ где а — - некоторый вектор. Отметим, что для дифференцируемой функции Т вектор а совпадает с градиентом этой функции. Функция двух переменных (х1 хз) 1 (О ())' 1[х1,хг) = О, х1=,Фх~ ~или (х1, хз) = [О, 0) имеет производную в точке [О, 0) по любому направлению, равную нулю, и, следовательно, имеет в этой точке „дифференциал Гато', так как производную по направлению можно представить в виде (1.12), если в качестве а взять нулевой вектор.
В то жс время эта функпия не является непрерывной в точке (О, 0), а потому не дифференцирусма в этой точке, т.е, не имеет „дифференциала Фреше". В вариационном исчислении важнейшими являются функционалы, заданные с помощью интегралов, например В и т.д. Такой функционал будем называть интегральным функционала.н, а подынтегральную функцию соответствующего интеграла интегрантом. Выясним достаточные условия для существования сильного и слабого дифференциалов у функционала ,/[У] = Т(х,11,д') Их, а [1.13) заданного на нормированном пространстве С~[а,б[ с нормой Пусть Т дважды непрерывно дифференцируемая функция трех переменных.
Запишем приращение функционала на некоторой функции р(х) Е С [а, о), .соответствующее некото- 1.2. Основные определения рому приращению бу(и) аргумента: СьЯ=,МД+))У~ —,)1У]= Дт,У+бр,р'+дУ)дх — У(т,У,У')дт= а а 6 =1(п*,и-';ии и'-';ир) — л*,и и)) и*. Применим к подынтсгральной функции формулу Тейлора: Ь ар= 1 )и(,р р)иррй (,*,р р)ррр а + — 1'„", (т,у+дбу,у'+дну')(ду) +~„"„,(т,у+дну,р'+дну')дубу'+ + — ~„",„,(и,у+ ддр,у'+ Яу')(оу')2) е)л, (1,14) 2 где д Е (О, 1), вообще говоря, зависит от переменного и.
Отметим, что первые два слагаемых подынтегральной функции в (1.14) представляют собой непрерывную функцию переменного т. Значит, оставшиеся слагаемые в совокупности образуют непрерывную функцию, которую можно интегрировать. Оценим соответствующий интеграл*: < — 1 ()1ир)~', и)ир))ир)1 и)1ир)') р с а < 2Ж (о — а)((ду))~~о = о(оу). Векторный аргумент функции у и ее производных не выходит зв предолы некоторого замкнутого ограниченного множества С в ЬС'. Поэтому из непрерывности функции 1 и ее производных следует их ограниченность на С [ р').
Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Здесь Д' = шах1~У„".„1, !Уя'„~, ~УЬ'я ~). Так как ду Йх = (ду)'Йх= гь(ду)., то, интегрируя по частям | ~,',(х,у,у')ду'ь1х = ф (х,у,у')ьК(ду) = а а ь Ь = (Х„', (х, у., у') ду) — / — Д(х, у, у') ) ду г1х, а находим, что приращение функционала можно представить в ВИДР аз=|(у,'(.,д,Д) — — у,',(,р,рфрн ~ а ь + (,|„' (х, у, у')ду) + о(ду), (1.15) т.с, в виде суммы функционала, линейного относительно ду (первые два слагаемых) и бесконечно малой высшего порядка относительно ду при ду -+ 0 (третье слагаемое).
Значит, дифференцируемость функционала доказана и найден его дифференциал Фреше, который можно представить в виде з а ~М =|а,л+Х,'ай„ а (1.16) поскольку первые два слагаемых в (1.15) получены преобразованием интеграла (1.16) интегрированием по частям. Для существования дифференциала Гато достаточными являются более слабые условия непрерывности функции | и ее частных производных |„' и |„',. Действительно, вычисление 33 Ь2. Основные онределеннл первой вариации сводится к дифференцированию интеграла по параметру: ОХ[у,бу] = —, / ~(х,у+седу,у'+себу') дх дел у о=о а Ь 6 — у (х,у+обу, у'+оду') йх = / (~„'бу+ ~„',бу') сЬ. дсс о —.-О Для законности такого дифференцирования достаточно непрерывности подынтегральной функции и ее частной производной по параметру [Ч1], что обеспечивается поставленными условиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
