XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Полученная первая вариация является линейным функционалом относительно бу, т.е. представляет собой дифференциал Гато. Говорят, что функционал 1[у], определенный на линейном пространстве С'[а,.б], достигает сильноео (слабого) минимума на функции (в точке) у, е С [а,б] (или у„доставляет соответствующий минимум функционалу /[у]), если найдется такал сильная (слабая) е-окрестность функции у,(х), что для любой функции у(х) из этой окрестности выполнено неравенство /[у] ),У[у,]. Если для любой функции из этой окрестности, отличной от у„(х), указанное неравенство является строгим, то такой минимум назывзлот строеим. Сильный (слабый) мансимум вводят аналогичным образом.
Сильные (слабые) максимумы и минимумы объединяют под общим названием сильный (слабый) энстремум. Функцию у„(х), доставляющую сильный или слабый экстремум функционалу 1[у], будем называть точной соответствующего экстремума функционала. Поскольку всякая функция, принадлежащая слабой е-окрестности функции у„(х), .заведомо входит в се же сильную е-окрестность, то всякий сильный экстремум одновременно является и слабым. Действительно, пусть, например, у,(х) есть точка сильного минимума функционала,7[у].
Это значит, Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ что для некоторого е > 0 для любой функции у(л), для которой ((у — у„!)с < е,. выполняется неравенство,У[у[ >,У[у„[. если Йу — у, Йс~ < е, то также и ))у — у,((с < ю Поэтому неравенство ,1 [У) >,У[У,[ верно для любой функции У(ж) из слабой е-окрестности функции у„(ж), т.е. у„(т) является точкой слабого минимума для Уу|. Однако слабый экстремум функционала не обязательно является его сильным экстремумом.
Это объясняется тем, что функции, близкие по своим значениям (попадающие в сильную е-окрестность), могут иметь значительные расхождения в производных, а это, в свою очередь, может повлиять на значения функционала. Рассмотрим функционал Функция 1(1) = 1 — 1 при 1 = 0 имеет локальный минимум, равный нулю. Этот минимум является строгим на интервале — 1 < 1 < 1. Значит, если функция у(и) Е С'[а,Ь~ подчиняется неравенству ~~У~~О1 < 1., то интегрант нашего функционала на отрезке [а,б] неотрицатслен, а функционал имеет неотрицательное значение.
Из этого следует, что функция у,(ж) = 0 является слабым минимумом функционала. Нетрудно, однако, придумать функцию, которая удовлетворяет условию ~~д~~с < е для произвольного, наперед заданного е > О, но значение функционала на которой будет отрицательным (например, можно взять у(х) = О,бея1п(ки), выбрав подходящий параметр й). Следовательно, у, не является сильным экстремумом функционала. Отметим, что, как правило, нахождение слабых экстремумов функционала является более простой задачей по сравнению с нахождением сильных экстремумов.
Это объясняется, в частности, тем, что функционалы, обычно рассматриваемые в вариационном исчислении, непрерывны относительно ..слабой" 35 Ь2. Оснонныс определения нормы [[ [[са пространства С~ [а, Ь], но далеко не всегда непре- рывны относительно „сильной" нормы [[ [[,. Таким, например, является функционал, рассмотренный выше. Теорема 1.2 (необходимое условие экстпремума функционала). Если функционал (1.13) достигает слабого экстремума во внутренней точке у„(х) своей области определения, причем в этой точке существует дифференциал Гато,то этот дифференциал (первая вариация) в точке д,(х) обращается в нуль: ЬУ[у„бу] = О.
(1.17) м Пусть., например, функционал 7[у] на функции у,(х) достигает слабого минимума. Рассмотрим функцию ~р(о) =,7[у, + оду], имея в виду,что вариация бу фиксирована. Из условий теоремы вытекает, что эта функция имеет экстремум в точке о = О. Действительно, существует такое е > О, что в слабой е-окрестности выполняется неравенство,У[у] > 1[у„]. Если у = д„+ обд, то при ]а[ ( г/[[йу[[с~ имеем [[у де[[оп = [[о"у[[оп = [о[[[ну[[оп ~ с т.е.
функция у(х) попадает в слабую е-окрестность функции у,(х). Следовательно, 7[д] > у[у„], или ~р(о) > ~р(О). Замечание 1.3. Поиск экстремумов функционала базируется, как и в случае поиска экстремумов действительной функции действительного переменного, на различных необходимых и достаточных условиях. Из изложенного выше вытекает, что любое необходимое условие слабого экстремума является в то же время и необходимым условием сильного экстремума, а любое достаточное условие сильного экстремума является достаточным условием и слабого экстремума.
Поэтому доказываемая ниже теорема для слабых экстремумов названа необходимым условием экстремума функционала, так как может использоваться и для слабых, и для сильных экстремумов. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Из существования дифференциала Гато функционала,71у] в точке у„следует дифференцируемость функции «р(о) при о = О. В самом деле, зафиксируем произвольную вариацию бу. Тогда существует предел у«'ь(о) = 1пп ' ' ' =б,71у„,бу]. ««=-о «« — «-«о о В силу линейности б,71д„, бу] по бу существует и производная ,71у„+ обу1 —,1«у,] «р~ (о) = 1пп =о «-о о 11у, — ~Збу] —,11у„], 1~у„+13( — бу)] —,11у„] = 1пп = — 1ш д — «-«-о —,3 в — «-«-о и = — б,У~д„, — бу] = б1~д„, бд]. Односторонние производные совпадают. Следовательно, существует производная ««.«'(0) 11Ц.
Так как у«(о) имеет минимум в точке о = 0 и дифференцируема в этой точке, то ««.«'(0) = 0 (необходимое условие локального экстремума для функции одного переменного 11Ц). Но это равносильно тому, что б.«'1у„бу] = О. Поскольку вариацию бу можно выбирать произвольно, заключаем, что дифференциал Гато равен нулю. ь 1.3. Основные леммы вариационного исчислении Докажем несколько утверждений (часто называемых основными леммами вариационноео исчисления),которые будем активно использовать в дальнейшем.
Лемма 1.1 (лемма Лаеранэка). Если функция Т(х) непрерывна на отрезке 1а, Ь] и для любой бесконечно дифференцируемой на ~а, Ь] функции я(х), для которой «1(а) = я(Ь) = О, КЗ. Основные леммы ввривнионного исчисления выполнено равенство 1(х)~~(х) ссх = О, а то ~(х) = О на ~а, Ь). < Предположим, что в некоторой точке хо Е ~а, о) функция ~(х) отлична от нуля. Не теряя общности, мы можем предполагать, что Дхо) ) О. Тогда, в силу непрерывности функции Дх)., можно выбрать интервал (с, с~), окружающий точку хо, хо е Е (с, с)) С ~а, о), на котором функция Дх) положительна. Нетрудно показать, что функция е-'(т, х) О; Ч (х) = О, х< О имеет производную любого порядка в каждой точке числовой оси.
Поэтому функция ц(х) = ~р(х — с)~р(д — х) бесконечно дифференцируема и при этом отлична от нуля только в интервале (с, с)). Значит, ~(х)ц(х) с)х = ~(х)~~(х) дх ) О, так как подынтегральная функция непрерывна и поаожительна на (с, сс). Итак, предположение, что ~(х) отлична от нуля хотя бы в одной точке, ведет к нарушению условий леммы. Следовательно, если для функции ) (х) выполняются условия леммы, то ~(х) =О. ~ Замечание 1.4. а.
Назначение доказанной леммы обеспечить достаточные условия интегрального типа, при выполнении которых заданная функция обращается в нуль. Она может 38 Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Дх,у)П(х,д) рхдд = О, О 6 то Т (х, у) = О в С. Доказательство этого утверждения повторя- ет доказательство леммы отличаясь лишь тем, что в качестве пробной следует взять функцию п(х, у) = р(гэ — хэ — уз), обраща- ющуюся в нуль вне круга х2+ д~ = г~. Лемма 1.2 (лемма Дюбуа-Реймона). Пусть функции Т'(х) и д(х) непрерывны на отрезке [аэ 6] и для любой бесконечно дифференцируемой на [а, 6] функции Н(х), для которой П(а) = = П(6) = О, выполнено равенство (1.18) Тогда функция 1 (х) непрерывно дифференцируема на [а, 6] и Т'(х) — д(х) = О на [а..
6]. (1.19) ~ Непрерывная функция д(х) имеет первообразную на отрезке [а, 6]., которая определяется с точностью до постоянной. Суще- формулироваться для различных классов пробных функций П(х). При этом, чем уже класс этих функций, тем сильнее утверждение леммы и тем проще проверка достаточных условий.
Класс С~, используемый в приведенной формулировке леммы., выбран из практических соображений. б. Доказанная лемма легко обобщается на общий случай функций многих переменных. Например, в двумерном случае верно следующее утверждение. Если функция Т" (х,д) двух действительных переменных непрерывна в ограниченной области С Е Ф и для любой функции п(х.,д), бесконечно дифференцируемой в области С, непрерывной в замыкании С = С+ дС области и равной нулю на границе дС области С, верно ра- венство КЗ.
Огнавныв леммы ввривнионнага исчисления ствует такая первообразная С(х) функции д(х), что (1.20) Действительно, если Се(х) некоторая фиксированная перво- образная функции д(х), то любая первообразная С(х) может быть представлена в виде С(х) = Се(х) + С. Подставляя это в равенство (1.20), получаем условие на постоянную С: ь ь Г ~да — ал,ви.— 1 аг,=а Отсюда находим С = / (11х) — Се(х)) пх. 1 !' а Итак, пусть С(х) первообразная функции д(х), удовлетворяющая равенству (1.20). Тогда для любой пробной функции 0(х) Е С [а,Ь), г)(а) = д(Ь) = О, имеем, согласно формуле интегрирования по частям: Г д(х)д(х) Йх = С (х) ц(х) с1х = а а Ь ь ь = С(х)0(х) — / С(х)д'(х)сЬ: = — С(х)т((х)г1х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
