XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 6
Текст из файла (страница 6)
а, Поэтому равенство (1.18) равносильно следующему: к осноннын понятия Рассмотрим произвольную пробную функцию П(х), удовлетворяющую условиям леммы. Обозначим 1 С„= ! п(х)дх. Функция является бесконечно дифференцируемой, и при этом Да) = = ~(6) = О. Согласно условию леммы, для такой функции верно равенство (1.18) и, следовательно, равенство (1.21), т.е. 11" 1х) — С(х)) ~'(х) дх = О.
х а В силу соотношения Дх) = Н(х) — С„получаем ь ь Следовательно, согласно (1.20), | 11" 1х) — С(х))П(х) дх = О. а Так как пробная функция П(х) выбиралась произвольным образом, по лемме 1.1,Лагранжа заключаем, что т'(х) — С(х) = О. Но функция С(х) дифференцируема и С'(х) = д(х). Поэтому и функция Дх) дифференцируема и 1'(х) ив е д(х). Так как д(х) непрерывна, то т' (х) непрерывно дифференцируема. ~ к4. Некоторые заметание о задачек вариационяото исчисления 41 1.4.
Некоторые замечания о задачах вариационного исчисления Приведенные выше примеры иллюстрируют тот круг задач, которые изучает вариационное исчисление. Можно сказать, что задача вариационноео исчисления (или просто вариационная задача) — зто задача поиска экстремума функционалаа, заданного на некотором множестве ЛХ функций, которые удовлетворяют определенным ограничениям. К вариационным задачам также относят задачи поиска точек в области определения функционала, в которых выполняется необходимое условие экстремума функционала, т.е.. первая вариация функционала обращается в нуль (такие точки называют стаационарны ни тпочками функционала). В вариационном исчислении трудность при нахождении экстремума может возникнуть вследствие того, что область определения рассматриваемого функционала не является замкнутым множеством. В этом случае задача может не иметь решения.
Такая трудность, естественно, не исключается и в конечномерном случае, когда ищется экстремум функции многих переменных. Но в бесконечномерном случае, когда область определения функционала есть бесконечномерное линейное пространство, условие замкнутости множества проверить гораздо труднее.
Впрочем, вариационная задача может не иметь решения даже в том случае, когда область определения функционала является замкнутым множеством. В бесконечномерном нормированном пространстве не для всякого замкнутого ограниченного множества можно утверждать, что функция, непрерывная на этом множестве, ограничена и достигает максимального и минимального значений. Рассмотрим вариационную задачу ,7[у) = 1+(у')эду — ~шш 42 Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ в классе функций, дважды непрерывно дифференцируемых на (а, 6), непрерывных на ~а, 6), имеющих в концевых точках а и Ь нулевые значения (у(а) = у(Ь) = О) и вертикальную касательную (11'(а) = у'(6) = оо).
Это задача поиска кратчайшего пути из точки (а, О) в точку (Ь, О) при условии, что в концевых точках пути задано вертикальное направление движения. На рис. 1.б видно, что функцию из рассматриваемого класса можно выбрать так, что длина ее графика будет сколь угодно мало отличаться от длины отрезка оси Ох, соединяющего точки (а, О) и (Ь, О), который имеет наименьшую длину среди всех кривых, соединяющих его концы. Однако сам отрезок является графиком функции, тождественно равной нулю, которая не относится к множеству допустимых функций. Таким образом, функционал нс достигает минимума на рассматриваемом множестве функций. Рис. ц6 В вариационном исчислении существование решения заданной задачи поиска экстремума требует отдельного доказательства, и это составляет существенную трудность при решении многих задач вариационного исчисления.
Как будет показано в 2, задача поиска стационарных точек некоторого функционала сводится к решению дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений (в зависимости от рассматриваемого функционала уравнения могут быть как обыкновенные, так и в частных производных). Например, вариационнзя задача ь 3~рД = Ях, у, у') дх -+ ехьг, д(а) = у„, у(6) = уь и П4. Некоторые замечания о задачах нариационното исчисления 43 Пример 1.8. Рассмотрим краевую задачу < ун+У=О, а(х(б, у(а) = уо у(б) = уь (1.22) Общее решение дифференциального уравнения в этой задаче имеет вид у(х) = С1 сьзвх, + Со вшх.
Краевые условия приводят к следующей системе линсйных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных пос'Гоянных С1 и С2 ° < С~ сова+ Счв1па = уа, С1 совЬ+ Сев1пб = уь. Определитель матрицы этой СЛАУ равен: сова в1па = совавшб — совбвша = в)п(б — а). сов б в1пб Система совместна и имеет единственное решение, если Ь вЂ” а, ф у'=и;т, пЕИ. при некоторых предположениях сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения вида уц = у(х,у,у') с дополнительными усювиями у(а) = у„, у(Ь) = уь и к последующему анализу полученного решения. Задачу ун = ~р(х,у,у'), у(а) = уо, у(б) = уь в теории дифференциальных уравнений называют краевой ~Ъ'11Ц. т1тобы краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) н-го порядка была правильно поставлена, необходимо, чтобы количество краевых условий равнялось порядку уравнения н, так как общее решение ОДУ и-го порядка зависит от и произвольных постоянных.
Даже если задача поставлена правильно, решение может не существовать, а если существует, то может быть не единственным. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Пусть 6 — а = я. Тогда получаем систему < С1 сова+ С2 япа, = уа, С1 сов(а+ я) + С2 я1п(а+ я) = уь. В силу формул приведения для тригонометрических функций второе уравнение системы эквивалентно уравнению — Сь сова — С2Япа = Уь, и мы видим, что решенио С,ЛАУ существует лишь при у„= — уь.
Если это равенство верно, СДАУ будет иметь бесконечно много решений, так как второе уравнение системы будет следовать из первого, а первое уравнение имеет бесконечно много решений вида С1 = уасояа+1в1па, С2 = у,я1па — Ьсова, 'ь Е К. Вопросы и задачи 1.1. Найдите расстояние между функциями у1(х) = х2 и у2(х) = хз по норме пространства: а) С[О,Ц; б) С [0,1]. 1.2. Покажите, что функционал 1 1[у] = [у — у') 1х, о определенный на С' [О, .1] с нормой [[. [[С О является непрерывным на функции уе(х) = х . 1.3. Покажите, что функционал ] У)2~ о определенный на С [0,1], разрывен на функции уе(х) ь— е 0 в случае нормы [[ [[с., но непрерывен на этой функции в случае нормы [[ [[с„. 45 Вопросы и задачи 1.4. Функционал 1У 1+ [,))2д О определенный на С [О, Ц, исследуйте на непрерывность на функции уо(и) =О по норме: а) )) ))В, б) )) ))с, 1.5.
Покажите, что функционал 1 О определенный на пространстве С[О, Ц, непрерывен на функции уо(х) = х2 по норме )Н(, . 1.6. Докажите, что любой линейный непрерывный функционал в нормированном пространстве является дифференцируемым. Запишите его дифференциал. Ь 1.7. Докажите, что функционал,7[у) = / р дх, определенный а в С[а,Ь), является всюду дифференцируемым. Запишите его дифференциал. 1.8. Проверьте, являются ли дифференцируемыми следующие функционалы: а),7[у) = у(а) в С[а,Ь); б) з[у] = у(а) в с')зь) )х)1)=Ю,)) с)ьИ; )хМ=ч)ГАУФ с)аЗЬ 1.9.
Найдите первую вариацию функционала, определенного на нормированном пространстве непрерывно дифференцируемых функций: 1 1 ) Гм =/ 'чг+ю'м й ~)у) =/Ь''"-'- Г)зг а — 1 з 1 '" /"-" '" " '"/(" " )' О О 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМИ ГРАНИЦАМИ 2.1. Простейшая задача вариационного исчисления Рассмотрим задачу об экстремуме функционала ,б(у] = 1(т,у,р')(бт, (2.1) определенного на множестве функций у(х) Е С '(а, 6], удовлетво- ряю)них условиям у(а) = ум у())) = уз. (2.2) бб(б бб) = ( (б(ббб~-б,',бб) б*.
а (2.3) Здесь ау Е С'(а,б] и ау' допусбаимая вариация функции у(ж) и ее производная. При этом ву~ = ду~в — — О, поскольку Предполагаем, что интеерант функционала 1(ж,у,у') --. дважды непрерывно дифференцирусмая функция трех переменных. Сформулированную задачу называют вросгаейибей задачей вариационноео исчисления. Именно на этой задаче отрабатывались основные приемы данной дисциплины. Первую вариацию функционала (2.1) при указанных условиях на функцию 1(набу, у') можно записать в виде (1.16): 2. К Простсйзнаа задана нариалионного исчис тенин 47 условия (2.2) фиксируют значения допусшп„мыя функций на концах отрезка и, значит, вариация функции в этих точках должна иметь нулевое значение.
Теорема 2.1. Для того чтобы функция у„(аа) доставляла слабый экстремум функционалу (2.1), необходимо, чтобы она удовлетворяла уравнению — — 7" =О. с1 с1я У У (2.4) ~ Используя необходимое условие эксшрежума для дифферен- цируемого фунвциенаяа (гм. те орему 1.2) и вид (2.3) первой вариации функционала, получаем Это соотношение верно для любой допустимой вариации зд, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
