XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 7
Текст из файла (страница 7)
для функции ду Е С'[а,6), удовлетворяющей краевым условиям ду(а) = ду(6) = О. В частности, оно верно для любой бесконечно дифференцирусмой функции, удовлетворяющей тем же краевым условиям. Поэтому, согласно лемме ДюйуиРсйменп для любого ж Е [а, 6] выполняется равенство (2.4). > Согласно замечанию 1.3, уравнение (2.4) дает необходимое условие и для сильного эксгпрсмума функционала (2.1). Это уравнение называют уравнением Эйлера для функционала (2.1), а гладкие решения этого уравнения — экстпрелсаяями функционала. В дальнейшем для упрощения изложения мы под экстремалыо будем понимать не только функцию д(х), являющуюся решением уравнения Эйлера, но и график этой функции, т.е.
кривую на плоскости хОу, которая описывается уравнением у = у(ж), Так как условие (2.4) является необходимым., точки экстрезсула функционала следует искать среди экстремалей этого 2.К Просгейшая задача вариационного исчисления 49 Из этой системы находим С1 — — 1, С = 4. Итак, поставленным краевым условиям удовлетворяет лишь одна экстрсмаль рассматриваемого функционала: у = х+ 4. ф Предполагая, что функция у(х) является дважды дифференцируемой, и используя правило дифференцирования сложной функции, преобразуем первое слагаемое в левой части (2.4): и и ! я, и — „,, 1„=1уз+~„„у+~у„~у нх С учетом этого запишем уравнение Эйлера (2 4) в следующей форме: 1„, у +Яику +~„,.
~я О Видно, что если выполняется неравенство ~„'~,„, ф О, то уравнение Эйлера представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка, удовлетворяющее теореме Коши существования и единственности решения ОДУ. При 1'~,, = О оно уже не является уравнением второго поряд- Р'Р' ка; оно либо ОДУ первого порядка, либо алгебраическое, т.е. не содержащее производных неизвестной функции. Повторим, что эти умозаключения основаны на предположении, что решения уравнения Эйлера дважды дифференцируемы.
Возникает вопрос: при каких условиях на функцию 1 это предположение выполняется? Теорема 2.2. Пусть у(х) - решение уравнения (2.4). Если интегрант 1(х, у, у') имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то во всех точках плоскости хОу, в которых )„'... ф О, функция у(х) имеет непрерывную вторую производную. Уравнение Эйлера далеко не всегда интегрируется в квадратурах.
Поэтому важно выявить такие случаи, когда интегрирование в квадратурах возможно. Рассмотрим некоторые из них. 50 2. ЗЛДЛЧИ С ФИНСИРОНЛННЫМИ ГРАНИЦАМИ 1. Интегрант не зависит от д'. В этом случае ~,', = О и уравнение Эйлера имеет вид ~„'(х.,у) = О, т.е. является алгебраическим уравнением относительно неизвестной функции у(х). Решения этого уравнения, т.е. экстремали функционала, могут и не удовлетворять поставленным краевым условиям. Пример 2.2. Найдем экстремали функционала ь Я[у] = азах, удовлетворяющие краевым условиям у(а) = ум у(Ь) = уз. Уравнение Эйлера Зуз = О рассматриваемого функционала имеет единственное решение р(х) = О. Если хотя бы одно из чисел д1 и уз отлично от нуля, то в множестве С [а, Ь] функционал не имеет экстремалей, удовлетворяющих поставленным краевым условиям.
2. Интегрант линейно зависит от у'. Этот случай, включающий в себя и предыдущий, охватывает те функционалы, интегранты которых удовлетворяют условию ~„",„, = О. Такие функционалы называют вььроэкденными. Если ~(х,у,у') = Р(х, ц) + Я(х, у)у', то уравнение Эйлера принимает вид — — Р— Цу=О. сЮ я у Раскрывая производную — по правилу дифференцирования сЦ дх сложной функции, получаем ~' + Я'„у' — Р~ — (~'„у' = О, или Это уравнение, как и в предыдущем случае, алгебраическое. Его решения могут не удовлетворять краевым условиям.
Отметим, что если выражение Рдх+ Яду представляет собой полный 2. Ь Простейшая задача аариацнонного исчислении 51 дифференциал, то уравнение Р„' — Я' = О является тождеством относительно х и у. В этом случае любая функция у(х) Е С' [а, 6] является решением уравнения Р„' — Я~ = О и, следовательно, экстремалью функционала. Пример 2.3. Найдем экстремали функционала (у +уу')дх, удовлетворяющие краевым условиям у(а) = ум у(б) = уз.
Уравнение Эйлера — 2у = О данного функционала имеет единственное решение у(х) = О. Если одно из чисел ум уч ненулевое, экстремэлей., удовлетворяющих заданным краевым условиям, нет. 3. Интегрант зависит только от д'. В этом случае он имеет вид ~(у'), а уравнение Эйлера для функционала --. д ~~=О. дх " Нетрудно увидеть, что это уравнение допускает понижение порядка ~УН1]: ~', = С. Мы получили алгебраическое уравнение относительно у'. Все его решения можно записать в виде у' = Сн где С1 -- произвольная постоянная.
Таким образом, экстремалями функционала с интегрантом рассматриваемого типа является семейство линейных функций у = С~ х+ С2 с произвольными постоянными С1 и Сг. Пример 2.4. Найдем экстремали функционала Г ь'-.") «-, а удовлетворяющие краевым условиям у(а) = ум у(6) = у2. 52 2. ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМИ ГРАНИЦАМИ Так как интегрант функционала зависит только от у', то решениями уравнения Эйлера для этой задачи являются линейные функции у(х) = С1х+ Сз (С1 и Сз — — произвольные постоянные). Два краевых условия позволяют выбрать единственную функцию у(х) = ' (х — а) + уг 4. Интегрант не зависит от у.
Этот случай включает в себя предыдущий. Интегрант имеет вид Дх,у'), а уравнение Эйлера сводится к следующему: и оно, как и выше, допускает понижение порядка: ~,', = Со Последнее уравнение есть ОДУ первого порядка или алгебраическое уравнение (например, в предыдущем случае). Пример 2.5. Найдем экстремали функционала ЯУ ') = (ун + 2ху~) йх, л удовлетворяющие краевым условиям у(а) = ум у(б) = уз. Уравнение Эйлера 4 — (2у'+2х) = О дх этого функционала после понижения порядка сводится к уравнению у'+ х = Сь Решая его, получаем семейство экстрсмалей у(х) = С1х+ Сз — хз/2. Постоянные С1 и Сз однозначно находятся из краевых условий при любых у1 и уя. 5.
Интегрант не зависит явно от х. В этом случае он имеет вид ) (у,у'), а уравнение Эйлера при дополнительном 53 2П. Простейшая задача вариационного исчисления предположении, что ~„",, ф О (см. теорему 2.2) сводится к РР следующему: а с я я I У„,яд + У„,„, д — Уа = О.
Умножив его на д', получим ссх Таким образом, и в этом случае уравнение Эйлера допускает понижение порядка: д'У„',— У=С,. Пример 2.6. Найдем экстремали функционала у~ ] ( (+ сх) а Уравнение Эйлера после понижения порядка сведется к уравнению первого порядка д'(д+ 2д') — дд' — д'2 = С, или (д') 2 = С. Отсюда д' = шъ~С = См и экстремалями рассматриваемого функционала будут линейные функции д(х) = С1х+ С2. Пример 2.7. Найдем экстремали функционала в задаче И. Бернулли о брахисьчохроне (см.
пример 1.2): Ь | г1+Р 1 1, д(О) =О, д(Ь) =д„>О. ,с2уд о В данном случае интегрант не зависит от х и является дважды непрерывно дифференцируемой функцией в области д > О на плоскости хОу. В этой области можно использовать теорему 2.1, и мы заключаем, что уравнение Эйлера для рассматриваемого функционала допускает понижение порядка: Я+ дс2 д — С „2уд /Яду,,/~+ дс2 54 2. ЗАДА НИ С ФИКСИРОВАННЫМИ ГРАНИЦАМИ Отсюда находим Возводя в квадрат и учитывая константу 2д в постоянной С,. получаем д(1+ д") = С, > О. Мы получили уравнение первого порядка,. не разрешенное относительно производной ~Ъ'ПЦ.
Его удобно решать методом введения параметра. Положим д' = сЦф. Тогда 1+ д'~ = = 1/в1г1з~ и д =, = С1 в1п~ ф. д/2 (2.5) Мы выразили переменное д через параметр. Далее, равенство д' = с15ф означает, что г1х = 1бфй(. Подставляем в это равенство выражение дд через дф, которое получается дифференцированием (2. 5): г1х =1дф С1 2втд~совфйф = 2С1в1пзфйф. Интегрируя, выразим переменное х через параметр: х = С1(24 — нш2ф+ Сз, где С1 = С1/2 > О. Заменив параметр на д = 2д и обьсдинив выражения х' и д через новый параметр, получим параметрические уравнения циклоид < х = С1 (д — вшд) + Ссч д = С~(1 — совд).
Эти уравнения описывают все экстремали функционала в области д > О. Посмотрим, как из всего семейства указанных функций выделить те, которые удовлетворяют краевым условиям д(0) =О, д(5) = дн. Но при этом отметим, что точка (О., 0) 2.К Простейшая задача вариациоииого исчисления 55 не входит в рассматриваемую область у ) 0 на плоскости хОу и выделенные функции, строго говоря, нельзя считать экстремалями на всем отрезке ~0, 61. Условие у(0) = 0 равносильно двум условиям: и(д) = О, у(д) = О.
Из второго получаем д = 2п.г, и Е Х, а из первого —- 2пхС1 + Сз = О. Подставляя в параметрические уравнония вместо Сз найденное выражение, получаем < и = С1 ((д — 2пя) — яп д), у = С1(1 — сов д). < еэ = С1 (Π— вщО), у = С1(1 — совВ), (2.6) где О = 0 соответствует начальной точке и = О, у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
