XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Как и в случае задач с фиксированными концами, величину бз'[у,бу,бочбу,бь,буь) = Ьо'[О) назовем вариацией функционала /[у, оп 6) в задаче с подвижными границами. Формула (3.12) вариации функционала как частные случаи содержит: — формулу для первой вариации функционала в вариационной задаче с подвихеньими концами — при ба = бб = О; — формулу для первой вариации функционала в прое1пейшей задаче вариаиионноео исчисления — — при бу, = буь = ба = бб = О.
По аналогии с выводом формулы [3.12) можно получить вывод формулы в более общем случае Функционала, зависящего от нескольких функций, определенных на общем подвижном отрезке [а, 6): ь у[у) = Пх,у,у') дх, в, [3.13) ь „ бУу,бу,ба,бу„,бб,буь) =! 'ч (['„' — — ~'„',)буьдх+ в г=1 и п +~ ~„'[бу, + (,) — ~у„',1д.',) бб— и п — ~„' бунд — [ 1' — ,'ь ~'„' у;') ба. (3.14) 1=1 — и=в Рассмотрим еще одну зада 1у. Пусть функционал д[у) определен на гладктлх функциях, концы графиков которых лежат на двух фиксированных кривых у = ~р(х) и у = 1р[х), определенных где у = (у1, уз, ..., у„) Е С'[а,б), а функция 1:(х,у,у') дважды непрерывно дифференцируема. В этом случае для вариации функционала имеем 84 3.
ВАРИАПИОННЫЕ ЗАДА НИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ на [вы Ьв) (рис. 3.4). Пример ва- У риационной задачи с такой обла- р(х) стью определения функционала и = и(х) дает задача вычисления расстояния между двумя кривыми. Если некоторая функция у(х) доставляет экстремум функцио- О аоа 0 налу /[у), то она является точкой экстремума среди всех функций, графики которых имеют с графиком у(х) общие концевые точки. Значит, указанная функция у(и) удовлетворяет уравнению Эй,лера, т.е.
является эистрема,лью рассматриваемого функционала. Следовательно, в общей формуле (3.12) для вариации функционала первое слагаемое равно нулкь Поэтому в данном случае необходимое условие экстремума принимает вид У ~ бур+ (1 —,1,~у) ЬЬ ~ ~ Ьуа (.~ 1 ~у) Ьа =О. х=-а х=р х=.а Поскольку концы графиков допустимых функций лежат на фиксированных кривых, то дур = р" (Ь)ЬЬ: дуа = ~РУ(а)5а. Поэтому аХ[у,ау.,аа,аЬ~ = (1+(р) — у~)~„) аЬ— — (/'+ (~р' — у')~„' ) ба = О.
В силу независимости вариаций да и ЬЬ (1+(1с'' — У')ар ) = О, (1+ (У' — У))р ) = О, (3.15) что дает краевые условия в данной задаче. 3.2. Задача г подвижными граиицами Краевые условия (3.15) называют условилмн трансверсальносупи. О кривой у = р(х), удовлетворяющей условиям трансверсальносги (3.15)), говорят, что она трансверсальна кривым р = )р(х) и у = ф(х).
Пример З.З. Выясним геометрический смысл условий трансверсальности для часто встречающихся в приложениях функционалов вида (3.16) У~у) = А(х у) 1+ (у))2)1х а где А(х,у) дважды непрерывно дифференцируемая функция (см. примеры 1.1- 1.5). Пусть этот функционал исследуется на экстремум в классе гладких функций, концы графиков которых лежат на кривых у = )р(х) и д = у)у(х), где функции )р(х) и у)у)х) непрерывно дифференцируемы. В А ° У .
А(,,уУУ) =А(ЯУ)ДУУ)У) Поэтому Видим, что для функционалов данного типа условия трансверсальности выражаются особенно просто: у'(6) = — 1/у))'(5) в точке 6 и аналогично у'(а) = — 1/)р'(а) в точке а. Таким образом, условия трансверсальности экстремалей рассматриваемого функционала к кривым у = )р(х) и у = у))(х) в данной задаче с подвижными границами есть условия их ортогональности этим кривым.
86 а ВАГИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИ~КНЫГИИ ГРАНИЦАГИИ 3.3. Экстремали с угловыми точками В вариационном исчислении есть задачи, в которых область определения функционала не может ограничиваться классом С [а,Ь]. Из самой постановки задачи может вытекать, что функция, доставляющая экстремум функционалу, в некоторых точках теряет дифференцирусмостьч и если она и имеет односторонние производные в такой точке, то эти производные различаются. К числу таких задач принадлежат задачи на отражение и преломление экстремалей, являющиеся обобщением задач на отражение и преломление световых лучей.
Задача об отражении экстремалей. Эта задача ставится следующим образом. Найти кривую у = у(х) (рис. 3.5), которая соединяет фиксированные точки А(а, ул) и В(Ь, ун) и имеет одну угловую точку С(с, ус), расположенную на кривой у = = ~р(х), причем функция у(х) доставляет экстремум функционалу О Ь /[у] = г'[х,у,у') сЕх. Рис.
3.5 В этом случае область определения функционала /[у] есть множество функций, непрерывно дифференцируемых на [о, Ь] всюду, кроме, возможно, одной точки, являющейся угловой точкой, т.е. в этой точке существуют односторонние производные. Отметим, что если функция у(х) доставляет экстремум функционалу 1[у], а ес угловая точка есть (с, у(с)), то сужения функции на отрезки [а, с] и [с, Ь] являются знстрелаллми функционала. Действительно,. зафиксировав точку с и значения функции на отрезке [с, Ь], мы можем рассмотреть функционал с 1,[у] = у(х,у,у')дх а 3.3. Экстреивли с угловыми топками на классе функций С [а,с], который отличается от исходного постоянным значением (значением интеграла по отрезку [с, д]) и достигает минимума на функции Ях).
Значит, функция у(х) является решением уравнения Эйлера на отрезке [а, с]. Аналогичные рассуждения можно провести и для отрезка [с, Ь]. Удобно представить функционал,у[у] в виде суммы двух интегралов: э[у] = 1(ху,у )с1х+ )(х,уу )дх = 1~[у]+ Уз[у]. Тогда необходимое условие экстремума, функционала принимает вид дд1[у,бу]+ бдя[у,ду] = О. По существу, мы имеем две вариационные задана: перввя --.
на отрезке [а, с] с фиксированным левым концом и правым, движущимся вдоль кривой у = ~р(х); вторая на отрезке [с., д] с движущимся вдоль кривой левым концом и фиксированным правым. Мы можем на отрезках [а, с] и [с, д] рассматривать только экстремали исследуемого функционала.
В этом случае первые вариации функционалов д~ [у] и да[у] имеют вид (см. 3.2) д.7~ [у,ду] = () + (~р' — у') )„',) ] дс, дда[У,дУ] = -У+ [Р'-У')~о )]с,оде Тогда необходимое условие экстремума И1 [у, ду] + б.7о [у,. ду] = О в силу произвольности дс принимает вид [1+['р уК)]с о [1+['р — у)~и)]г о=О: или [У+ М' — у')Х,')]с о = [.)'+ [р' — у')1„') ]„, Р 18) Условие (3.18) будем называть условием отпраэсенил. 88 3.
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДА ЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ то получаем (при А(и,д) ~ О) (3.19) Пусть рм Дя - углы наклона односторонних касательных (слева и справа) к кривой д = = д(х) в точке С., о угол наклона касательной к кривой д = = ~р(и) в той же точке (рис. 3.6). Тогда угол падения, т.е. острый х угол между дугой АС и кривой д = ~р(ж), равен я — р1 + а., а угол отражения, т.е. острый кривой д = у(т)., равен )Зя — о. Так О а Рис. 3.6 угол между дугой СВ и как $8)11 = д'(с — О),. $613э = д'(с+ О), 18 о = у'(с), условие (3.19) можно записать следуюшим образом: 1 +око 16~31 1 + 18о Фк)12 )веса ( (вес~32! Учитывая, что косинусы углов Д и Дз имеют разные знаки (один из этих углов острый, а другой тупой), получаем ~1 (1+18 16~З)+: а~1 (1+18 18)З) =0 или после преобразования соя(~31 — о) + соя(рз — сх) = О.
Выясним физический смысл условия отражения для функционалов вида (3.16). Так как, согласно (3.17), при ф = ~р 89 3.3. Экстргмали с угловыми точками Полученное равенство с учетом диапазона изменения рассматриваемых углов означает, что к — Д + о = Д2 — о., т.е. угол падения кривой д = у(х) равен углу отражения.
Если луч света распространяется со скоростью с(х,у) в неоднородной плоской среде., ограниченной кривой у = ~р(х), то время Т, затраченное на прохождение луча из точки А(а, ул) в точку В(о, ув), выражается интегралом Ь ,/ о(х., д) а (3.20) Задача о преломлении экстремалей. Пусть в простейшей задаче вариаиионного исчислени (2.1), (2.2) концы графика допустимой функции А(а, у,); У~к) и В(о, ув) находятся по разные стороны от гладкой кривой у = Р, = ~р(х), которая разбивает полосу ((х, у): а ( х ( о) на две области Р1 и Ря (рис.
3.7), причем Рис. 3.7 (~1(х,д,д'), (х, д) с Р1, й~,у,д') = ~ ~1г(х,д,д'), (х, д) с Рз, где 11(х, у, у') и 1з(х, у, у') --. дважды непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов. В этой задаче, как и в предыдущей, в ка гестве области определения функционала следует выбрать множество функций., у Свет распространяется так., что луч проходит от одной точки до другой за минимальное время. Мы имеем дело с вариационной задачей для функционала вида (3.16).
Реальная траектория луча является решением вариационной задачи, и мы получаем подтверждение известного физического закона: угол падения луча света на отражающую поверхность равен углу отражения. 90 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДА НИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ которых график в точках пересечения с кривой у = др(сс) может иметь излом. Мы предполагаем, что допустимая функция непрерывна, а в указанных точках имеет конечные односторонние производные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
