XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Она описывает изменение температуры при 1 > т в точке М, вызванное мгновенным выделением в момент времени 1= т в точке Мо количества теплоты, численно равное с. Используя (12.56), задачу (12.54), (12.55) можно свести к граничному интпегральному уравнению (ГИУ)'. ы(Мо) У(1, Мо) = 7'(М) со(1, М, Мо) сЕЪ'+ с +ъ11ос,Р) е-,ен) — тьР~ 'з-,мнос сз/Р)<. он + а 1~~1(т, М) ис(1 — т, М, Ма) с1тс11.с, (12.57) а р где ис'(1 — т, Р, Мо) = ('~со(1 — т, Р, Мо)) п(Р). Если промежуток времени, в течение которого рассматривается процесс не- стационарной теплопроводности, разбить на интервалы Ыь = =1ь — 1я, и в пределах каждого Й-го интервала принять функ- "См., например: Карташов Э.М, б58 Нь ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ции Т(1,М), а(1,Р) и 7~~1(1,М) не зависящими от времени, заменив их на Ть(М) = Т(1я, М), оь(Р) = 9(1ь, Р) н 1~~~(1ММ) соответственно, то вместо (12.57) получим ГИУ ы(Мо)Ть(Мо) = Т(1ь ММ)ш(Ыь,М,Мо)НУ+ м +а оь(Р) ш(1я-т, Р Мо)йт г1Я(Р)— Я Ск-1 с, — а Ть(Р) ш (1ь — т, Р,Мо)йт ВБ(Р) + л ~й-1 и + 1ь~ (СММ) ю(1ь-т, М1 Мо) с1т сХУ(М).
(12.58) Для численного решения ГИУ (12.58) при помощи МГЭ поверхность з разобьем на граничные элелеиты (ГЭ) с общим числом Мл граничных узлов Р„Е о, и = 1, Ж~, а область Ъ"— на конечные элементы с общим числом Лк внутренних узлов М~ Е Ъ', 1= 1, М~. Тогда (12.58) можно свести к матричному уравнению н,и,=ад,+пМ,, +в„, (12.59) где 17ь и Яь — матрицы-столбцы размера Фл х 1 с элементами Ть(Р„) и оь(Р„) соответственно; Нь и Сь — матрицы порядка Мя; И'ь 1 — матрица-столбец размера (Мн+ Ф~ ) х 1, элементами которой являются известные значения температур в граничных и внутренних узлах в момент времени 1я 1 в начале Й-го интервала (при Й = 1 зти значения соответствуют начальному распределению температуры); Оь — матрица раз- 659 (24.
Нестационарные задачи мера (((л х (()(л+ д(к) с элементами у((М)ен(ЫюМ,Р )дУ(М), где ~р((М) — функция формы, соответствующая внутреннему или граничному узлу с номером! и использованная при аппроксимации функции Т((ь ыМ), М Е У; Вь — матрица-столбец размера )чл х 1, элементы которой м Ь(~) = ур()((ь, М) из((я-т, М, Р ) с1т с(У(М) отражают влияние внутренних источников энерговыделения на значения Ть(Р„) и с(ь(Р„), и = 11, ))(л. Значения элементов матриц Ню Сь и Ва зависят, как зто следует из (12.58), от значения Жю конфигурации области У, расположения граничных и внутренних узлов, а также от способа аппроксимации функций Ть(Р), са(Р) в пределах каждого ГЭ и функции Т(1ь ы М) в пределах каждого конечного элемента.
При Ыь = сопа1 элементы этих матриц не будут зависеть от номера интервала, так что нижний индекс й в их обозначениях может быть опущен. Как и в случае решения уравнения Пуассона (см. 12.2) интегралы, входящие в выражения диагональных элементов Ьтт и от матриц Нь и бы являются несобственными. В (ь) (ь) малой окрестности т-го узла ГЭ можно заменить плоским участком и вычислить вклад в элемент д аналитически, (ь) а для преодоления трудностей, возникающих при вычислении 6Й„, рассмотрим случай 1~(~~((,М) = О, о' = Я и ~~(1,Р) = = Т'(М) = Тп — — сопя(.
Тогда температура в области У и на ее поверхности будет неизменной во времени и равной То, а матрицы Яь и Вь станут нулевыми. Тогда из (12.59) получим 660 12, ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Н»У»= О»И» ы причем все элементы матриц У» и И'»» равны Те. Отсюда следует, что Ф~+Н» т = 1, М~, »»ф»» для любого й-го интервала. В простейшем варианте МГЭ, когда в пределах каждого ГЭ о„, и = 1, Фл, функции Т»(Р) и д»(Р) совпадают со значениями Т»(Р„') и д»(Р ), Р 6 Я„, соответственно, из (12.58) получим )»т» й и' (~» т1Р~ Ме) ~~т~~(Р)1 я с», д~") = а и(»» — т, Р,Мо) ИтйБ(Р).
Я»»-» В частном случае задания на всей поверхности 5 температуры Т(1, Р) = у»(г, Р) все элементы матрицы с)» известны и из (12.59) можно найти Ю» = С~,~ (Нд3» О»И» — » В»), т.е. вычислить значения д»(Р„), Р„Е Я, и = 11, Нл. Это позво- лит, используя (12.58) при ш(Ме) = 4к, вычислить температуру Т»(Ме) в любой точке Ме 6 Ъ' в момент времени 1» в конце й-го интервала. Другой путь применения МГЭ к решению нестационарной задачи (12.54), (12.55) состоит в предварительной замене в (12.54) производной ' конечнораэностным соотношением . ВТ(НМ) а» ), т.е.
связан с обращением к иеп»оду прямых. Т»М) — Т»»М ЬФ» Тогда из (12.54) для момента времени»» получим уравнение Ч~Т»(М) — — Т»(М) = — ~»(М), М 6 Ъ; (12.60) аЬ»» 661 1ИА. Нестацяонарные задачи где т,,(М) ф1(1,,М) а из (12.55) — граничные условия с Ть(Р) = Б(Ы') Р с ~' С ~' (12.61) А9„(Р) + Щ~„Р) т,(Р) = У~„Р), Р ~ Я. = Я ~ Я'.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что фундаментальным решением однородного уравнения (12.60) при ЯМ) = 0 будет функция тюь(М, Мо) = ехр( — ' ~. (12.62) 1 г г(ММр)х Теперь задачу (12.60), (12.61) можно свести к ГНУ (м)т~(м)=~ь (Р) (Рм)-т(Р) ясм))~3(Р)~- + Д(М)юь(М Мо)~Л~(М), МЕ р' РОЯ, Моб р', (12 63) где и,'(Р,Мо) = (Чиь(Р,Мо))и(Р). Как и выше (см. 12.2), можно перейти от (12.63) к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида (12.29) относительно неизвестных значений Ть(Р„) и 9ь( Р„) в узлах Р„Е о, и = 1, Мл, ГЭ, на которые следует разбить поверхность 5. Еще одна возможность решения задачи (12.54), (12.55) при помощи МГЭ связана с использованием ингнеерального преобразования Лапласа. Применяя зто преобразование к (12.54), (12.55) и учитывал начальное условие, получаем уравнение в изображениях чУзУ(л М) — У(л,М) = — ~(л,М), М Е Р', (12 64) а 662 1г.
вввдвнив в мвтод грлничных элвмвнтов где Т(л,М) = Т(1,М)е ~а1, о То(М) 1(л,М) = + — 1,~ (1,М)е ' М, а о с граничными условиями (в случае неизменного во времени козффициента теплообмена Д(Р)) Т(л1Р) = 11(1,Р)е ' Й, РЕЯ, о Лд(л, Р)+Д(Р)Т(л,Р) = 1г(Е,Р)е "Й, РЕ о',. о (12.65) Здесь ~~и,м.) = ' .. ~(-~Е (и и.)), что позволяет от задачи (12.64), (12.65) перейти к ГИУ ~ и ~те, м )=~по,е)нем ~ — т~ц е~ючем,яике~ + + 1(л~М)ЩМ,Мо)ак(М), МЕ$~, РЕ д, Моби', (12.66) где ш'(Р, Мо) = ('17й(Р, Мо)) яз(Р). д(л, Р) = д(Ф, Р)е *~ й.
о По аналогии с (12.62) фундаментальным решением однородного уравнения (12.64) (при 1(л, М) = 0) будет функция !2.з. Статическая задача теории упругости 663 При выделении Жл граничных узлов 7з„б В, и = 11, 1чг, (12.66) можно свести к матричному уравнению вида (12.23) Н,17, =ОД,+ В„ (12.67) в котором элементы всех матриц будут зависеть от параметра в интегрального преобразования Лапласа, С учетом (12.65) из (12.67) следует в матричной форме зависимость от и изображений Т„(в) и д„(в) в граничных узлах, а затем с использованием (12.66) — и зависимость от в изображений Т(в, Мв) во внутренних точках Мв Е 1'.
Для перехода к оригиналам 7'„(1) и Т(1, Мо) вследствие матричной формы зависимости изображений от и приходится применять численные способы обращения преобразования Лапласа*. 12.6. Статическая задача теории упругости Применение метода граничных элементов (МГЭ) к решению задач теории упругости также основано на возможности перехода от формулировки краевой задачи, содержащей дифференциальные уравнения и граничные условия, к граничному интегральному уравнению (ГИУ). Однако в отличие от уравнения Пуассона для такого перехода вместо второй формулы Грина в случае линейно упругой среды необходимо использовать теорему взаимноствн рабопз, суть которой сводится к следующему.
Пусть линейно упругая среда занимает область 1г С Кз, ограниченную кусочно гладкой поверхностью 5. Свойства среды описывают константы Ламе Л и р, устанавливающие связь между компонентами оп и г,, 1, 2 = 1,3, тенэоров наирялсений и деузорманнй соответственно в виде обобщенного закона Тука (3.31). Рассмотрим два состояния равновесия этой среды.
Первое состояние характеризуется проекциями и; вектора и перемещения частиц среды на оси Ох; декартовой прямоугольной 'См., например: Крмлое В.г7., Скобля Н.С. 664 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ системы координат, компонентами е;, и о,, 1, у = 1, 3, тензоров деформаций и напряжений соответственно, а второе — величинами н,, г„и У; . Если эти состояния вызваны действием двух систем объемных и поверхностных сил с проекциями й;, р, и 6;, р; соответственно, то должны быть выполнены уравнения равновесия (здесь и далее в зтом параграфе принято правило суммирования по повторяющимся нижним индексам 1,у = 1, 3) +6;(М) =О, м +6,(М) = О, М Е Ъ; (12.68) и граничные условия о;,(Р)и,(Р) = ру(Р), о, (Р)н (Р) =р,(Р), РЕ 5, (12.69) где и ь — проекции единичного вектора и внешней нормали к поверхности 5 на координатные оси Ох„1 = 1, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
