XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Отметим, что для некоторых (или для всех) ГЭ Г С Г, возможно (3(Р„) = О, т.е. т7п пе ~з(Р„) и а „= 6 „. После решения СЛАУ (12.29) все значения и„ и т7„, и = 1, М~, будут известны, так что для вычисления значения и(Ме) искомой функции и в любой точке Мо Е Р можно использовать (12.27). Распределение функций и(Р) и ЯР) на границе Г области Р можно представить более точно, если в пределах каждого ГЭ аппроксимировать эти функции линейными зависимостями. Тогда узлы целесообразно расположить на стыке соседних ГЭ, причем так, чтобы узлы не находились на границе участков Г' и Г. с различными типами заданных граничных условий (12.15). При этом в каждом и-м узле, п = 1, Ф~, будет известно либо значение ип пп (1(Рп), Рп Е Г', либо значение 7з(Рп) = = т7п+ЯРп)ипт Рп Е Г„.
б42 НЬ ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Пусть узлы Р„и Р„+1 с номерами п и в+1 принадлежат ГЭ Г~ с номером 1= 1, Фг, а 4~„(Р) и Ф„+1(Р) — линейные функ- (О (О ции расстояния точки Р б Г~ от этих узлов, отсчитываемого вдоль ГЭ Гь причем 4„= 1, ~(~„+, — — О, когда Р совпадает с Р„, (О (О и Ч) = О, 4~„'+1 — — 1, когда Р совпадает с Р„+,. Тогда по аналогии с одномерными сипплексиы.ки конечными элементами в пределах ГЭ Г функции и(Р) и ц(Р) аппроксимируем выражениями и(~) (Р) = и„у)й)(Р) + и„, ф~+, (Р), (12.32) «")(Р) = -~й')(Р)+ -. ~Й,(Р), Р б Гь После их подстановки в (12.14) снова придем к (12.23), но теперь, учитывая, что узел Р„является общим для ГЭ Г и Г ы получим, что йпви — Фй'(Р)оэа(Р)«1'(Р) + Фй '(Р)от(Р)~'Г(Р) г при п ф т, значения Й вычислены по формуле (12.2б) и д„,„= Фй')(Р)о (Р)НГ(Р)+ 4~~' ')(Р)о (Р)НГ(Р).
г, г Для прямолинейного ГЭ Г~ длиной 1~ с нулем отсчета координаты ~5 в узле Р„Е Гб т.е. при ~ь(Р„) = О и гэ(Р„+1) = Гь находим 4~й)(Р) о (Р)ИГ(Р) = — / Г~(1 — — ) !и — Щ = По г~ о — 1 — — — ~1 — — ) !и — ~. 4йо 2Яо ~ Яо 1 Тогда для узла Р, в котором стыкуются два прямолинейных ГЭ с номерами ! — 1 и ! и длинами 1~, и 1~ соответственно, 12.2. Способы аппроксимации функций на границе 643 получим 6-~ ~ 6-1 '1 д =1~ ~(1 — — — ~1 — — )1н — )+ 4Не ~ 2Но) Но ) 11 г 1~ ~ 1~'1 +1~ 1 — — — ~1 — — )!в — ). (12.33) 4Но ~ 2Но) Но) Если же в узле Р стыкуются два криволинейных ГЭ с номера- ми 1 — 1 и 1, то в окрестности узла зти ГЭ можно приближенно представить прямолинейными участками Г~, и Гг~ длиной 1',, и 11 соответственно и написать 9 =д' + 4~1' '1(Р)и (Р)цГ(Р)+ Я(Р)и (Р)цГ(Р), Г,о, г" где Г",, = Г~ 1'1Г',, и Г~~' — — Г~'1Г'.
Значение у' находим, заменяя в (12.33) й 1 на 1,' и 1~ на 1,', а интегралы можно вычислить по обычным квадратурным формулам, поскольку функция е (Р) не имеет особенностей при Р е Г",, 0 Г~~' 1. При задании граничных условий (12.15) снова из (12.23) следует СЛАУ (12.29), решение которой дает недостающие узловые значения и„и д„, и = 11, Аг. После зтого, подставляя (12.32) в (12.14) при д(Мо) = 2п, можно вычислить значение и(Мо) искомой функции и в любой точке Мо Е Р: лагг (иО= — ~'д / е~е~ ~сините~- 2п Г,,иг, ыг — / е„(е)'~ни.Нг(е)~- — г,,ог, + — ) )'(М) п(М, Ма) дР(М), (12.34) 1 2гг ./ гдето(Р) =4„' (Р) при РЕ Гг 1 и 4„(Р) =юр,, '(Р) при РЕ Гь Распределение функций и(Р) и д(Р) в пределах ГЭ можно аппроксимировать и более сложными, чем линейные, зависи- 644 нь ВВедение В метОд ГРАничных элементОВ мостями (например, многочленами второй и более высоких степеней), однако зто приводит к увеличению числа узлов в каждом ГЭ и арифметических операций при вычислении интегралов, входящих в выражения для элементов матриц Н и С.
При необходимости более точного представления этих функций на границе области может оказаться, что рациональнее использовать большее число простых ГЭ с линейной аппроксимацией или даже с постоянными значениями функциЙ в пределах каждого элемента.
Решение при помощи МГЭ трехмерной задачи в области У для уравнения Пуассона (12.18) с граничными условиями (12.20) связано с представлением ограничивающей зту область кусочно гладкой поверхности Я совокупностью Жл двумерных ГЭ. Эти элементы целесообразно выбирать в виде треугольников или четырехугольников (плоских или криволинейных) с аппроксимацией функций и(Р) и у(Р) в пределах каждого ГЭ с номером и = 1, Хл постоянными значениями и„и п„или же зависимостями от координат в форме многочленов.
Если в пределах и-го ГЭ Я„принять и(Р) и„и л(Р) д„, Р 6 В„, и = 1, Хл, то соответствующее задаче (12.18), (12.20) ГИУ (12.21) переходит в матричное уравнение вида (12.23) с элементами и„, д„и 6 = 1(М)ю (М)йр'(М), т=1,Д1ч, (1235) матриц-столбцов 11, Я и В соответственно. При этом элемен- тами матрицы Н порядка Нл будут значения и „= ы' (Р)лБ(Р), т~ и, и аль а элементами матрицы С порядка Юл — значения (12.36) 12.2. Способы аппрокснмацнн функций на границе 645 В (12.35) ш (М) = ш(М, Р ) =, где г(М, Р ) — расстояние между точкой Р Е Я, выбранной в середине ГЭ Я, и точкой М е 1г.
Тот же смысл имеет ш (Р) в выражении для д „в (12,36), а в выражении для 5 „через ш' (Р) обозначена производнаи ('7цу (Р))уа(Р) функции и (Р) в направлении единичного вектора н(Р) внешней нормали к поверхности Я в точке Р Е 5„. Отметим, что нахождение диагонального элемента й через внедиагональные элементы в т-й строке матрицы Н позволяет избежать вычисления телесного угла ю(Р ) в случае, если в точке Р Е Я С о' поверхность о' не является гладкой. Трудности, возникающие при вычислении д, можно преодолеть так же, как это было сделано для двумерной задачи, представив ГЭ Я в окрестности точки Р Е 5 участком плоскости.
При вычислении интеграла в (12.35) целесообразно, как и в случае двумерной задачи, применить квадратурные формулы Гаусса или же получить в аналитической форме оценку вклада в этот интеграл в малой окрестности точки Р Е 5 Используя (12.20), можно преобразовать (12.23) в СЛАУ вида (12.29) относительно Хо неизвестных значений до на участках Я. С Я поверхности о и и„ на участках 5, = Я~ 5*. При этом в (12.30) и (12.31) Г* следует заменить на о", а Ä— на Я.. После нахождения из решения СЛАУ вида (12.29) недостающих значений ио и д„, и = ГУб, можно, используя (12.19) при ы(Мо) = 4х, вычислить значение и(Мо) искомой функции в любой точке Мо Е 1г: Мо цм~ ° 2 (д1цгмце~е~-~~ ~емце~Й)~ пм1 1 Г + — ~ У(М) ш(М, Мо) Иl(М).
(12.37) 64б нь ВВВДение В метОД ГРАничных элементОВ Точность вычислений по (12.37) зависит от погрешности аппроксимации функций и(Р) и у(Р) их постоянными значениями в пределах каждого ГЭ и от точности вычисления входящих в (12.37) интегралов. По аналогии с (12.28) можно воспользоваться и менее точной формулой Жг и(Ме)=4— Х~ (Ъ (Р,Ме)-и ш(Р,Ме))Б.+ л=1 + — ~ ДМ) ю(М, Мо) АР'(М), (12.38) 1 где Є— точка, выбранная в середине и-го ГЭ площадью Я„. Несобственный интеграл по области Р' в (12.37) и (12.38) сходится равномерно в окрестности точки Ме е Р, если в этой окрестности функция ДМ) непрерывна 1ХП].
Поэтому его можно дифференцировать по координатам точки Ме как по параметрам, что позволяет вычислять производные искомой функции и(Ме). Аппроксимации ГЭ функций и(Р~ и 9(Р) многочленами в пределах двумерных ГЭ Я„, и = 11, А18, на поверхности 5 и вычисление возникающих при этом интегралов аналогичны соответствующим процедурам, используемым в методе конечныя элементов (см. 10.2). Тогда неизвестными в СЛАУ вида (12.29) будут значения этих функций в узлах таких ГЭ.
Замечание 12,1, Известно", что решение краевой задачи для уравнения Лапласа можно представить в виде погпенпиалое простого или двойного слоя с плотностями, удовлетворяющими ГИУ. Эти ГИУ также могут быть решены при помощи МГЭ. Однако плотности потенциалов обычно не имеют определенного физического смысла, а их нахождение является промежуточным звеном, дающим возможность затем вычислить значения 'Смг Махлии С.Г., 1968. б47 12.2. учет аимэотропим и ыеодиородыости искомых функцяй, имеющих конкретную физическую интерпретацию в содержательной постановке решаемой задачи. В связи с этим способы, позволяющие найти плотности потенциалов в качестве вспомогательных функций, относят к непрямым МГЭ в отличие от прямых МГЭ, которые направлены непосредственно на вычисление значений функций, имеющих определенный физический смысл.
В частности, к прямым следует отнести вариант МГЭ, рассмотренный в этом параграфе. 12.3.Учет анизотропии и неоднородности з дзч 1 ~> Лрд +1~~1(М)=О, Мб1, Дхз ~=1 Ф (12.39) Уравнение Пуассона (12.18) описывает широкий класс физических процессов в изотропной однородной среде (см. 1), т.е, в среде, свойства которой не зависят ни от направления, ни от координат точки М б У в рассматриваемой области У. Однако при решении прикладных задач довольно часто возникает необходимость учета такой зависимости, что в некоторых случаях удается осуществить в рамках метода граничных элементов (МГЭ). Рассмотрим эти возможности на примере решения при помощи МГЭ задачи стационарной теплопроводности в трехмерной области Ъ'.
Пусть в области и', ограниченной кусочно гладкой поверхностью 5, находится неподвижная однородная анизотропная среда. Свойство этой среды передавать тепловую энергию характеризует тензор Л теплопроводности с компонентами Л; = Л,; =сопв1,1,2=1,3, составляющими симметрическую матрицу (2.95) третьего порядка. Если ориентацию осей Ох; декартовой прямоугольной системы координат выбрать так, чтобы они совпадали с главными осями тензора Л, то процесс стационарной теплопроводности в области $' будет описывать дифференциальное уравнение с частными производными б48 нь ВВеДение В метОД ГРАничных элементОВ где Т(М) и ф~(М) — температура среды и объемная мощность внутренних источников энерговыделения, зависящие от координат точки М б р", а ЛН) = сопв1 — главные коэффициенты теплопроводности анизотропной среды.
Отметим, что (12.39) вытекает из равенства нулю левой части формул (1.31), (1.32) (см. замечание 2.1). Изменим масштабы по осям координат в соответствии с за!л' меной переменных я, = х; ~ — где Л' = сопв1 — некоторый 1 — 31 Мо) масштаб измерения главных коэффициентов теплопроводности, в качестве которого можно выбрать одно из значений ЛН). Тогда вместо (12.39) получим з ВзТМ О т(М) 1,1 ® х. 1=1 з или (12.40) МЕР', где ~7~ — оператор Лапласа в системе координат Ох1хзхз (рнс.
12.8), а М вЂ” точка, соответствующая точке М б Р' после изменения масштабов по осям координат и преобразования области Ъ' в область Р (на рис. 12.8 принято Л'= ЛО) и Л1з1< < Л111 < Л1з)) Рнс. 12.8 649 !23. учет аннзотронии и неоднородности дгГ(М) Я дхг (12.41) Убедимся, что функция з 2Л'х зо(МзМе) = ( (хз(М) — хз(Мп)) (12.42) 1=1 является таким фундаментальным решением, т.е.
удовлетворяет (12.41) во всех точках М Е Кз, за исключением точки Мо е К, в которой из(М,Ма) + со. Действительно, поместим начало системы координат Ох!хгхз для упрощения выкладок в точку Ме, т.е. положим х,(Мп) = О, ! = 1, 3, и вычислим 3 Ло з! 312 Ло Ла йззх; —,, дх, 2 ~,~.-' ' Л!1)) Лб) 'Лб)' )н1 да!о г дпз Л' з Л' з Л' ~ 2 2 Л' дхг дх; 'ЛОО Л)з) ЛОО ( ' Л)з) т ззз — =а'з'(за'1'*) —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
