XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 83
Текст из файла (страница 83)
11.2), примем граничные условия и;(Р) = и,'(Р), Р Е 5!, ст; (Р) п.(Р) = р, (Р), Р Е Яз, (11.64) где и,'(Р) и р,'(Р) — заданные функции координат точки Р; и, = тае — направляющие косинусы единичного вектора та внешней нормали к поверхности 5з, причем ез, ! =1, 3, — оршы декартовой прямоугольной системы координат. х Рис. 1!.2 Статическая задача. Рассмотрим сначала статическую д2и, задачу теории упругости, положив в (11.62) —,':— О, что деа соответствует уравнениям раеноеасил (2.87) Ец ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ 604 Покажем, что стационарная точка Яункиионала ,У1и) = — 9 + ррТ и'Р— б;и;(Й~ — р, и; Нд, 111.65) ,/ ~,2 У У яг где с учетом соотношений Коши 13.30) ди; 9 = = гн =ем +гзз+гзз1 дх; 111.66) 4~дх, дх;) 1,дх дх,) 1г, = г;, 1, 1 = 1,3, — компоненты симметрического тензора дефорнаиий), на множестве функций и,, дважды непрерыв- но дифференцируемых на замыкании Г= "к'ОЯ области Г и удовлетворяющих первому условию 111.64), является решением рассматриваемой краевой задачи.
Действительно, вычисляя ва- риацию зтого функционала, вызванную вариациями би;, 1= 1, 3, ди, да, и учитывая равенства — ' = б; — ', где б; — компоненты едидх, мох ' пичного тензора второго ранга (т.е. б; = 1 при 1= З' н б;. = 0 при 1ф 1), получаем ~ дби; Инбер~ = ~(хвб;; +2н;,~ — 'в — 1 ьл;а' — 1 р бь~5. х У У Я~ Подынтегральную функцию в первом интеграле, используя соотношения обобшенного закона Гука (3.31), преобразуем к виду дби; дба; (ЛйбН+2рг;р) —,' =о;,— ' = додби; до;, до,; ' — —" би, = 17(о;е,би,) — — би;, поскольку одби; можно рассматривать как проекции вектора о;е би; на оси координат Ох, З = 1,3. В итоге, используя 1б.4.
Задачи теории упругости 605 убор.кулу Гаусса — Остроградского (1.18) и учитывая, что (бтб,е,еи,)п = бт,п Би;, находим бби,бе1=(;;обере-б ( — Рбб;)б;Р) б;ю — р,'ббеббу дх, Яб У ~2 В этом равенстве первый интеграл обращается в нуль, поскольку функции и; должны удовлетворять первому условию (11.64), так что 6и(Р) =0,1=1,3, при РЕ 5,. В стационарной точке и* функционала (11.65) 1[и*,би;) = О, 4 = 1, 3.
Поэтому прн произвольных вариациях ви, на участках поверхности оз и в области $б из равенства нулю второго и третьего интегралов следует, что проекции и,' должны удовлетворять (11.63) и второму условию (11.64) соответственно, т.е. функции и,' будут решением задачи (11.63), (11.64). Входящие в функционал (11.65) скалярные величины бЭ и Т являются инвариантами первого н второго порядка [1чб) тензора деформаций е, т.е. сверткадби этого теиэора, и не зависят от выбора координатных осей.
Первая из них является следоаб симметрической абатрииы третьего порядка, соответствующей е. Эту матрицу ортогональиыаб преобраэоваииеаб можно привести к диагональному виду с элементами еб, ея и гз на главной диагонали, которые имеют смысл линейных деформаций (удлинений) вдоль осей нового базиса. В этом базисе в соответствии с (11.66), (11.67) будем иметь Т= сдеру е~~+езя+ез 4 у = 1 3 (11.68) Функционал (11.65) будет строго выпуклььн, если для любых функций иб(М) ф из(М) с проекциями и; и и;, 1= 1,3, (1) (з) удовлетворяющими первому условию (11.64), при п Е (О, 1) В(иб,из)=оУ[и1)+(1-ср)б[из) — 1[ебиб+(1-ср)из))0. (11.69) В соответствии с соотношениями Коши (3.30) обозначим 1 удЬи, дЬиу~ (П (з) 2~ дх дх, !' боб гп ЛРИЕЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ Тогда с учетом (11.66), (11.67) и (11.69) получим й(им из) = —, ( ~пс1, + (1 — п)йя — (сто, + (1 — а)йз) ) Н/+ 2 з1 + Й ~тТ1+ (1 — п)Тя— („~ ) ., ~,,ьь)) („~!), (,,|,( )1) л, поскольку первый интеграл в правой части веотрицателеи, а второй положителен, так как неравенство и|(М) ф из(М), М Е В'05з, означает, что Ьи;(М) = и1 (М) — и~ (М) ~ О хотя бы для одного из значений 1= 1, 3.
причем Ьи,(Р) = О, Р Е .зы т.е. Ьи,(М) ие может быть коистаитой. Поэтому хотя бы один из компонентов 5,г; тевзора зГ в некоторой точке М Е Ь' (а в силу непрерывной диффереицируемости функций и; — и в ее окрестности) будет отличен от нуля. Тогда при ортогоиальиом преобразовании к диагональному виду симметрической матрицы, соответствующей этому тевзору, хотя бы один из элементов ва главной диагонали будет отличен от пуля, поэтому с учетом (11.68) функционал (11.65) является строго выпуклым иа рассматриваемом множестве функций.
Так как вариация И(и, би;1 функционала (11.65) ли пейна относительно Би; всюду в области его опеределеиия, то у него всюду в этой области существует дифференциал Гаиш 1ХЧ). Поэтому строго выпуклый функционал (11.65) имеет едииствеииую стационарную точку, в которой ои достигает наименьшего значения (ХЧ1. Таким образом, задача (11.63), (11.64) имеет едииствеииое решение, а (11.65) входит в интегральную формулировку этой задачи.
607 !!.!. Задачи теории упругости Используем функционал (11.65) для решения задачи (11.63), (1!.64) методом конечных элементов (МКЭ). Если считать границы между соседними конечными элементами (КЭ) поверхностями слабого разрыва функции перемещений, то этот функционал можно рассматривать на множестве непрерывных функций и„непрерывно дифференцируемых лишь в пределах отдельных КЭ (см, 6.10). Поэтому возможно использование лагранлсевых У!Э, в том числе спмплексных. Разобьем область $~ на Е лагранжевых КЭ, каждый из которых имеет Ж, узлов и занимает область К, е = 1, Е. Общее число узлов образованной таким образом сетки КЭ обозначим Д!х Тогда вместо (11.65) с учетом свойства аддитивности интеграла по области 1~ получим ,У(и) = ~ ~,У,(и), е=! (11.70) причем вклад КЭ с номером е в значение функционала,У[и) Второй интегрэл в правой части (11.71) отличен от нуля лишь при условии, что граница данного элемента имеет общие участки с поверхностью эз, т.е.
5,' = э, Пох ф О. В пределах каждого КЭ с номером е векторное поле перемещений и(М), М Е 'у'„приближенно представим матричным выражением вида (10.53): (У,(М) = ((У('1) Ф,(М), М 6 Ъ'„(11.72) где (У('1 — матрица размера Х, х 3 (в случае трехмерной задачи) с элементами и„,, н = 1, Уч'„! = 1,3, равными искомым уз(е) ловым значениям проекций и!(М) вектора перемещений и(М); 606 ПЬ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ У,(М) — матрица-столбец размера 3 х 1, элементами которой являются координатные функции и,' (М) векторной функции а(')(М), М Е $~„аппроксимирующей в этом КЭ функцию а(М); Ф,(М) — матрица-столбец размера Х, х 1, элементами которой являются функции формы р„(М) КЭ, зависящие от координат (е) х)')(М) точки М 6 1',.
Выразим вклад,1,[а) КЭ с номером е в функционал (11,65) через искомые узловые значения и„, . В соответствии с (10.52) (е) при (=1,3 и а=1,%, а( )(М) ж ((1(')) Ф,(М) = а(,.)ср(')(М), М 6 Ъ~„(11.73) где У; — матрица-столбец размера Х, х 1, являющаяся одним (~) нз трех блоков матрицы Г('), Аналогично в пределах КЭ Ь;(М) = Ь(;)(л(')(М), р'.(М) — р(;),р(')(М) (11 74) где 5„, и р„,, и = 1, У„( = 1, 3, — узловые значения проекций (5) () векторов плотности объемных и поверхностных сил соответственно. Используя (10.52), (10.57), (11.66), (11.67) и (11.73), для общего случал зависимости Л(М) и р(М) от положения точки М 6 1; находим (опуская обозначение этой точки и применяя правило суммирования по повторящимся нижним индексам (,)=1,3, гп,п,6=1,У,) (е) (е) (е) (е) Л з Л,' уя (,)ду; (,)ду„' 2 2 'дх; "' дя,' Подставляя эти соотношения, а также соотношения (11.73), (11.74) в равенство (11,71), для вклада КЭ с номером е в 6ОО 11ЛЬ Задачи теории упругости функционал (11.65) получаем д (е) д (е) ((е) ( ) „ (е)„ (е) ( (а) ( ) „ (е) (е) (~ Из (11.75) следует, что,У,[и) аппроксимируется квадратичной функциеи 3)е', переменных и„;.
Это позволяет вариацию функционала (11.65), используя (11.70), представить в виде Е Е И[и,би) = ~63е[и,би) = ~1 '( би~1ь), и = 1, 3. (11.76) еи1 еи1 ди1/а ди Учитывая, что — ~- — — 61 6 е, где 61 — — 1 при 1= т и 61 —— 0 при до~(е 1 ф гп, 1, т = 1, Ф„из (11.75) находим д ге[и) Лд а (е) (е) ! ~~Рт (е) дгеп (е) Г (е) (е! — [61 бгли„+ иец61„6)Ь) / — Ч ' "У+ м -(') г / () (е)Ч Г (е) (е) Ч + — /<р(') ~61 61Ь вЂ” +61 бл — )~и — +и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
