XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Так как в выражениях для элементов матрицы Р подынтегральные функции отличны от нуля лишь при условии, что узлы с номерами Ь, Ж = 11, Аг. принадлежат одному КЭ, то зту матрицу, а заодно и матрицу Я удобнее формировать (аналогично матрицам епеплопроводпостпи и тпеплоемкости) из вкладов отдельных КЭ. Пусть в простейшем случае на контуре Г скорость жидкости равна нулю, т.е.
нкч = О, 1= 1, 2, во всех %1 узлах с номерами Х', принадлежащих границе, а в узле с номером Х. задано значение давления р, (последнее необходимо для однозначного нахождения давления в остальных узлах), Тогда для Х* = = ЗХ~ — 2Ас1 — 1 неизвестных узловых значений получим СЛАУ В В = Я, в которой симметрическая матрица Р' порядка И получена из матрицы Р вычеркиванием строк и столбцов с номерами З(Х' — 1) +1, 1= 1, 2, н ЗАс..
а матрица-столбец В размера Х х 1 — вычеркиванием строк с указанными номерами из матрицы о. Для формирования матрицы-столбца Я' размера % х 1 предварительно следует составить матрицу- столбец Я размера Х х 1 с элементами д<ру. (М) 1 Яз(с ц+,— / ~рь(М)),0,(М) р. д )4Г 596 Ы. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ и Язу, = О, г = 1, 2, 1 = 1, Же, а затем вычеркнуть из нее строки с указанными выше номерами. В более общем случае могут возникнуть трудности при задании корректных граничных условий для давления (см. 3.2). Тогда для решения задачи целесообразно использовать равносильное системе (11.38) уравнение вида (3.27) 1 / дЬг дЬ1 '1 72(ГгФ) — ~ /— — — ~1 ц ~дхг дхг~ (11.44) относительно функции тока ф(М), М Е Р. Проследим путь применения МКЭ к решению краевой задачи, описываемой (11.44) с характерными для функции тока граничными условиями вида (3.29): 4(Р) =Я(Р), — =Уг(Р), Р Е Гг С Г; (11.45) дф(Р) дп(Р) 4(Р)=у~'=сове$, =О, РЕГг=Г~Гы (11.46) дг ь(Р) дпг(Р) где п(Р) — направление внешней нормали к границе Г в точке Р Е Г; Я(Р) и )г(Р) — заданные функцин положения точки на этой границе, а число ф' положим равным нулю.
Краевой задаче (11.44) — (11.46) соответствует функционал' у[~Ь] ( (~72~)2е1Р с,а<~Р (11 47) 2 2 2/ См., например: Ректорые К. где функция ДМ), М Е Р, равна правой части (11.44), минимизируемый на функциях, непрерывно дифференцируемых на замыкании Р = Р 0 Г, имеющих кусочно непрерывные вторые производные в области Р и удовлетворяющих (11.45). Убеднмся, что стационарная точка этого функционала является 597 Ы.з.
Двумерное течение нивкой жидкости решением рассматриваемой краевой задачи. Для этого вычислим вариацию функционала (11.47), вызванную вариацией БНп И(еД, 6Я = (Чг Я ЧгЬ~ ИР— 94~ ЫР. (11.48) Преобразуем первый интеграл в (11.48) при помощи второй формулы Грина, положив в ней и = Чгф и и = бгр: (Ч~15)Ч~Й/>ИР = Ч~(Ч~ЯбфйР+ 2 г ~ ~~ 2 2 + (Ч~4>) (Чб4~)гг Ыà — Ч(Ч~ф) гг6Ф с(Г. (11.49) Последний интеграл в правой части (11.49) исчезает, так как на контуре значения гр в соответствии с (11.45) и (11.4б) заданы и поэтому бгр— : О.
Второй интеграл в правой части (11.49) представим в виде г, Здесь интеграл по участкам Г1 контура будет равен нулю, поскольку на этих участках в соответствии с (11.45) заданы значения (Чер) и и поэтому Б(Чг5)гг— : О. В итоге с учетом (11.48) н (11.49) условие стационарности функционала (11.47) примет вид Г2 При произвольных вариациях буй в области Р и на участках Гг ее границы это условие будет выполнено, если гр удовлетворяет (11.44) и (11.46), т.е. является решением рассматриваемой краевой задачи. 598 ГЬ !1РИЕДАДНЫЕ ЗАДА ЧИ Функционал (11.47) будет строго выпуклым, если для любых функций сР, ф фз, на которых его допустимо рассматривать, при сс Е (О, 1) выполнено строгое неравенство [ХЪ'] й(сры сиз) = сгЗ[уч] + (1 — о).Цсрз] — 3[осрс+(1 — о)сря] > 0 (11 50) При исследовании функционала на выпуклость в его представлении можно опустить линейное относительно функции ф слагаемое [ХЪ'].
Тогда с учетом (11.47) и (11.50) получим сс(чч~ сР2) (~ чч) с1Г+ . ( " Ф2) 2,/ 2 — ~( ~*м ~- в - ~чч,)* ьг = =о — 1(Я'Уц -Ч'У)) с17г=о / [~7'(Фс — сР~)) с17г>0, 2,/ 2 ./ поскольку неравенство значений функций с(ч и слз хотя бы в одной точке М Е г в силу непрерывности этих функций означает, что с(ч — срз ~ 0 в некоторой окрестности такой точки. Так как вариация (11,48) строго выпуклого функционала (11.47) линейна относительно йсо всюду в его области определения, то всюду в этой области существует его дифференциал Гата.
Кроме того, функционал (11.47) имеет единственную стационарную точку [ХЧ], в которой он достигает наименьшего значения. Отсюда следует, что краевая задача (11.44) — (!1.46) имеет единственное решение, а условие минимума функционала (11.47) можно использовать в качестве инлсегральной формулировки этой задачи. Так как функционал (11.47) допустимо рассматривать на функциях, непрерывно дифференцируемых на замыкании Р, то при разбиении области Г необходимо использовать сетку КЭ, обеспечивающую гладкую аппроксимацию функций не только в пределах отдельных элементов, но !1.3. Двумерное течение вязкой жидкости Е Е Е "=~" =41""'"-к1"'" """ е=1 ем1 е=1Е и где з,(4>] — вклад в функционал КЭ с номером е =1, Е и пло- щадью Е,.
Распределение функции тока в пределах отдельного КЭ с номером е аппроксимируем соотношением !р(М) = Ф, Ф(')(М), (11.52) где Ф, и Ф(')(М) — матрицы-столбцы размера Ж,' х 1, элемен- тами которых являются узловые параметры и функции формы р(')(М), и = 1, Х,', КЭ соответственно, Л", — - общее число узло- вых параметров (а не узлов!) КЭ. С учетом (11.52) имеем — = Ф В('), (~7~1(!) = ф, В,(ф, В,), '= 1,2, (11.53) х, где  — матрица-столбец размера 1ч", х 1 с элементами (е) д'ч в)(м) , а В, — блочная матрица размера )ч", х 2, блоками дтз (е) которой являются матрицы В( и при переходе через их границы.
Это обстоятельство требует применения эрмип!оеыя йЭ, узловыми параметрами которых наряду со значениями искомой функции являются и значения ее производных. В частности, можно использовать треугольные КЭ с шестью узлами и функциями формы в виде многочленов пятой степени (см. 10.2), что позволит при решении задачи получить не только значения функции тока во всех узлах, но и значения проекции скорости в вершинах треугольников, выражаемые через производные функции тока по координатам х,, 1= 1,2 (см.
3.2). Отметим, что процедура применения МКЭ при использовании зрмитовых КЭ остается прежней. После разбиения области Е на Е эрмитовых КЭ представим функционал (11.47) в виде 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 600 Используя (11.52) и второе соотношение (11.53), для вклада КЭ с номером е = 1, Е в функционал,11вР) получаем Е вве] ° -Я~е.'в.(е,'в.) вв-1 уе.'е,вв= е=1Р Ре = — Ф, А('1Ф, — Ф, ф'1, (11.54) 2 где А1'1 — симметрическая матрица порядка Х,' с элементами А1) = 1в~ 'Р1 ( ) д ~Р' (М) 4Е ж~ Р 1=1 а Я1'1 — матрица-столбец размера Ю,' х 1 с элементами ф' = ЦМ) Р1'(М) ДК ,l[Ф]--Ф АФ вЂ” Ф Я, 2 (11.55) где Ф вЂ” матрица-сТолбец размера Ж~е х 1 значений функции тока и ее производных в узлах сетки КЭ; А — симметрическая матрица порядка %~ с элементами Е 1Че Ме А = У ХХЫ,ь'А,В С, (11.56) еж1 1ж1 в=1 В (11.54) перейдем от локальной нумерации узлов к глобзль; ной (см.
10.3) при помощи матриц Йе размера Ле х ЖеР, е = 1, Е, где И' — общее число узловых параметров (а ие узлов.) сетки Е КЭ. Тогда после подстановки (11.54) в (11.51) получим 601 2 КЗ. двумерное течение вязкой мндкости причем Й„~ — элементы матрицы Й,; Я вЂ” матрица-столбец (е) размера )Ч« х 1 с элементами Е )'«'« д «~ ~ ч ~~ Й (е) фе) (11,57) еян в=1 Правая часть (11.55) является конечномерным аналогом ,7[е(«ч ) функционала (11.47), полученным при использовании метода Ритца и соответствующим элементу Ф)ч (М) = Ф Ф(М) = ~~) ейск>м(М) (11.58) л«=1 последоьательностщ минимизирующей этот функционал, при- чем Ф(М) — матрица-столбец размера Ж' х 1, элементами ко- торой являются функции Е )'«'« ~рд(М) = ~) г««Й„)чу~~„')(М), )Ч = 1, )Ч~.
(11.59) евц пв1 Эти функции определены на сетке КЭ и образуют базис конечномерного функционального пространства. Ясно, что правую часть (11.55) можно представить много- членом второй степени относительно )Ч«переменных й)ч. ч №, № н ~ 2 ~ ~~' Аьме(«Бери — ~,(«)Лера. (11.60) Ьн1 Ж=1 Ен1 Так как минимизируемый функционал (11.47) ограничен снизу [ХЧ), то функция (11,60) также ограничена снизу, поскольку в этом случае для минимального значения функционала, достигаемого на функции е)«,(М), М е Г, справедливо неравенство 7[Ф,) < .7[ер)ч ].
Поэтому функция (11.60) также достигает минимума прн некотором наборе значений й«)ч, )Ч = 1, Ж'. 602 П. ПРИИЛАДИЫЕ ЗАДА ЧИ А1зяФм = фу, — ~~~ Аыд Фр~, Ь = 1, №. (11.61) У'=М +1 Если же участки Г1 границы отсутствуют, то %. = Ж' и сумма в правой части (1!.61) исчезает. Отметим, что матрица СЛАУ (11.61) и симметрическая матрица Р СЛАУ (11.43) являются слабоэаполиснны.ии. Поэтому для численного решения СЛАУ с такими матрицами целесообразно использовать способы, позволяющие сокрашать число арифметических операций и экономить память ЭВМ . 11.4, Задачи теории упругости Переменное во времени 1 векторное поле малых перемещений и(1, М), М Е У, в однородном линейно упругом теле, занимающем область У, можно описать уравнениями Ламе в векторной форме (3.35), если их левую часть заменить на р— од и ди (см.
3.3), где р' = сопв1 — плотность материала тела. Тогда в проекциях на оси Ох„(= 1, 3, декартовой прямоугольной системы координат эти уравнения примут вид , дзи, — дст р' —,* = 5, + (Л+ р) —, + ~Жэи;, 1= 1, 3. д1э дач (11.62) 'См.: Докордае А., Лю Дэс., а также; Пиесокеикк С'. В общем случае часть узловых значений функции тока и ее первых производных в (11.60) может быть задана, если существуют узлы, принадлежащие участкам Г1 границы, поскольку (11.58) должно удовлетворять граничным условиям (11А5) на Г1. Пусть число заданных узловых значений в таких узлах равно №, а число искомых узловых значений составляет 1У = Ж~ — 1У,' и их номера упорядочены так, что Ю = 1, №. Тогда .
д.1(7,) из необходимых условий ' =О, 1=1, №, минимума функдие ции (11.60) с учетом Аыу = Адь получим СЛАУ боз !!иь Задачи теории упругости Здесь и! и б! — проекции на координатные оси векторов пере- мещений и плотности объемных сил соответственно; Л и р-- ди, константы Ламе; 6 = — — объемная деформация (здесь н дх, далее происходит суммирование слагаемых по повторяющему- ся нижнему индексу). дх, — д+Ь,=О, 1, !=1,3, (1! .63) где о! — комионентпы тензора ианрялссиий, причем оо — — изг 11а участках 5! и Ьз = 5'1 5! поверхности 5, ограничивакнцей область у' (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
