XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 79
Текст из файла (страница 79)
При этом функции формы конечных элементов (КЭ) обеспечивают непрерывную аппроксимацию искомой функции Т(М), М Е У. на сетке ЬЗ, заполняющей область У, а в пределах каждого КЭ вЂ” непрерывность производных функции Т(М), Пусть сетка КЭ состоит иэ Е лаеранлсееых конечных злементое, каждый иэ которых имеет Ж, узлов и занимает область У, С У, е = 1, Е. Тогда вместо (11.4) можно написать (11.5) причем вклад КЭ с номером е в значение функционала l(Т] составляет / $т$= /(-(~ т! — х т)л +/( — т — ят)м.
(~~ 6! Второй интеграл в правой части (11.6) отличен от нуля лишь при условии, что граница 5,' данного КЭ имеет общие участки с поверхностью Ез, т.е. 5,' = Я,Г15з ~ И. В пределах каждого КЭ искомое распределение температуры аппроксимируем матричным выражением вида (10.52): Т(М) Т('1(М) = с!,Ф,(М), М Е У„е= 1, Е, (11.7) где !В и Ф,(М) — матрицы-столбцы размера )ч', х 1, элементами которых являются значения Т1 1 температуры в узлах КЭ с 579 //.2.
Задачи теплопроводпоети в твердом теле номером е и функции формы (/(о' (М), и = 1, /т/„этого КЭ !е) соответственно. Тогда в матричной записи будем иметь т2(Р) (т!е)(Р))2 ~~! (Р)(~~ф (Р)) =О,Ф,(Р)ф,(Р)/с)„РЕ Я,'. (1!.8) Так как с учетом (11.7) =О, В!' (М), М Е 1'е, 1= 1,3, дт!') м дт/ где В )(М) — матРица-столбец РаэмеРа Д/е Х ! с элементами ), о = 1, Ж„1= 1, 3, то квадрат градиента температурдт, ного поля в КЭ можно представить в виде (7т(м))'=(~т/ )(м))'=в,'В,(м)(в,'В,(м)) = = еэ Ве(М) Ве (М)аЭе~ М Е 1(е~ е = 1, Е.
(11.9) Здесь В,(м) — блочная матрица размера Хе х 3, блоками /е) которой являются матрицы В; ' . После подстановки (11.7)-(11.9) в (1!.6) получим з(т)=1 ( — "' ~(ет(((м()'-ф((м(т<((м()л + (1(е( ((т(((е()'-/(е(т(>(е()м= яу = 1 ("(, (и, е,(м(в,'(м(е, — В((м(е,'е.(м() ее ~ (-/ (~~ ~е',а,(е(е,'(е(в, — / (е(в',е,(е() ел.
11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ Элементы матрицы О, узловых значений температуры не за- висят от координат, и поэтому в силу линейности матричных операций и операции интегрирования можно записать ,У,(Т] — — О, Л,О, — ОЯ„ (11.10) где Л, — квадратная матрица порядка Л(„называемая мв1при- цеб п1еплопроеодпоспэи КЭ, с элементами 3 о (е) М (е) Л') — (А(М)~ ~'Р' (М) ~'Р" (М) д1 1м1 + ЯР) <р1( )(Р) ~р(')(Р) н5, 1, и = 1, М„(11.11) а (,), — матрица-столбец размера М, х 1 с элементами О(') = ф)(М) р,"(и) Н'+ У,(Р) р('(Р) Ы (11.12) Отметим, что матрица Л, является симметрической. Перейдем в (11.10) от локальной нумерации узлов к глобальной (см.
10.3) при помощи матриц й, размера Ж, х Жп, е = Гс'', где Фп — общее число узлов сетки КЭ. Тогда после подстановки (11.10) в (11.5) получим 3(Т) = -'О ЛО-О'Я, (11.13) Льм = ЕЕЕП1(ь)Л(„)П„) (11.14) ею1 1=1 ч=1 где Π— матрица-столбец размера М~ х 1 значений температу- ры Тм в узлах сетки КЭ; Л вЂ” симметрическая матрица порядка ЖП, называемая гло6альмоб мапэрнце(( 1пеплопроеодмо- стм, с элементами 577 !!,3. Задачи теплопроводиоети в твердом теле причем Й„м — элементы матрицы Й,; Я вЂ” матрица-столбец (е) размера М~ к 1 с элементами (11.15) е=!ем! Правую часть (11.13) можно рассматривать как конечно- мерный аналог 7[Тм ) функционала (11.4), полученный при использовании метода Рипща и соответствующий элементу Тм, (М) = 6 Ф(М) = ~У, Тм!рм(М) (11 1б) м=! (М) ~~, ~~()(е) (е)(М) У 1 У (11 17) е=! и=! определенные на сетке КЭ.
Правую часть (11.13) можно пред- ставить многочленом второй степени относительно Жп пере- менных Тм! Мт. Мп Мв ,7[тм,) =-~ ~ Л„мтьтм-'У дьть. (П.18) Ьм! М=! Ъм! Так как минимизируемый функционал (11.4) ограничен снизу [ХУ], то функция (11.18) также ограничена снизу, поскольку в этом случае для минимального значения функционала, достигаемого на функции Т„(М), М Е $~, справедливо неравенство 3[Т.) < У[ум,). (11.19) Поэтому функция (11.18) также достигает минимума при не- котором наборе значений Тм, !е' = 1, У~. посдедоватнедьности, минимизирующей этот функционал, при- чем Ф(М) — матрица-столбец размера Жп х 1, элементами ко- торой являются функции формы 578 ИЬ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА тИ В частном случае, когда в (11,1) ф (М) = О, М б $~, а в (11.3) ~р(Р) = О, Р Е 5з, имеем Яу.
= О, А = 1, М~, т.е. (11.18) будет квадратичной формой 0 Л6. Если при этом в (11.2) Л(Р) = О, Р б 5м или же участки поверхности 5, отсутствуют, то оператор Аи = — ~7(Л17и) в (11.1) при Л(М) > О, М с Ъ~, является положительно определенным (см. пример 5.9), а дифференциальное уравнение тУ(ЛЧТ) = О имеет единственное решение То(М) = О, М с 1' [ХУ]. На этом решении функционал (11.4) т достигает минимального значения, причем 1(То~)= 6оЛ6о = О, где 6о — матрица-столбец (вектор) размера Юн х 1 с нулевыми элементами.
Стпационарнал точка То(М) = О, М б Г, функционала (11.4), в которой он достигает минимума при У ~ (М) = О, М Е Г, (9) и 7з(Р) = О, Р Е 5з, единственна. Поэтому для любой функции Тн (М) ф О, М б Г, вида (11.1б), удовлетворяющей (11.2) при ~~ (Р) = О, Р б 5м в соответствии с (11.19) имеем Ю(Тн ) > > 1(То) = О.
Следовательно, для соответствующего этой функт ции ненулевого вектора тт получаем тт Лтт > О. Пусть 5~ ~ И и сетка КЭ имеет Л~ узлов Рм Е 5м номера которых упорядочены так, что Ж = Ю"+1, М, где У* = Ж вЂ” Хм Предположим, что существует функция Тн (М), М е Г, принимающая в этих узлах значения Тм (Рл) = Дн, Рн б 5м Ж = = %*+1, Ю, из которых хотя бы одно отлично от нуля, и такая, т что 6 Л6 ( О для соответствующего ей ненулевого вектора тт. Тогда найдется непрерывная функция Т,(М), М Е Г, имеющая в 1' кусочно непрерывные производные, удовлетворяющая условиям Т.(Рд) = ~дн, Рн б 5м Ж = %*+1, Ю, и минимизирующая функционал (11.4) при 1~~ (М) = О, М б 'е', и 7т(Р) = О, Р б 5з.
Для этой функции Л(Т,))> О. Действительно, по физическому смыслу задачи в этом случае на участках поверхности 5з ~ И происходит теплообмен тела, температура которого отлична от нуля, со средой, имеющей нулевую температуру. Так как функция Т,(М), М б 'т", является стационарной точкой функционала (11.4), то выполнено условие стационарности (11.3), в 1Ь2. Задачи теплопроводноети в твердом теле 579 котором слагаемое (л(Р)~7Т(Р))п(Р) равно отличнои от нуля плотности теплового потока, проходящего через поверхность Яз.
Следовательно, Т(Р) ~ О, Р б Яз, а этого уже достаточно, чтобы л[Т„) > 0 при Д > О. Тогда с учетом (11.19) получаем, что Ю~Тч ) > 3[Т.)) > О, т.е. для ненулевого вектора 6, соответствующего функции Т~ч (М), М б $~, имеем ет Лет > О, а это противоречит сделанному предположению.
Таким образом, для т любого ненулевого вектора Й квадратичная форма 6 Л6 и ее матрица Л являются положительно определенными. Если з1 ~ И и сетка КЭ имеет Ю1 узлов Рч б зм Ю = = )ч' +1, Ю, с заданными в соответствии с (11.2) температурами Т(Рч) = ~~(Ру) = Д„ч, то (11.1б) должно принимать в этих узлах заданные значения. Тогда из необходимых условий ' = О, 1, = 1, )т'*, минимума функции (11.18) с учетом дл'[Ти ] дTь Льм = Луь получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Ф' Мв Л литл~ = д — ~~> Л ~упч, 1 = 1, Л'*. (11.20) И=1) МмМ +1 Симметрйческая матрица Л' порядка Х' этой СЛАУ получена из положительно определенной матрицы Л вычеркиванием последних [У1 строк и столбцов.
Поэтому все ее угловые миноры останутся положительными, т.е., согласно критерию Сильвестра [1Ч), матрица Л* также положительно определенная, а СЛАУ (11.20) имеет единственное решение. Если же участки поверхности з1 отсутствуют, то Ю„= Ж~ и сумма в правой части (11.20) исчезает. Отметим, что в силу свойств функций формы КЭ в матрице Л' отличны от нуля лишь элементы на пересечении строк и столбцов с номерами, соответствующими номерам узлов сетки, принадлежащих одному и тому же КЭ.
По~кольку обычно Ж, «Хн, большинство элементов матрицы Л" равны нулю. Такие мотвритфы называют сло6оэополмемиьами (или разремсемнььми). Для численного решения СЛАУ с такой матрицей 580 11. ПРИКПАДНЫЕ ЗАДА ЧИ можно использовать способы, приводящие к существенной экономии вычислительных ресурсов ЭВМ'. Учет аннзотропии материала твердого тела, Если материал тела анизотропный, то Л в (11.1) и (11.3) следует заменить птензором тпеплопроводности Л, который можно представить симметрической матрицей (2.95) третьего порядка с элементами Л; (М) = Л;(М), 1, 1 = 1,3. Тогда функционал (11тй) примет вид з з т~т1=Д'~.Ете,","-~ит)ет,~('т тт)ее, (=1 ди1 Яе а вместо (11.11) для КЭ с номером е получим з з д (е) М д (е) М ( ) Г с с Л .
(М) д'Р( (М) д'р (М) (1, ,=11=1 с + Р(Р) Р7~(Р) Ри(')(Р) (~. (11.21) Зависимость компонент Л; (М), 1', )' = 1,3, тензора Л от декартовых координат х;(М) точки М Е $~, аппроксимируем в пределах КЭ с номером е соотношением вида (10.52) Л;,(М) = ~ Л( (М ) р(')(М), «ею1 где Л( (М ) — известное значение Л," (М) в узле с номером (е) (е) т. Тогда первый интеграл в (11.21) примет вид о' 3 3 (е) (е) Л" = ~'Л('.)(М ) ГС-С-, ()(М) 'р1 (М) д'р" (М) 1 1и — ~т .,' ' ее ~ е( 'тсеи д*; дх, сею! 1т е=11=1 с 'Смл Джордж А., Пю Дж., а также: Писсаиеиии С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
