XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Если на всех сторонах (или ребрах) мультиплексного КЭ число Ж, узлов одинаково, то для прямоугольника или прямоугольного параллелепипеда при сч = Д1, — 1 < 4 многочлен остается неполным. Например, в прямоугольнике с узлами в вершинах (рис. 10.9) можно построить билинейный многочлен ае+й~я1+йяхя+йшх1хз с четырьмя коэффициентами. Эти коэффициенты однозначно определены узловыми значениями аппроксимируемой функции (Ч], а на сетке таких прямоуголь- Р, 1В.В 553 |0.2. Тины конечных элементов по+ Ь|х| + Ьэхз+ Ь!зх|хз+ +Ь||х|~+ Ьззхз~+с|х|хэ+ сзх|хз ~(10.38) с восемью коэффициентами.
В отличие от полного многочлена степени е = 3 в нем отсутствуют слагаемые с хэ| и х~з. Аналогичная ситуация возникает и для трехмерных мультиплексных КЭ в форме прямоугольного параллелепипеда. В середину прямоугольного КЭ поместим начало прямоугольной системы координат ОЫз, оси которой параллельны его ребрам (см. рис.
10.9). Тогда функцию формы для любого н-го узла, находящегося в вершине прямоугольника, можно записать в виде |э (М) =-П(1+6 6), =1,4, 1 (10.39) где С,, | = 1, 2, — координаты принадлежащей КЭ точки Л4, а С,„— координаты а-го узла, принимающие значения ~1. В случае прямоугольника с дополнительными узлами в серединах сторон для узлов в вершинах получим '|эв(Лэ ) — (ч|вч| +чзвчз ') П(' + ч1в6), и = 1, 4, (10.40) 1 1=| а для дополнительных узлов с координатами С,, одна из которых равна нулю,— ~э (54) = ~э"'~| |"'~э П(1+~; ~,), т = 1,4. (10.41) |=| ников билинейные многочлены представляют непрерывную кусочно линейную функцию.
Билинейный многочлен отличается от полного многочлена степени е = 2 отсутствием слагаемых, содержащих яэ| и зэ. Если ввести дополнительные узлы в серединах сторон прямоугольника и не вводить внутренних узлов, то можно построить многочлен 554 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Когда на каждой стороне прямоугольника равномерно распо- ложено по четыре узла, имеем У~с(М) = — (1+~гь~г) (1-~) ) (1+96ь6)1 6ь = ~1, 1гь =.с — ~ 9 г 1 32 3' ММ) = — (1+6~6)(1-~г)(1+ЖгКг) 6!=~-, 4н=Ы, 9 г 1 32 3' 9У+~г) 10 г -(М)= ' ' П(1+~-~) ~'-=~' 32 1=1 В прямоугольной системе координат Оыг~з с началом в середине КЭ в виде прямоугольного параллелепипеда (рис.
10.10), имеющего узлы только в вершинах с координатами (;„= ~1, г = =1,2,3, в=1,8, для функций формы получим у„(М) = — П(1+ (гД;), = 1, 8, 1 8. ~=1 (10.42) где (г — координаты точки М, принадлежащей зтому КЭ. При наличии дополнительных узлов в серединах ребер с коорднна- рнс. гп.го 555 30.2. Типы конечных элементов тами С;, т = 1, 12, одна из которых равна нулю, имеем (с1п~42/ссз) (сзт1зта41 ) (азы(1/сс2) гу ~ 9Ъ~( )— 4 +~ьа6)~ аы1 3 ( 6а6+6а6+4з ~з — 2П( ) 8 ~=! для дополнительных узлов и узлов в вершинах соответственно. Когда на каждом ребре параллелепипеда равномерно расположено по четыре узла, для узлов в вершинах при с;„= ~1 получим а для узлов при (~ь = Ы/3, ~зь =~зь = Ы, й = 1,8,— 0 рь(М) = — (1 — ~~)(1+96я6)(1+4гДз)(1+~зДз). (10.44) Для шестнадцати промежуточных узлов на остальных восьми ребрах следует в (10.44) соответствующим образом изменить индексы.
Мультиплексные КЭ можно построить не только в прямоугольных, но и в х, любых ортогональных системах коорди- Ф нат, в том числе в полярных (или цилиндрических) и сферических координа- 0 тах. Для трехмерных задач применимы -1 лагранжевы КЗ в виде треугольных пря- О ~ мых призм (рис. 10.11), причем в плос- Х2 кости, параллельной основанию призмы, аппроксимирующий многочлен является полным (линейным или более высокой Рис.
ьв.11 556 1О. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ степени) по двум координатам. После умножения этого много- члена на многочлен по координате С, отсчитываемой вдоль оси 0~, перпендикулярной основанию, получают неполный много- член по трем координатам. Однако КЭ, у которого хотя бы одна грань непараллельна координатным плоскостям, строго говоря, нельзя отнести ни к симплексным (или комплексным), ни к мультиплексным. Например, для прямой треугольной призмы с узлами только в вершинах получим ~р„(М) = " ~р„(М), и=1,2,3, (10.45) 1+ с„с где с — координата точки М, перпендикулярная основанию, С„= Ы вЂ” координата основания, содержащего в-й узел, а ~р„(М) — функция формы и-го узла двумерного симплексного КЭ, совпадающего с основанием призмы.
При наличии дополнительных узлов в серединах всех ребер призмы имеем Р~(М) " " р,,(М), и =1,3 с з+ (2у„(М) — 1) (1+~„~) — 1 2 (10.46) р (М) = (1 — 4'~)у„(М), т = 1, 3, рь(М) = 2(1+Ы)р (М)~р.(М), ~„= Ы, й — 1, 3 для узлов в вершинах, серединах боковых ребер и сторон основания соответственно, причем у„(М) — функция формы двумерного симплексного КЭ в сечении призмы, перпендикулярном боковому ребру в узле с номером и или т, а ~р'(М) и ~р.(М) — функции формы этого КЭ для узлов на концах стороны основания, содержащей узел с номером /с. Аналогично можно построить функции формы для КЭ в цилиндрических координатах г, у, г, когда сечение области решаемой задачи, проходящее через ось Оя, разбито на двумерные симплексные КЭ, а с выполняет роль полярного угла ~р. 557 ИЛЬ Типы конечных элементов Как и в случае комплексных КЭ, при аппроксимации действительной функции и(М), М Е й, в пределах мультнплексного КЭ й с общим числом узлов Ж справедливо приближение (10.32), причем элементами матриц-столбцов У, и Ф, размера Ж х 1 являются узловые значения и„этой функции и функции формы у„(М), п = 1, 11', мультиплексного КЭ соответственно.
Все рассмотренные типы КЭ обеспечивают непрерывную аппроксимацию искомой функции как внутри элемента, так и на границах между однотипными соседними элементами. Но может возникнуть необходимость обеспечить при переходе через границу между соседними КЭ непрерывную аппроксимацию не только функции, но и всех ее производных первого порядка. Такую атэтэроэесиллаефию называют гладэеоб. Это требование можно выполнить, если при построении КЭ использовать в качестве узловых иаралеетров не только значения функции, но и значения ее производных, т.е.
перейти от лагранжевых к эрмитовым КЭ, Зрынтовы конечные элементы. Простейшим одномерным эрмитовым КЭ является отрезок (Х„1, х„) с узлами на концах и узловыми значениями и„1, и,', „и„, и'„функции и(х) н ее производной и'(х). Эти значения единственным образом задают кубический интерполяиионный леногочлен Эрлеита, аппроксимирующий в пределах этого КЭ дифференцируемую на концах отрезка функцию и(х): 22(х — х„1) + Ь и(х) ~ и 1(х„— х) + у зх Хв — 1 22(х„-х) +Ь +и~ 1(хв — х) 2 +ив(х — хв 1) Ьз + + и'„(х — Х„1) ", (10.47) Ьз где Ь = х„— х„1. Для четырежды непрерывно дифференцируемой в интервале (х„1, х„) функции и(х) наибольшая возможнал погрешность в (10.47) пропорциональна Ь4 (Щ.
558 Нл ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Если обозначить ~ = — ", Фф) = (1 — ~)з(1+2~) и м® = =с(1 — С)з, то вместо (10.47) аналогично (10.32) можно написать и(М) ~ 17, Ф,(М), У, = (и„1, й„1, и, и'„), (10.48) где Ф,(М) =(Ф(1-4) /ы(1-с) Ф(ф) /ио(с)) — матрица-столбец размера 4 х 1, элементами которой являются функции формы рассматриваемого одномерного эрмитового КЭ, а М— точка с координатой х с [х„1, я ].
Рис. 10.12 Примером двумерного эрмитова КЭ с полным кубическим многочленом является треугольник с узлами в вершинах и четвертым узлом в точке пересечения медиан (рис. 10.12), в котором в качестве узлового параметра принимают значение и4 аппроксимируемой функции и(х1,хз), дифференцируемой в трех остальных узлах. Как и в случае комплексного КЭ функция формы 1г4 = 27р1рз~рз для этого узла обращается в нуль -1з) на всех сторонах треугольника, поскольку на любой стороне одна иэ функций формы ~р1, ~рз или ~рз двумерного симплексного КЭ равна нулю, а в „своем" узле равна единице, поскольку Р1 = уз = уз = 1/3. В вершинах треугольника узловыми параметрами являются значения и„, и = 1,2, 3, функции и(я1,яз) и ее частных производных и„1, и„з первого порядка по координатам х1 и хз соответственно. Итак, общее число узловых параметров 559 10.2. Типы конечных элементов равно 10, что необходимо для однозначного построения полного кубического многочлена двух переменных.
Функции формы (например, для узла с номером и = 1) можно записать в виде' У1 =(Р1('Р1+3У2+ Рз) — 7'Р192'Рз, -(3) 2 <р11 — — ~р1(62342 — 622(рз) + (Ьаг — Ьаз)'РыРа'Рз, (10.49) <Р12 = 'Р1(612~Р3 — 613~Ра) + (Ь!з — Ь12) р1чаг'Рз, (3) 2 где Ь12 = (ха)з — (ха)1, 61з = (ха)1 — (ха)2, Ьаг = (х1)1 — (х1)з~ Ьаз = = (х1)2 — (х1)1, причем (х1); и (ха)1, 1 = 1, 3, — координаты узлов в вершинах треугольника. Если номера п = 1, 2, 3 узлов возрастают прн движении против хода часовой стрелки, то для узлов с номерами 2 н 3 в (10.49) следует провести циклическую перестановку нижних индексов.
Положим — (и1 и11 и12 и2 и21 и22 из и31 и32 и4) (е) I Тогда для приближенного значения функции и(М) в точке М, принадлежащей рассматриваемому КЭ, аналогично (10.48) получим и(М) и с), Ф(М),. Изменение функции и вдоль каждой стороны такого КЭ аппрокснмирует кубический интерполяционный многочлен Эрмита по координате л„, направленной вдоль этой стороны и отсчитываемой от узла с номером а = 1,2,3 (см. рис.
10.12). Коэффициенты этого многочлена можно однозначно выразить ди через узловые значения функции и и ее производной — в верде„ ди шинах на концах каждой из сторон КЭ. Производная — в де каждой вершине с номером и является линейной комбинацией значений и„1 и и„а, одинаковой для соседних КЭ с двумя 'См., например: Зарубин В.С., Селиванов В.В. 560 Нь ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ общими вершинами. Поэтому кубические многочлены, построенные в соседних КЭ, совпадают на стороне между этими вершинами. Это обеспечивает непрерывность аппроксимации ди функции и и ее производной — при переходе через границу д.. между КЭ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
