XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 72
Текст из файла (страница 72)
В выборе матриц Й„и векторов яо есть некоторый произвол. Этот выбор целесообразно провести из условий 5„5о = У~~~ и Я„уо = О~~~, п = О, Ю, (9.43) где 11~1 — единичная матрица порядка Кз, а 01~1 — нулевой вектор размера Кз. Выполнение этих условий гарантирует устойчивость рассматриваемого алгоритма относительно накопления вычислительных погрешностей, поскольку столбцы каждой из матриц Я„образуют систему ортонормированных векторов и норма каждого вектора и матрицы в целом не превышает единицы.
Каждую из матриц 5„, п = О, Ю, получим из матрицы й„ ортонормированием столбцов последней так, чтобы Я„= Я„Й„. Сначала для и = 0 представим в виде блочной матрицы (1,0~))-11,(~з) у(т) 520 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ г-1 Ю = — ю, й11= (Л ю1) 1 Ю = — ( — ~~~ й' ~'), 1 т 1 3 1 йы "' ' ' " йг, 1=1 г-1 й (ДтД ~ ~~й2) 1 К й;„=(я; И )111, где й;г — элементы верхней треугольной матрицы йо порядка Кз, т.е. й;г = 0 пРи 1 < г < 1 < Кз. Так как 5о — — Кой 1 и с учетом правил умножения блочных матриц (П)1-1,(1г) ('Р(11) Р(11) 1 1 о ) о о =( о о 1(г) Р(ы)(Р(11)1-1Р(11) Р(11)1(з) О(ю) о ( о ) о о убеждаемся, что Ро3о — — Ройой,1 = О(1з), т.е.
матрица Яо удо- влетворяет второму условию (9.36). Чтобы удонлетворить пер- вому условию (9.36), построим ма1нрицу-столбец (Р(1!))-1У Хо= 0(з) где Ро — невырожденная квадратная матрица порядка К1 (11) и Ро( — прямоугольная матрица размера К1 х Кз, являю- (11) щиеся блоками прямоугольной матрицы Ро размера К1 х К (К = К1+ Кз) при ее представлении в виде блочной: Ро = = (Ро — Ро ). Обозначим через Я, и Н столбцы матриц (11) (И) Яо и Во с номером г.
Предположим, что прямоугольная матрица Яо размера К х Кз имеет ранг Кз, т.е. столбцы В„, г = 11, Кз, являются линейно независимыми. Тогда, используя процесс ортогонализации Грома — Шмидта, находим 521 Вопросы и задачи и выразим через нее вектор уо = Хо — ЯеЯеХо. Тогда, действи- тельно, получим т Реуо = Р Х вЂ” Р~Я~Б~ Х„= Р Х (Р(11)1-1 ,(гП (1зд ( о ) уо ~ о о =( 0(з) =Р,""(Р(")) 'У -Р,""О(з) = У,. По найденной матрице Яо и известным матрицам Яо и Р1 из второго равенства (9.39) находим матрицу В1 — — Р, 'ЯеБо и, проводя процедуру ортонормирования ее столбцов, получаем матрицы 51 и Й„а затем и все остальные матрицы з„+1 и П„+1, и= 1, 1"х' — 1. Для нахождения векторов я„+1, и = О, Ф вЂ” 1, подставим первое равенство (9.39) во второе условие (9.43) и, используя первое условие (9.43), запишем 'п+1уп+1 = оп+1тп+1 †.~ +1оп+1яп+1 = о~+1Га+1 — яп+1 = О (3] Отсюда следует, что я„+1 — 5„+ г„+1, в = О, Х-1.
При и = О нз (9.38) находим т1 — Р, ~(у1+Яоуо) и затем я1 —— Я г1, что позволяет из первого равенства (9.39) получить вектор у1 —— = г1 — 31 я„найти гз, ят и т.д. Таким образом, установлены все соотношения, позволяющие получить решение системы (9.32) при помощи алгоритма ортогональной прогонки. Вопросы и задачи 9.1. Показать, что при выборе в (9.4) и (9.19) 1)1 = 1)з = = О алгоритм вычислений будет устойчивым при выполнении условий аЫь < — н (аг) < — соответственно.
п1п2 Ь~Л" ко+6' ~,2+52 522 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ 9.2. Методом установления решить задачу 6.6, используя разностную схему (9.5) при 91 — — дз —— 1/2. 9.3. Каков порядок погрешности аппроксимации в (9.16)? Как можно разбить полуинтервал (О, 1) на промежутки, чтобы выбрать направление перехода блуждающей частицы в соседний узел (см.
пример 9.1), если (9.14) аппроксимировать на прямоугольной сетке, для которой й1 — — 2йз, т.е. шаг по оси Ох1 в два раза больше шага по оси Охз? 9.4. Показать, что погрешность аппроксимации разностной схемы, построенной для (9.28), имеет второй порядок. 9.6. Построить разностную схему для (9.28) с переменными шагами сетки по обеим координатам. 9.6. Решить задачу 6.6 с помощью матричной и ортогональной прогонок. Методы конечных и граничных элементов 1О. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕ"ЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ При изложении проекционных методов (см. 6) решения задач математической физики отмечено, что в качестве базисных функииб могут быть использованы кусочно непрерывные функции, отличные от нуля лишь в отдельных конечных подобластях той области, где рассматривают решение задачи.
Такие подобласти в сочетании с выбранным типом базисных функций принято называть кокечнымк элемекпзамк ~КЭ), что и дало название методу решения задач, опирающемуся на указанный подход к построению базисных функций. По существу метод конечных элементов (МКЭ) является проекиионно~еточным методом в том смысле, что процедуру, характерную для проекционных методов и базирующуюся на наличии интееральной формулировки задачи, реализуют на совокупности КЭ, заполняющей область решения задачи. Эту совокупность КЭ называют сеткой конечных элеменпзов.
В пределах каждого КЭ искомое решение приближенно представляют многочленом. Коэффициенты этого многочлена выражают через заранее неизвестные значения искомой функции (в более общем случае — и значения ее производных) в определенным образом выбранных точках КЭ, называемых узлами конечкоео элеменпза. Как и в методе конечных разностей зти значения называют узловыми, причем узловые значения искомой функции и ее производных объединяют общим названием узловые параметры. Объединив отдельные КЭ в сетку, удается выразить искомое решение через неизвестные узловые параметры, которые затем находят, используя интегральную формулировку задачи. Сначала на достаточно простом примере одномерной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 526 !о.
ОснОВы метОДА кОнечных элементОВ (ОДУ) второго порядка последовательно рассмотрим отдель- ные этапы применения КЭ к решению такой задачи. Эти этапы позволят сформировать более детальное представление о сущ- ности МКЭ. 10.1, Одномерная краевая задача Пусть на отрезке [О, 1] определены ограниченные функции 1'(х), р(х) и а(х), причем р(х) > ро > 0 д(х) > О, х Е [О, 1). (10.» Па этом отрезке будем искать решение и(х) линейного ОДУ Аи = Дх) (10.2) с дифференциальным оператором А(и) = — (р(х) и'(х)) + а(х)и, удовлетворяющее граничным условиям и(0) = О, и (» =О. (10.3) (1ОА) При выполнении условий (10,» оператор А(и) будет полоэкительно определенным на множестве Х дважды непрерывно дифференцируемых на [О, 1) функций и(х), удовлетворяющих условиям (10.3) и (10.4) (см.
пример 5.10). Краевал задача (!0.2) — (10.4) может иметь на множестве Х классическое решение и'(х), если функции 1(х) и а(х) непрерывны, а функция р(х) непрерывно дифференцируема на отрезке [О, 1). При этом функция и*(х) минимизирует функционал энергии 527 !0.1. Одномеркаа краевая задача который допустимо рассматривать на более широком множестве функций и(х) по сравнению с множеством Х. Действительно, (10.5) сохраняет смысл на множестве Х' Э Х функций, удовлетворяющих главному для (10.5) граничному условию (! 0.3) и имеющих на отрезке [О, 1] лишь кусочно непрерывную производную (при условии, что множество точек разрыва производной имеет иа [0,1] меру Лебега, равную нулю).
Более того, (10.5) сохраняет смысл, если функции р(х) и д(х), удовлетворяющие условиям (10.1), и функция Дх) имеют на отрезке [0,1] конечное число точек разрыва первого рода. Напомним, что функцию и,(х), минимизирующую при этом (10.5), называют обобщенным решением задачи (10.2) -(10А). Вариацноиная формулировка задачи (10.2)-(10.4), содержащая функционал (10.5), позволяет для поиска приближения к обобщенному решению использовать агетод Ритка. Это приближение можно искать в виде Ф йгч(х) = ~~г а„и„(х), а„ Е К, (10.6) бд[и,би] = 2 ри'би'г(х+2 (ди — /')биг(х = о о 1 1 = 2р(х) и (х)би(х)~ +2 ( — (ри )'+до — ~]биг(х = О.
о о где а„ вЂ” искомые коэффициенты, которые зависят от выбора системы базисных функг1ий и„(х), п = 1,гг!. Подчеркнем, что (10.6), называемое при фиксированном гг! приблизгсенныдг решенисн операторного уравнения (10.2), должно удовлетворять главному для функционала (10.5) граничному условию (10.3), но может не удовлетворять его естественному граничноагу условию (10.4), Действительно, (10А) следует из условия И = 0 стационариости функционала (10.5), получаемого приравниваиием нулю его первой вариации [Х'гг] ! 1 528 1о.
ОснОВы метОДА кОнечных элементОВ Это равенство при произвольной на полуинтервале (О, Ц вариации би(х) функции и(х) и выполнении (10.3), т.е. би(0) = О, приводит к двум условиям в виде (10.2) и (10.4). Если на отрезке [О, Ц функции р(х), д(х), Дх) имеют точки разрыва первого рода, то включим их в число точек х„б [О, Ц, п = О, М, при помощи которых проведем разбиение этого отрезка на Ф частичных о1нрезков. В (10.6) в качестве базисных функций на отрезке [О, Ц выберем О, х<х„1, х — х„ х б [х„1,х„); х„— х„1' и = 1, М вЂ” 1, (10.7) и„(х) = х„+1 — х х Е (х„, х„+1); х„+1 — х„ О, х) х„+1, Рис. 10.1 х — Ха и, кроме того, ин= . при хб[хн мху] и им=О хм — х ч-1 при х < хН м где х„— координаты точек отрезка [О, Ц, являющихся узлами КЭ, расположенными на границах между элементами, причем хо = 0 и хн = 1.
Таким образом, и„(х„) = 1 и функция и„(х) линейно изменяется в пределах частичных отрезков [хв-1 хв] и [хв~ хв+1[~ примыкающих к точке х„, и = 1, М-1, принимая на их противоположных концах нулевое значение (рис. 10.1). Это значение 529 10.!. Одномерная краевая задача остается неизменным на всех частичных отрезках, не содержащих точку х„. При п = М имеем ив1(хв1) = 1, а функция ив1(х) линейно изменяется в пределах отрезка [х1ч 1, х1у] и равна нулю на остальных частичных отрезках.
На любом частичном отрезке [х„1, х„], н = 2, У, при помощи базисных функций и„1(х) и и„(х) можно однозначно представить в виде а„1и„1+а„и„(х) линейную функцию и(х), принимающую в точках х„1 и х„значении и(х„1) = а„1 и и(х„) = а„соответственно. В самом деле, учитывая (10.7), имеем х„— х х — хв и(х) = а„1 + а„ Хв Хв 1 Хв Хв 1 Х вЂ” Х„1 = а„1+ (а„— а„1) Хв Хв-1 Ясно, что при и = 1 функция и1(х) однозначно представляет на частичном отрезке [О, х1] линейную функцию и(х) = а1и1(х), имеющую на его концах значения и1(0) = 0 и и(х1) = а1. Каждый частичный отрезок в сочетании с определенными на нем линейными бэзисными функциями является простейшим примером конечного элемента (КЭ) с двумя уэла.ни на его концах. Базисную функцию, в одном узле КЭ равную единице, а во всех остальных узлах (зтого и других КЭ) равную нулю, называют функциеб формы этого конечного элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
