XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Затем иэ того же узла М~ выпускают вторую частицу и фиксируют значение из в том граничном узле, куда она попадет после случайного блуждания. Эту процедуру повторяют для Ю частиц, и в итоге искомое значение функции в узле М' Е 7ь можно представить как математаичесиое ожидание случайных значений и„, и = = 1, Ю, в достигнутых граничных узлах, т.е. (9.1 7) причем относительная погрешность (9.17) составит 1/~IХ. Изложенный подход к решению стационарной задачи составляет существо метода стапзистических испыпзаний, называемого также методом Монте-Карло.
Ясно, что для обеспечения приемлемой точности решения значение М в (9.17) должно быть достаточно велико, что связано со значительным временем счета на ЭВМ. Поэтому нахождение этим методом значений искомой функции во многих узлах может оказаться нереальным. Однако простота алгоритма и возможность вычислить искомые значения в одном или нескольких узлах без решения всей задачи в целом привлекают внимание к этому методу и стимулируют его дальнейшую разработку.
Отметим, что вероятностную интерпретацию можно дать и разностным схемам, соответствующим нестационарным задачам. 505 9.3. Различные многомерные задачи Перейдем к рассмотрению способов решения при помощи МКР многомерных дифференциальных уравнений гиперболического типа. Волновое уравнение Дги(1,М) г~ри(1,М) Дг (1,М)1 1 х е описывает распространение звуковых волн в некоторой двумерной области Р'. Здесь а — скоросгь звука в среде, а функция и(1,М) может соответствовать возмущенному распределению плотности или давления среды. Это же уравнение в сочетании с заданными на границе Г области г значениями и(1, Р) = 0 описывает поперечные колебания закрепленной по контуру мембраны.
В этом случае функция и(1,М) в момент времени 1 характеризует отклонение точки М Е г' от положения ее равновесия в плоскости мембраны. Используем для аппроксимации (9.18) аналогичную (8.81) трехслойную симметричную разностную схему (аг)2 Л11(111(и" +и~ 2)+(1 — 2н;)и" '), (9.19) =1,г где г — интервал времени, а Л„ соответствует обозначению (9.3). Эта схема при 211 — — нг = 0 становится явной, имеет погрешность 0(гг, 621+6~~) и ограничение (аг)г < — '' на выбор - ьг+ьг значения г, а при 11; Е (О, 1) — неявной, так что для нахождения узловых значений и" в конце й-го интервала времени приходится применять продольно-поперечную прогонку.
В случае 111 = 112 = 1/2 (9.19) аппроксимирует (9.18) также с погрешностью 0(г2,621+6~~). Поэтому следующее из (9.19) равенство (аг)г 1 и~+ и" г 1 — (Лы+Лгг) — = и" ' (9.20) 2 ) 2 И МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ 506 имеет по т четвертый порядок погрешности. Поскольку '(! — (Л11+ Лгг) — ) = (! — Л11 — ) (! — Лгг — ) + 0(т ), (ат) (ат) (ат) то порядок погрешности по т не уменьшится, если от (9.20) перейти к локально-одномерной разностной схеме ! — Л11 — )и = и ( (ат)гх 2 (!-Лгг — ) =и" ' '.
(ат)2 и~+и" г 2 2 (9.21) дги1 Р д,2 +Р Д 2 +( +И)д Дги1 — Дгиг Дх2 х!Дх2 (9.22) диг — Ди1 +ИД 2+(Л+И)Д Д Дх2 Дх1Дхг Д2и1 = Ь1+(Л+2й)— Дхг Дги = 52+ (Л+ 2Р) г Дхг дгиг Д!2 следующей после линеаризации уравнений Ламе в векторной форме (3.35), Здесь р — плотность среды, Л и й — константы Первое из зтих соотношений позволяет найти узловые значения т и" '!г в момент времени 1я 1!г —— гь 1+ — обычным методом 2 прогонки вдоль цепочек узлов при хг = сопя~, а затем также прогонкой, но вдоль цепочек узлов при х1 — — сопье решают СЛАУ с трехдиагональными матрицами, следующие из второго соотношения, и находят узловые значения и~ в конце !с-го интервала времени. Разностную схему (9.21) нетрудно распространить на случай трехмерной области $~ решения задачи.
Функцию и(г,м) в (9.18) можно рассматривать как перемещение или скорость среды, т.е. в многомерной задаче зта функция становится векторной, что требует соответствующего обобщения разностных схем (9.19) — (9.21). В качестве примера обратимся к двумерной динамической задаче теории упругости в перемещениях, описываемой системой дифференциальных уравнений со смешанными производными 507 9.3, Различные многомерные задачи „йалте, и; и 6;, т = 1,2, — проекции векторов перемещения и плотности объемных сил на координатные оси Ох;.
Аппроксимируем (9.22) трехслойной симметричной разностной схемой и" — 2ие т+итт з + ((л+2тт)Д'Д-'+ЙДз-;Д, з) х Л+1т х (тй(и!+и!-~)+(1 2~)и~-~)+ ~(д,+д,)(д +д х (т7т(из- +из;)+(1 — 2т1!)из-'), т'= 1,2, (923) где операторы д; и д; правой (вперед) и левой (назад) конечных разностей заданы равенствами 6; ' ' " 6; причем нижними индексами у скалярной величины тп отмечены номера узлов сетки, равномерно расположенных с шагом 6, вдоль оси Ох! при условии из; = сопз1. Ясно, что ~ тт'н ито+1 ито- ! д тпо- ! 2!по+ кто+1 дт+д — т! 2 26; дают аппроксимации первой и второй производных по х, со вторым порядком погрешности (см. 7.2).
Разностная схема (9.23) при т1! = т1з — — 0 явнал, а при тт! —— = т1з = 1/2 неявная с погрешностью О(гз, 6~+ 6~~). В последнем случае она имеет вид и~ — 2и т+и 72 е л-2 — (д! + д-т)(д2+ д~-2) + 6! + Л+р из — '+ из-' 2 а-г + ((А+21!)д,д,+1тдз- дт-з) ', т = 1,2.
(9 24) 2 508 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ Поскольку с учетом (7.3) и»+и~ ~ и" — 2и~ '+и~ и4 и; » , И;— 2 2 зи. = и,'-'+ — '~ -'+ О(т4), д1з ~44м», то с погрешностью не ниже второго порядка по т заменим в (9.24) -(из»;+и~ ~~) на и~~,' н запишем (7 — ((А+2Й)А~- +Й~-'ьз-4Ь4-з) — )(и,'+и,' ') = Ь»-' — + +2и, '+ т(Ь4+Ь,)(Ь,+Ь з)нз,'., 1=1,2. (9.25) 4р Разностный оператор в левой части (9.25) с погрешностью четвертого порядка заменим произведением операторов, входящих в левые части соотношений (7 (Л+2Й)Ь,Л, )ий /2 — Ь» +2и» + + — т(Ь!+Ь 4)(Ьз+Ь з)из-1 '=1 2 (9.26) л+р »-4 Р ( — ' 1»»-г»-4/З .з 7 — 1»~з-Л'-з — 1(ц + и; ) = и; '", 4 = 1, 2. (9.27) 2р) Эта разностная схема аппрокснмирует (9.22) с погрешностью 0(т~, 6~+ 6~~) н применима без ограничения на выбор интервала т.
Аналогично схеме (9.21) соотношение (9.26) позволяет »-1/3 вычяслнть узловые значения и, в момент времени 1»,7з = т =1» 4 + — обычным методом прогонки вдоль цепочек узлов прн 2 хз; = сопяс, а затем также прогонкой, но вдоль цепочек узлов прн х; = сопя» решают СЛАУ (9.27) с трехднагональными ма- 509 9.3. Различные многомерные задачи трицами и находят узловые значения ио в конце й-го интервала времени. Локально. одномерную схему (9.26), (9.27) можно обобщить и на случай трехмерной динамической задачи теории упругости. Отметим, что разностная схема (9.26), (9.27) и ей подобные не применимы к решению статических задач теории упругости методом установления. Дело в том, что система уравнений (9.22) при постоянных во времени граничных условиях и проекциях вектора плотности объемных сил описывает незатухающие гармоническяе колебания в линейно упругом теле.
Но разностную схему метода установления нетрудно построить, если в (9.22) левые части, характеризующие проди! екции инерционных сил, предварительно заменить на г — и диз д! г — ' соответственно, где г — параметр, имеющий смысл козффнциента сопротивления. Модифицированные таким способом дифференциальные уравнения можно аппроксимировать на интервале времени Ь2ь разностной схемой 1с-1/2 а-1 г ! ! = (А+2/2)сз1с'.! 1и! +/!сага 2и! + 1-'1!а + — (/21+/Л- )(/Л2+ ас-2)и2 +51 Л+/2 1, 1 Ь-1/2 4 1с — 1/2 е-1 = — (Ь1+Ь 1)(Ь2+Ь 2)и, / + и — и Л+/е а-1/г 2е 4 +/зсз1сз !и2 +(Л+2/2)Ь2сл зи2 '+Ь2 «-1/2 и, — и е-1/2 г = (Л+2/е)Ь2Ь 2(и2 — и2 '), 2у, "Сма Зарубин В.С., Сеаиоаноо В.В..
819 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ к которой можно применить метод установления в сочетании с обычным методом прогонки. Рассмотрим особенности построения разностной схемы для дифференциального уравнения четвертого порядка (3.27) !!У (1У~Ф(М)) = )'(М), М Е Е, (9.28) где !!>(М) и ДМ) — искомая и заданная функции соответственно в двумерной области Е, ограниченной контуром Г. Если 4!!(М) имеет физический смысл функции тока, то это уравнение описывает установившееся движение несжимаемой вязкой жидкости (см. пример 3.1). В декартовой прямоугольной системе координат Ох!хя бигпрмонический операп!ор имеет вид д~!й д~й, д4й, = — +2 + —. д ', дяз1д", дя4з' Аппроксимация четвертой производной функции 4Р по каждой из координат в соответствии с (7.8) требует использования значений этой функции в пяти соседних узлах конечноразиостной сетки, расположенных в направлении изменения координаты.
Для аппроксимации смешанной производной потребуется девять узловых значений функции. В случае квадратной сетки с шагом Ь (рис. 9.4) с учетом (7.3) для узла с номерами т и и запишем д4!) Ф,+1, +! — 2Ф, +1,и+ Ф, +1, -1 Ь4 Можно показать, что погрешность такой аппроксимации имеет второй порядок. В итоге, учитывая (7.9), для (9.28) получаем 511 9.3.
Различные многомерные задачи ° и+2 - и+! т+з,е и и-1 -и — 2 т+1 т+2 та Рис. 9.4 разностную схему 1 4 (Фт+2,о + Фт-2,о + Фт,о+2 + !Гт,о-2) + 2 + 4(Фт+!о+1+Фт !о+1+Фт+!о 1+от!,и 1) 8 го Д (!Рт+1,и + и!т-1,о+ зРт,п+! + Фт+1,о-!) + ~ 4 !Рта = !то~ где 㠄— значение функции ДМ) в узле с номерами т и о. Надо сказать, что эта схема обладает существенным недостатком. Если ее использовать для вычисления значений !!! переходя последовательно от одного узла сетки к другому, то такой процесс последовательных приближений сходится, но очень медленно. Причина заключается в том, что значение зр является разностью двух почти одинаковых сумм, заметно превосходящих это значение. Кроме того, эта схема применима лишь в узлах, отстоящих на два шага от границы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
