XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Тогда ди,~г в (8.96) имеет смысл приближенного значения напряжения в точ- с 1г,„,и,„+, + и„с иос с И~~~Й~+г В этом алгоритме, называемом встречной ггроаоикой, удается сэкономить примерно Х арифметических операций по сравнению с обычным методом прогонки. Экономия будет более существенной, если коэффициенты аи, й„и с„в (8.9) постоянны, а в (8.8) со — — а,ч = О, поскольку тогда сс',сс „— ри. и =О, еи. В ряде задач математической физики помимо значений ио в узлах разностной схемы представляют интерес и значения 478 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДА ЧН 9,+1~я — 9„11з+ 0 и = у, и = 1, )у-1, (8.97) а1и1+ уо по= — Чн-~1з+ "мин = ун а1+ "о Из (8.96) найдем и„= и„~1+ ~"+'~', и = О, г1 — 1, и подставим в а~+1 (8.86), где теперь Р = " " " (8 98) а„+~ + а„+ (1 — р„1) а„а„+1 и = О, Ж вЂ” 1.
В итоге будем иметь д„+,~я+ а„+1(1 — р„)и„+~ — а„+1и„, и = О, Ж-1, или и=1,%, 9„17з+ р„и„= й„, (8.99) где р„= а„(1 - и„~ ) и й„= а„и„ы ке х„1~я. В теплофизических задачах и(х) — распределение температуры, а 9„1~я в (8.96) по абсолютной величине соответствует плотности теплового потока при х = х„ ,~з. В задачах электрофизики и(х) может иметь смысл электрического потенциала. Тогда и'(х) по абсолютной величине соответствует напряженности электрического поля, а д„,~з — плотности электрического тока в точке х„,1з.
Для неоднородной среды коэффициенты в (8.9) и в том числе а„могут резко изменять свои значения. В таком случае использование (8.96) для вычисления 9„,1я по предварительно найденным значениям и„, и = О, Ж, приводит к значительной потере точности. Этого можно избежать, если перейти к описанной ниже потпокооой проеомке.
Рассмотрим случай, когда матрица (8.11) является симметрической, т.е. с„= а„+ы п = О, М вЂ” 1, и обозначим 6„= а„+ + а„е, + Н„, причем ао = ан~,1 — О, д„> О, и = О, Ж, и а„> О, п = 1, Х. Тогда вместо (8.8) и (8.9) с учетом (8.96) получим 479 длин Мо~рюфикапии могола прогонки СЛАУ (8.97), (8.99) содержит 2Ю+ 1 уравнений с 2%+ 1 неизвестными и распадается на две независимые СЛАУ.
Перй — 4„1~а вую получим, если представление и„=, вытекающее ро иэ (8.99), подставим в (8.97): Р»%о+~!Э+~ ~ И У 1ао+ о Здесь д,ч+,~э —— О. Из этой системы для п = Ж находим 9ч,7э, а затем последовательно для в = Ж вЂ” 1, Х вЂ” 2, ..., 1 вычисляем и все остальные значения д„,~э. Вторую систему получим, если выражение д„,~э = и„— р„и„, вытекающее из (8.99), подставим снова в (8.97): нов Р„+1 во+1 + ӄ— ии+1 + й„ и = 1, Х, (8.101) ро + о1о причем ии = ам+1 — — рч+1 — — О.
При и = Х из (8.101) вычисляем п,ч, затем последовательно для и = Ж вЂ” 1, Ж вЂ” 2, .... 1 находим значения и„, а из (8.97) по найденному значению и1 вычисляем ие. Из (8.98) и (8.99) имеем р, = а~Де/(а1+ Не) и а„+1(Ы„+ а„(1 — р„1)) а„+1(Й„+ р„) Фи+~в — и=1,1У. а„+, +И„+а„(1 — а„,) а„+, +Н„+р„' Отсюда при а„+1 > 0 и д„> О, и= О, г1-1, следует, что р„> О. Тогда в (8.100) при а„+,~э получаем коэффициент ро ( 1, и ~+но что обеспечивает устойчивость вычислений по этой формуле. Ио и в (8.101) при и„+~ коэффициент ро+1 а„+1 р„+Н„а„+, +Н.+й„ что также гарантирует устойчивость вычислений по (8.101). 480 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Таким образом, алгоритм потоковой прогонки обладает устойчивостью по отношению к погрешностям вычислений.
Для его реализации требуется 21А»+ 1 арифметических действий", что примерно вдвое превышает число операций, необходимых для вычисления значений п„обычным методом прогонки с последующим нахождением значений д„»»з из (8.96). В том случае, когда краевая задача для обыкноненного дифференциального уравнения (ОДУ) (8.1) имеет периодическое решение, матрица А в СЛАУ (8.10) имеет вид (8.17), т.е.
не является трехдиагональной. Для решения такой СЛАУ можно применить модифицированный вариант метода прогонки, называемый »4кклкческо»2 провокко4. Этот вариант основан на представлении узловых значений искомой функции в виде (8.102) п=О,А», ка = иа + не»иа, где значения и„находят из решения системы — ааи„»+6„и„— с„и„+, — — у„, и = 1, А» — 1, (8.103) и условий ии = и»и = О, а значения н»„вЂ” из системы — а„ю„ , + 6„»и„ — с„и»а+» — — О, и = 1, А» — 1, (8.104) и условий и»е — — н»»и = 1. Умножением (8.104) на ие и почленным сложением результата с (8.103) при том же номере п можно убедиться, что с учетом (8.102) будет удовлетворено (8.9). Аналогично удается удовлетворить и второе равенство в (8.16).
Чтобы удовлетворить первое равенство в (8.16), подставим в него (8.102) при и = О, 1 и А» — 1. Тогда с учетом ие = 0 и и»ив - ! запишем — аеи»и» — ао»»еи»»и» + 6опо — сои» вЂ” соиои»» —— уо, 'Смс Самарский А.А., Николаса Е.С. 481 Д.З.Ь Модификации метода прогоики или уо+аоон 1+соц1 ио= 6о — аошщ 1 — сош1 (8.105) и„= и'„+ иоео + инш„, п = О, Й, (8.106) где и'„находят при и' = и~ — — 0 из СЛАУ вЂ” а„и'„, + 6„и'„— с„и„', = у„, и = 1, Ж-1, (8.107) оо при оо = 1 и цм = 0 из СЛАУ вЂ” а„о„1+ 6„о„— с„о„+1 — — 1о„, п = 1, Ж-1, (8.108) а ш„при шо = 0 и шм = 1 из СЛАУ вЂ” а„ш„> + 6„ш„— с„ш„+1 — — ~Р„, п = 1, %-1. (8.109) Из (8.106)-(8.109) ясно, что значения и„, и = 1, Ж-1, удовлетворяют разиостиым ураеиеииллв (8.23), Для нахождения ио и ин используем оставшиеся два ревностных уравнения в (8.22) "Смо Соморехоа А.Ао Николаев Е.С, Решение систем (8.103) и (8.104) получают обычным методом прогонки, причем для каждого номера п коэффициент р„ будет одинаков для обеих систем, что позволяет уменьшить общее число арифметических операций, которое при полной реализации алгоритма пиклической прогонки составляет 14% — 8.
Если выполнены достаточные условия (8.85), то, как было показано ранее, гарантирована устойчивость алгоритма решения СЛАУ (8.103) и (8.104). Кроме того, можно показать", что из этих условий следует 6о — аошд 1 — сош1 ф О, т.е. ио в соответствии с (8.105) имеет конечное значение. Более сложной модификации приходится подвергать метод прогонки при решении класса задач, которым соответствует СЛАУ (8.10) с матрицей (8.25).
Решение такой СЛАУ можно представить в виде 482 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ и (8.24), подставив в них (8.106) при п = 0 и п = Ае. В итоге получим систему двух уравнений относительно ио и ик!. (Ьо — (у' о)) ио — (!до+ (д', и!)) ин = Уо+ (у' и'), — (!еск! + (д, о)) ио — (܄— (д, ш)) ик! = Ук! + (д, и') . Здесь (ч-) обозначает сумму А! — 1 попарных произведений. Например, р!- ! (д'* о) = ~~~. д»'о». «=1 Если определитель этой системы !5 = (Ьо — (д', о)) (Ьк! — (у, в))— — (Фо+ (У' в)) (Фн+ (д, о)) Ф О, (8,110) то она имеет единственное решение (Ьн — (д, в)) (Уо+ (д' и')) + (4о+ (д', в) ) (Ун + (д, и') ) о— (ерш+(д о))(Уо+(У и ))+(Ьо — (У,о))(дн+(У и )) и%в !л Выполнение условий (8.85) достаточно для устойчивости алгоритма обычного метода прогонки при решении систем (8.107) — (8.109).
Можно показать" справедливость (8.110) при более ограничительных по сравнению с (8.85) неравенствах 1Ьо! > Мо1+ ~~' !д! Фн! >)Рм~+ ~~~ !д 1, ЬоЬН ФО «=! а=! )Ь„) > (а„)+(с„)+)!Р„(+ (ф„), а„с„ф О, и= 1, А! — 1, причем хотя бы в одном из них должно быть выполнено строгое неравенство. Вместе с тем, если известно, что СЛАУ *Смс Самарский А.А., Николаев Е.С, Д.ВД. Модификации метода прогонки 483 и' (х) + 1(х, и) = О, х б [О, 1), (8. 112) где ((х,и) — непрерывно дифференцируемая по и и непрерыв- нал по х действительная функция, при заданных значениях и(0) =ио и и(1) = и~ (8.113) искомой функции и(х) на концах отрезка [О, 1).
'Смс Самарский А.А., Иикоааев Е.С. (8.22) — (8.24) имеет единственное решение, то справедливо соотношение (8.110), и ио и ии имеют единственные значения даже при нарушении условий (8.111). Рассмотренные варианты метода прогонки для решения СЛАУ (8.10) можно применять, когда А является маснриией г частичным диагональным преобладанием, т.е. выполнены условия (8.85). При их нарушении нельзя гарантировать отличие от нуля знаменателя коэффициентов р„и ра в (8.87) и справедливость неравенства р„< 1, обеспечивающего устойчивость описанного алгоритма метода прогонки по отношению к вычислительным погрешностям. Удобство такого алгоритма состоит в использовании простых рекуррентных формул, реализующих для СЛАУ с трехдиагональной матрицей метод Гаусса без выбора главного элемента по строкам матрицы, поскольку при частичном диагональном преобладании главный элемент расположен на главной диагонали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
