XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Отметим, что каждую из итераций можно выполнить при помощи магпричной прогонки. Здесь ограничимся описанием явной роамостппот2 сиемы тптапа предиктпор-теоррететпор, алгоритм которой на каждом интервале времени состоит из двух этапов. Сначала по известным в момент времени /е т, т.е. в начале /т-го интервала времени Ь1ы значениям элементов матриц 1/ и И' в узлах одномерной равномерной сетки с шагом и находят значения элементов матрицы с/ в так называемых полуцелых узлах пространственно-временнбй сетки (рис. 8.6): (/„"-! + (/„";,' аЫ/2 Ь| —,'(,"-'//"-' — "-'и"-'+ И "-' — И'"-'). 26 е ак! ак! п и п~! а -- 1с-1/2 -- /е-1 н н+1/2 н+1 и-1/2 Рис.
8.8 472 а ОдпОмеРные кРАеВые 3АдАчи Эта явнаи схема („предиктор"), в которой для аппроксимации производных использованы разности вперед по времени / и центральные разности по координате х!, позволяет с погрешностью 0(Ь!ь,йг) получить прогноз для значений элементов матрицы е/ в момент времени ~ь !/г в середине интервала Ыь в промежуточных узлах сетки по координате хт. По этим значениям в тех же полуцелых узлах можно вычислить значения скорости о и единственного отличного от нуля элемента р(Р)+ -/гоО матрицы И' и затем перейти ко второму этапу 2 („корректору"): (/ь (/ь- ! ~~~ / ь-г/г ь-г/г е- !/г ь- !/г ь- !/г „ /ь-!/г! и+ ! /г тт+ ! /г в- ! /г тт- ! /г е+ ! /г и-! /г / ' Шаблон этой явной схемы носит название „крест" (узлы пространственно-временнбй ~етки, входящие в этот шаблон, отмечены на рис.
8.6 крестиком в кружке). Можно показать*, что несмотря на погрешность 0(Ьеь,й~) первого этапа после выполнения второго этапа итоговая погрешность имеет второй порядок как по времени, так и по пространственной координате, поскольку главные члены погрешности, возникшие при аппроксимации производной по времени на этапе „предиктор", компенсируются затем на этапе „корректор". Наряду с удобством вычислений по явным схемам описанная разностная ~хема имеет ограничение на выбор допустимого интервала времени: Ыь < —, где а = ~ —. ь ~й„~„~ а е )е) !~!/ т/р Дополнение 8.1. Модификации метода прогонки Выше (см.
7.4) показано, что выполнение условия (7.26) достаточно для существования и единственности решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с огрех- 'См., например: Пирулов У.Г., Роев*кое Г.С. 473 Д.ни Модификации метода прогонки 1Ьо! ) ~со(, ~Ьм~ 3 (агД~, (6„( > (а„(+(с„(, и = 1, )ч' — 1, (8.85) причем ЬоЬк ф 0 и в последнем неравенстве а„с„~ О, а хотя бы в одном из них должно быть соблюдено строгое неравенство. В частных случаях задания узловых значений ио и (или) и~ч искомой функции и(г) имеем в (8.8), (8.11) и (8.85) со — О, ио = = уо/Ьо и (или) а~о = О, ии = уы/Ьд.
Для построения алгоритма решения СЛЛУ (8.10) с матрицей (8.11) используем представление (7.27) в виде и = О, Ж вЂ” 1. (8,86) и„= ив и„+1+ и„, Из первого равенства (8.8) имеем ио — — со/6о и ро = уо/Ьо, а далее из (8.9) и (8.8б) находим ܄— а„р„, ' " 6„— а„и„, ' Используя уравнения (8.86) и (8.87) для и = 1ч' — 1 и подставляя во второе равенство (8.8) представление ич 1 — — рм 1и,ч+ рм получаем у,ч+ а,чр,ч иХ = Ь,ч — а мам (8.88) что позволяет затем при помощи (8.86) и предварительно вы- численных по (8.87) коэффициентов ри и р„последовательно найти остальные значения и„для и = )ч' — 1, )ч' — 2, ..., 1. О.
диагональной матрицей А. При выполнении этого условия А является матриией с частичным диагональным преобладанием, а алгоритм метода прогонки — устойчивым. Рассмотрим эти вопросы применительно к решению СЛАУ (8.10) с трехдиа; гональной матрицей (8.11) при более слабых ограничениях 474 Л. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Непосредственным перемножением нижней 6 — а1 А1= ЬЯ1 1 Π— а1Я ЬЯ1 0 0 0 0 0 0 и верхней 1 — 0 ... 0 0 1ио О 1 -и, ...О О 0 0 1 ... 0 0 Аг= О О О ...1-ря1 0 0 0 ... 0 1 треугольных матриц, где Ь„=6„— а„и„1, и = 1, М, — знаме- натели в соотношениях 18.87), можно показать, что А = А1Аг, Поскольку 11егА = 11е1А111е1Аг и 11е1Аг = 1, получим 1Я )есА= е1А1 =6епл„.
18,89) Таким образом, условие десА ф 0 существования обратной матрицы А ' будет выполнено, если при 6о фО выполнены условия гХ„фО, и=1,№ Алгоритм метода прогонки можно построить и в обратном направлении, положив и„=,и'„и„1+ и„', и = Ж, Ж вЂ” 1, ..., 2, 1, 18.90) а„ Ии у 6и спрэд.+1 0 0 ь о — аг Ьг пРичем Р' = агя/6~ч, И„= Уя1(6р~ и 0 0 0 0 0 0 475 Д.8. Ь МодиФикации метода лрогоики Тогда получим уо+ сои| ио = Ьо — сои| (8.92) и вместо (8.89) будем иметь Р Р ек„= ܄— с„|е„+|. о=о Отсюда следует, что для существования матрицы А ' необходимо, чтобы Ь„' ~0, и= О, У вЂ” 1, при Ь~ч ф О.
Покажем, что для обеспечения |!|„ф 0 или |".|'„~ 0 достаточно выполнения неравенств (8.85). Действительно, поскольку !||о! = ! — '! < 1, с учетом третьего неравенства (8.85) при и =! ье имеем !ск!!=!Ь! — а|||о! > (Ь!! — !а|!!по!) !с|!+!а|((1 — !ио!) >О, (893) т.е. !|а| ! > !с|! и ез| ф О. Отсюда, используя (8.87), находим !|||! = — < — =1. !с|! !с|! !|л|! )с|! (8.94) !Ьл|! = !Ьк| — а|я|ем | ! > !Ьк|! — (а|д! )|||о |! > 0 (8.95) и |'.|л| ф О. Если !Ьо! > !со!, то (ро! < 1 и в соответствии с (8.93) и (8.94) !|5|! > !с|!, !|||! < 1, а значит, и (||„! < 1, и = 2, Ж вЂ” 1, в том числе !||м |! < 1.
Теперь (8.95) справедливо даже при !Ьм! = = !а|ч!. Наконец, в случае !Ьо1! > !ао1 !+ !со1 ! при 1 < |и < 1У вЂ” 1 с учетом (|| |! < 1 получим !|"-|„,! = !Ь,„ — атем |! > !Ь,„! — !а,„!!р |! > > !с ! + !а !( 1 — !|| |!) > !с,„!, Увеличивая номер и, последовательно устанавливаем, что Ь„ ~ ~ 0 и !||„! < 1 при п < Ж. Для выполнения условия |1|,ч ф 0 требуется, чтобы в (8.85) имело место хотя бы одно строгое неравенство.
Если !Ьм! > !ам!, то при !||я| |! < 1 получаем 476 Н. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ т.е. )гз,„) ) )с (, )Л,„( ~ О и )!г ) = — < — = 1, а затем, увеличивая номер п = т+1, Ф вЂ” 1, будем иметь ~р„~ < 1, в том числе ~ггл 1) < 1, так что неравенство (8.95) справедливо даже при )Ьлг) = (ао).
Таким образом, условия (8.85) с учетом 6о6лг ф 0 гарантируют существование и единственность реп!ения СЛАУ (8.10) с матрицей (8.11) и попутно являются достаточными для выполнения неравенств ~!г„~ < 1, п = О, )У вЂ” 1, что формально обеспечивает устойчивость процесса вычислений при использовании рекуррентного соотношения (8.86). При выполнении этих условий говорят, что разностная схема (8.8), (8.9) в сочетании с алгоритмом метода прогонки является корректной.
Отметим, что условия (8.85) можно ослабить, допустив а„= = 0 или с„= 0 для некоторых и = 1, Х вЂ” 1. В самом деле, пусть, например, а = 0 при таком пц что 1 < т < Ж вЂ” !. Тогда (8.8), (8.9) можно представить в виде двух СЛАУ: 6 и,„— с„,и„,+г — — у,„, — а!о им 1+ 6гч иго = у!о, — а и, г+6„и„— с„и„+1 — — у„, п= т+1, !У вЂ” 1, относительно неизвестных и„, и = т, А!, и — а„и„1 + 6„и„— с„и„+г — — у„, и=1,т — 2, 6оио — соиг — — уо, -ат-ги, г + 6„, ги„, г — — у„г + с,„-гиса относительно неизвестных и„, и = О, т — 1. Каждая из этих СЛАУ соответствует корректной разностной схеме, но обе могут быть решены сквозной прогонкой путем вычисления коэффициентов (8.87) и нахождения значений ио из (8.88) и и„, и = Ж вЂ” 1,0, иэ 8.86).
Подсчет количества арифметических операций в соотношениях (8.86)-(8.88) показывает, что в процессе вычислений следует выполнить ЗА' умножений, 2!У+ 1 делений и 3!У сложений и вычитаний. При реализации алгоритма на ЭВМ наиболее медленной операцией является деление.
Вместо 2)У+ 1 делений 477 Д.о. сп Модификаиии метода прогонки можно выполнить У+ 1 обращений знаменателя Ьи коэффициентов 1г„и ии, но тогДа возРастет иа 2ос+ 1 число опеРаций умножения. Если же не делать различия между арифметическими операциями, то общее их количество составит 8У+ 1, причем из них Зге' — 2 операций уходит на вычисление коэффициентов !си, и = О, %-1. Отметим, что возможность построения алгоритма метода прогонки как на основе (8.86), (8.87), так и на основе (8,90).
(8.91) позволяет уменьшить суммарное количество арифметических операций, если при рецсении задачи представляют интерес не все значения и„, и = О, Ю, а лишь одно значение ио,. Пусть т и Ж/2. Тогда, используя (8.87), находим гг и и,„, при помощи (8.91) вычисляем сг'„,+, и и,'„+„а затем из (8.86) при п= т и из (8.90) при п = т+1 получаем систему из двух алгебраических уравнений с / и~+1 = Иш+1и~ + от+1 и =р и +с+и откуда следует Чи цг — — -а„(и„— и„г), и = 1, Ж, (8.96) пропорциональные приближенным значениям производной и'(х) искомой функции и(х). Если и(х) имеет смысл перемещения в твердом теле, то и'(х) является деформацией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
