XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Этот алгоритм связан с монотонным изменением номера узла сначала в одном направлении, а затем — в противоположном. Если СЛАУ (8.10) имеет единственное решение, но условие (8.85) нарушено, то можно построить алгоритм немонотпонной нрогонни*, который основан на методе Гаусса с выбором главного элемента. В этом случае может не соблюдаться монотонное изменение номера при нахождении узловых значений искомой функции. Метод прогонки можно использовать для решения последовательными приближениями нелинейных краевых задач. Рассмотрим нелинейное ОДУ второго порядка 484 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Аппроксимируя при помощи (7.3) вторую производную в (8.112) на равномерной одномерной сетке с шагом Ь и узлами х„= пЬ, и = О, Ю, получаем систему разностных уравнений — и„1+2и„— и„+1 — Ьэ)„, и= 1, Ю вЂ” 1, (8.114) — и( ), +2и(") — и1 ), =ЬЭ~<~ '), и= 1, Ж-1, (8.115) где ~1~ 1) = Дх„,и„), образующих СЛАУ с квадратной (ь-1) трехдиагональной матрицей 2 — 1 0 ...
0 0 -1 2 -1 ... 0 0 0 — 1 2 ... О 0 0 0 0 ... 2 -1 0 0 0 ... 1 2 порядка Ж вЂ” 1. Решая эту СЛАУ методом прогонки и используя (8.8б), с учетом граничного условия и)у — — и~ последовательно (ь) находим где У„= ) (х„,и„), х„= иЬ. Эта система включает У вЂ” 1 нелинейных конечных уравнений относительно А) — 1 неизвестных узловых значений и„. Алгоритм решения системы (8.114) с помощью последовательных приближений можно построить различным образом, но он должен обеспечивать сходимость итераций к искомому решению.
Пусть узловые значения и получены на (Ь вЂ” 1)-й ите(/с-1) рации (при Й = 1 они соответствуют некоторому начальному приближению). Тогда на Ь-й итерации (8.114) перейдет в систему уравнений 485 Д.о. !. Модификации метода црогоики где в соответствии с (8.87) при а„= с„= 1, 5„= 2, и = 1, 1"( — 1, (/с) ао=(со=О и ио =по (с„= = <1, сс(~1=(с„(6~~~" ~!+и( (!). (8.117) (Со-1 П+ Обозначим г~ = и~ — и„* погрешность на )с-й итерации, где (!с) (/с) и„* — узловые значения, соответствующие истинному решению системы (8.114), т,е. удовлетворяющие равенствам — и„' ! + 2и„* — и'„+! — — 6~Д = 6~Дя„, и„*), и = 1, Д( — 1. Вычитая эти равенства почлеино из (8.115), получаем СЛАУ вЂ” г( 1, + 2я(Я1 — я(+! —— с((о~ !1, и = 1, Ж вЂ” 1, где ((!с1 62(у(л-1) у*) 62 .с (~ос ) (!с-1) (8 118) имо'„ Решая эту СЛАУ также методом прогонки и учитывая (8.116) и (8.117), при яо ек я = О находим ((с) (Iс) л! 1-1 з('с1 = (с„я(+1! + и("! = и ~,, ~ тс(( !.
(8.119) сок+1 ( ) осм! Используя (8.118), введем оценку $сФ с$<ь !*с — с$ 1*"' $ ь М,$ сс — »$ !8120! о=1,%-1 Тогда из (8.119) будем иметь !о 1-1 (з( 1!(<6 м !(г( ~((п ~1 ~~1 т=п 6 м (!л( )! , Ф-1) 486 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ л(г Отсюда, учитывая, что шах п(Д( — о) < — и Жй =1, получаем ч=!,а7-3 ! (ь)! < Ж 6 М ! (ь- 1)! 1 М1 ! (/ -1)! Таким образом, достаточным условием сходимости алгоритма последовательных приближений является выполнение неравенства -1 М, < 1, не зависящего от числа узлов сетки. ) з Пример 8.4.
Рассмотрим прямой стержень длиной Ь с круговым поперечным сечением радиуса Н, излучающий с боковой поверхности. Температура Тв торцов стержня (при х = 0 и я = Ь) поддерживается постоянной. Если принять, что температура в поперечном сечении стержня однородна и изменяется лишь вдоль координаты х Е '(О, Ц, то установившееся распределение температуры Т(х) будет описываться нелинейным ОДУ яй Л, — 2хйлооТ (х) =О, х Е (О, Е), (8.121) ('Т(я) ,( г где Л коэФфициент теплопроводности материала стержня; с — коэффициент излучения его боковой поверхности; ~то — — 5,67 10,, — постояннал Стефана — Больцмана Вт (см.
пример 3.5). Из физического смысла задачи ясно, что Т(х) < То при х Е (О, 1). Положив и = Т(Тв, приведем (8.121) к безразмерному виду 12 (~) — Си (() =О, С = — Е (0,1), С=2о~ — Тв, (8.122) и запишем граничные условия: и(0) = и(1) = 1. Из сравнения (8.48) с (8.122) следует, что в данном случае Д(х,и) = — Си", д/(я,и) так что ' = — 4Сиз и в соответствии с (8.120) при 1=1 и ди и < 1 имеем (з 1 )д~(л„1и)1 1 3 — М1 —— — ~пах "' = — ~пах ! — 4Сиз! = —. 487 Д.8.
Ь Модификации метода прогонки Следовательно, для сходимости изложенного выше алгоритма последовательных приближений достаточно выполнения неравенства С/2 < 1. В табл. 8.1 приведены эначеиия и„10з, п = = 1, Ю/2, рассчитанные при Ж = 20 и С = 2 (при этом учтена симметрия распределения температуры относительно середины стержня). Отметим, что положение, когда значения и„на двух последовательных итерациях в каждом узле отличаются меньше чем на 1О е, было достигнуто за 20 итераций.
Таблица 8.1 Непосредственными вычислениями при Ж = 20 сходимость изложенного алгоритма была установлена при С < 5,12. Чтобы значения и„на двух последовательных итерациях отличались меньше чем на 1О е, при С = 5,12 потребовалось свыше 1000 итераций (см. табл. 8.1). Обеспечить сходимость последовательных приближений при больших значениях параметра С можно за счет некоторой модификации изложенного алгоритма. Для этого (8.122) запишем 12 в виде — + С(1 — и~) = С, или П4е е)~и(С) -1- С(1 — и) (1+ и + и + и ) = С. з Если при выполнении й-й итерации множитель 1+и+и~+из 1/с-1) вычислять по узловым значениям и„, найдеиным на предыдушей итерации, то вместо (8,115), полагал Ь = 1/Ж, получим — и„, -1- (2+ 6~ ')) и~„) — и„1 — — 61" — —, (8.123) (л) 488 Л.
ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДА ЧИ и =1, А!-1, где 61л-П (1+не-!+( 1я-!1)з+(„1я-!1)з) С Рассмотрим модификацию метода прогонки для решения СЛАУ (8.27), (8.28) с нлтидиагонольной матрицей (см. пример 8.2). Такая матрица позволяет построить алгоритм прогонки, положив (8.124) и» = е~н~+! — ~~н~+з+ 0~. Формулы для коэффициентов е„, С„и ц„найдем, выразив при помощи (8.124) и„! и и„з через и„и н„+, и подставив их в (8.28). В итоге получим п'„+ (а„е„з — 6„)~„! ен = е„ Ь„ ,1„— а„0„-з — (а„е„-!в ׻— Ь 6и)Ъ вЂ” 1 (8,125) Если считать, что ао = а! —— 6е = О, то из (8.125) следует !!е со = —, со !(! — 6!со е! = !6! Уо 0о— со еа 10 1 со е! А+6!0е — 71! = Ь! Ь! сое! — 6, по Ь! = с! — 6!Ао = со Решение системы (8.123) методом прогонки при А! = 20 для значений С = 2 и С = 5,12 привело к указанным в табл.
8.1 результатам, но за 6 и 8 итераций соответственно. Там же приведены значения и„. 10з, и = 1, А!/2, при С = 100 и С = = 1000. Положение, когда значения на двух последовательных итерациях отличаются менее чем на 10 е, было достигнуто за 44 и 205 итераций соответственно. Д.8.1. МодификацИи метода прогонки 489 Далее для и = 2, Х используем непосредственно (8.125), учитывая, что ен, = оке = с1м = О. Тогда при и = Л вЂ” 1 получим ~н 1 — О, а при и = Ф имеем ем = си = 0 и )х — ахтйщ 1 — (анед з — Ьн)т1н 1 нм = Нм — . (8.126) сн — ансн-з+ (атем-з — Ьн)ем После вычисления нас иэ (8.124) при те = р1 — 1 с учетом ~щ, = 0 находим им 1 — — ещ 1и„+ пм, и затем по этой же формуле для п = Ж вЂ” 2, Х вЂ” 3, ...,0 последовательно вычисляем все остальные узловые значения н„.
Для реализации описанного алгоритма необходимо выполнить 19Ае — 10 арифметических операций. Можно показать', что разностнзл схема (8.27), (8.28) в сочетании с алгоритмом (8.124) — (8.126) является корректной, (однозначно разрешима и гарантирована от накопления вычислительных погрешностей), если отличны от нуля все выписанные в левых частях (8.27) и (8.28) коэффициенты и выполнены условия частичного диагонального преобладания приведенной в примере 8.2 пятидиагональной матрицы, т.е.
)со) > )е(о)+)ео), )с~! >(Ь!)+)4)+)е1), ~гН~ > ~аН~+ ~ЬН~, (сас 1~ > ~ам 1(+ )ЬН-1(+ (сыч — 1), (с„) > )а„( + )6„( + (е(„( + )е„), п = 2, М-2, и хотя бы в одном из этих условий достигается строгое неравенство. Подобно обычному методу прогонки (для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей) и в случае пятидиагональной матрицы также можно построить алгоритмы встречной, потоковой, циклической и немонотонной прогонок, а также прогонки для случая задания дополнительных условий интегрального типа.
Возможно применение алгоритма (8.124) — (8.126) для решения последовательными приближениями нелинейных ОДУ четвертого порядка. 'Смл Самарский А.А., Николаев Е.С. 490 8. ОДНОМЕРНЫЕ НРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Вопросы и задачи 8.1. Показать, что погрешность аппроксимации в (7.8) имеет первый порядок, а в (7.9) — второй порядок. 8.2. Методом прогонки найти установившееся распределение ( х~ Т(х/6) — То Т, — То безразмерной температуры по толщине стенки (см. задачу 6.1) при Н~ — — -2Нг и 6 = 0,2Нг. Используя разностную схему (8Л1) при г1 = О, 1 и 1/2, решить нестационарную часть этой задачи, аС приняв в качестве безразмерного времени т = — .
Нг ' 8.3. Методом прогонки найти установившееся распределение а( — "') д Т(.~Н,) — Т, Нг 1(9) Нг безразмерной температуры в стенке трубы (см. задачу 6.3) при 1 Нг = -Нг. г 8.4. Решить задачу 6.2 методом прогонки для случал пяти- диагональной матрицы. 8.5. Сформулировать теорему Гершгорина. 8.8.
Решить задачу 6.10 методом стрельбы. 8.7. Показать, что условие (8.66) выполняется при любых значениях Ь1л, если трехдиагонзльная матрица А порядка Х обладает диагональным преобладанием и ее диагональные элементы Ь„> О, и = 1, Д1. 8,8. Построить шаблоны разностных схем (8.75)-(8.77) и (8.81). 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЯИ 9,1. Особенности решения многомерных задач Изложенные в предыдущей главе (см. 8.3) подходы к решению одномерной нестационарной краевой задачи применимы и к многомерным задачам. Если время протекания физического процесса, описываемого многомерной нестационарной задачей, разбить на последовательность интервалов Ь|ь, к Е г(, и провести аппроксимацию производных искомых функций по времени ~, то в соответствии с методом прямых можно перейти к многомерной стационарной краевой задаче относительно распределений этих функций в момент 1ь в конце к-го интервала Эту задачу можно решить приближенными аналитическими методами (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
