XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Так как помимо значений функции !р на границе области обычно заданы значения ее первой или второй производной по направлению 512 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ нормали к границе (см. пример 3.1), то для аппроксимации этих производных в граничных узлах со вторым порядком погрешности приходится применять левые или правые конечные разности, включающие значения в трех и четырех узлах соответственно. Чтобы использовать для аппроксимации этих производных центральные разности, можно ввести дополнительный ряд фиктивных узлов за пределами границы. Такой прием допускает применение этой схемы во всех внутренних узлах, но тем не менее не устраняет отмеченного недостатка н затрудняет алгоритмизацию процесса последовательных приближений.
При решении прикладных задач удобнее (9.28) заменить системой двух уравнений второго порядка ЧУ~ф(М) = — ДМ), ~~ДМ) +,)(М) = О, М Е Е (9.29) При двумерном течении несжимаемой вязкой жидкости по физическому смыслу функция ~(М) является завпхреннастью (см. пример 3.1). Если задать в качестве нулевого приближения ожидаемое распределение функции ДМ), то в соответствии с (3.29) граничных условий будет достаточно для однозначного решения при помощи МКР первого уравнения в (9.29). После этого недостающие граничные условия для функции ~ можно найти, рассматривая первое уравнение в граничных точках.
Завершает итерацию решение второго уравнения в (9.29), дающее узловые значения функции ~, используемые на следующей итерации при решении первого уравнения, и т.д. Вычислительная практика показывает, что такие итерации сходятся существенно быстрее, чем при решении исходного уравнения (9.28). В некоторых случаях могут быть заданы граничные значения обеих искомых функций в (9.29). Так, поперечные прогибы в(М) упругой пластинки плошадью Р' в плане, нагруженной распределенной поперечной нагрузкой д(М), описывает диф- 513 9,3. различные многомерные задачи ференциальное уравнение ту Яту зя(М)) =д(М), М Е Р, (9.30) яде где В = ' — жесткость пластинки толщиной Йо с модугг(1- из) лем упругости Е и козффициентом Пуассона и.
Это уравнение применимо, если прогибы малы по сравнению с Ье. Погонные изгибающие моменты М,, 1= 1, 2, приходящиеся на единицу длины поперечного сечения пластинки и перпендикулярные осям Ох;, можно выразить через вторые производные от функции прогиба: Отсюда Мз + Мг /дгея дгео'1 М= Р + 11~г 1+ и дхг дхг Следовательно, (9.30) можно представить системой двух урав- нений второго порядка ~7~зр(М) = — —, ч ~М(М) + 9(М) = О„М с Р. (9.31) В' Если пластинка по контуру Г, ограничивающему область Р, не защемлена жестко, а лишь оперта так, что касательная плоскость в граничных точках может свободно поворачиваться при изгибе пластинки, то изгибающие моменты па краях пластинки будут равны нулю. Тогда граничные условия для системы (9.31) примут вид зо(Р) = О, М(Р) = О, Р б Г, что позволяет при заданной функции п(М), М е Р, сначала при помощи МКР решить второе уравнение в (9.31), а затем по найденным узловым значениям функции М также при помощи МКР решить первое Уравнение.
5!4 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ Отметим, что выше рассмотрены сравнительно простые примеры многомерных задач. Достаточно сложные разностные схемы приходится строить для решения при помощи МКР многомерных задач, которые описывают системы дифференциальных уравнений различных типов, причем среди этих уравнений могут быть и нелинейные. Характерные примеры таких задач можно найти в специальной литературе .
Дополнение Я.1. Алгоритмы матричной н ортогональной прогонок Любое линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) высокого порядка или систему таких ОДУ можно свести к нормальной сисгпеме ОД5'. На одномерной сетке с узлами х„, ц = О, Гч', разноспеную схему для такой системы можно представить в матричной записи: < Рп+$ оп+1 — апик = уп+1, и = О, Ж вЂ” 1; (9.32) Роно = Уо, Юлил = Ум+О где и„— вектор размера К искомых неизвестных в узле с номером и; векторы оп+1, Ув и ~~ч+, имеют размеры К, К1 и Кх соответственно (причем К = К1+ Кх) и в качестве координат имеют узловые значения правых частей уравнений исходной нормальной системы ОДУ и ее граничных условий; элементы квадратных матриц Р„+, и с,„порядка К зависят от узловых значений коэффициентов при неизвестных в исходной системе ОДУ, а элементы в общем случае прямоугольных матриц Рв и Щч размеров Ь| х К и Кх х К соответственно зависят от коэффициентов в заданных граничных условиях рассматриваемой краевой задачи.
Разностную схему вида (9.32) можно получить не только непосредственной аппроксимацией производных в нормальной 'Смл Галанин М.П.. Попов Ю.ПА Самарский А.А., Попов Ю.Пл Белочерковскай О.МА Андерсон Д., Таннехнлл Док., Плееачер Ра Роуч П. Д.9.1. Алгоритмы матричной и ортогонааьной прогонок 515 (8,28) т т по=(и„+! п„но ! н„г), п=2,!У-1' Уг=(7о Л) ' 1п+! =(1о 0 0 0), а=2~Я вЂ” 2! ~м=(~м-! ~м) ~ вместо (8.27), (8.28) получаем Р„+1о„+! — Ц„о„= У„+м п = 2, Ж-2; ггог гг~ чом-гом-1 ям~ где — с„б„— а„ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ! 0 е„О 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 7о+!в 0 е! ео — А — Ио с! со -Ь| см — ом ам 0 см -ом-! т Рг т '"ом-г = ам т.е. в данном случае К = 4 и К1 — — Кг — — 2. Краевую задачу, описываемую системой линейных ОДУ второго порядка, целесообразно аппроксимировать на одномерной ~етке разностной схемой, сходной по структуре с (8.8), (8.9), но в матричной записи < — А„и„1+ В„и„— С„и„+1 =,1„, и = 1, Ж вЂ” 1; (9.33) Воио — Сои! — Хо, -Амин-1+ Вмим = ум, где и„и у„— в общем случае векторы размера К„; А„и ф— прямоугольные матрицы размеров Ко х Ко ! и Кн х Ко+~ системе ОДУ.
К подобному виду можно свести любую разностную схему, полученную в результате аппроксимации производных в ОДУ высокого порядка или в системе таких ОДУ. Например, обсоначая применительно к разностной схеме (8.27), 516 О. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ соответственно; „— квадратные матрицы порядка К„. В частном случае К„1 = К„= Кк ы — — К матрицы А„и С„также становятся квадратными. Для решения (9.33) можно построить алгоритм мапэриммов прогонки, аналогичный алгоритму обычного метода прогонки: с пФ = дФ~ (9.34) и„= Е„и„+1 + у„, и = Х вЂ” 1, М вЂ” 2, ... О, где Ее=Во 1Со' Е =КС гу (В А Е 1) 1 и 1 М 1' до=Во Уо; д»=Р„(~ +А д -1), п=1,Ж. -1 Здесь ń— прямоугольная матрица размера Кк х К„+ы а д„— вектор размера К„.
Корректность разноетноб схемы (9.33) в сочетании с алгоритмом (9.34) матричной прогонки гарантирована*, если матрицы В„, п = О, М, невырожденные, а матрицы А„и С„, и = 1, У вЂ” 1, ненулевые и, кроме того, выполнены неравенства ))Во~Со(( ( 1 ((В 1АИ)( ( 1 и )(В„'А„((+((В„'С„(( < 1, п = = 1, Х-1, для норм матриц в соответствующих конечномерных векторных пространствах, причем хотя бы в одном иэ них имеет место строгое неравенство. Эти достаточные условия являются матричным аналогом достаточных условий (8.85) корректности обычного метода прогонки. При выполнении указанных условий матрицы „— А„Е„„п = 1, Ф, будут не- вырожденными, т.е.
существуют обратные к ним матрицы 11„, входящие в выражения для матриц Е„, и ((Е„(( < 1, что обеспечивает устойчивость алгоритма (9.34) относительно вычислительных погрешностей. Если в (9.33) все векторы имеют одинаковый размер К, совпадающий с числом искомых действительных функций в 'См.: Самарская А.А., Нккокаев Е.С. Д.9.1. Алгоритмы матричной и ортогональной арагоном 517 рассматриваемой задаче, а все матрицы — квадратные порядка К, то реализация алгоритма матричной прогонки при заранее найденных матрицах О„= („— А„Е„1) ', и = 1, Х, требует примерно ОКзй арифметических операций. Однако для обращения каждой из матриц „— А„Е„1 необходимо порядка Кз операций.
Таким образом, при однократном решении задачи общее число арифметических операций можно оценить как Кои + 6КзУ. Если данную задачу решают ти раэ для различных правых частей ОДУ или граничных условий, то матрицы 0„остаются неизменными и затраты на выполнение всей серии расчетов составят КзЮ+ 6тКзй1 операций, а на вычисление КУ одного узлового значения — — + ОК операций. Для сравнен ния напомним, что в алгоритме обычного метода прогонки для вычисления одного узлового значения при однократном решении задачи необходимо примерно восемь арифметических операций. Раэностную схему (9.32) также можно свести к схеме (9.33) и затем испольэовать для получения решения алгоритм (9.34)'. Непосредственное решение (9.32) можно получить при помощи алгоритма, называемого ортиогома вьмой ирогоммой и ~вязанного с обращением матриц Р„+ы и = О, Ф вЂ” 1, и ортогонализацией столбцов вспомогательных прямоугольных матриц.
Искомое решение (9.32) представим в виде н„=В„ло„+у„, и=О,Х, (9.35) где э„— прямоугольная матрица размера К х Кз, а тн„и у„— векторы размера Кз и К соответственно. Чтобы при и = О решение (9.35) удовлетворяло равенству Роно — — Уо, матрицу Во н вектор уо находят из условий Роуо — — уо н Ро5о = 09~1, (9.36) где 01'~1 — прямоугольная нулевая матрица размера К1 х Кз. Способ нахождения Яо и уо рассмотрим в дальнейшем. 'Смс Самарский А.А., Николаса ЕС. 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ 518 Предполагал невырождениость матриц Рп+! в (9.32), после подстановки (9.35) в первое равенство (9.32) получаем .Ч„+! и1„+1+ Уп+, — Р„+Я„Б„Яе„= Рп+, (У„+! + Я„У„), п=О,!'7 — 1, или Яп+1и1пь1+ Уп+1 — Вп+! п1п = 1'и+1, п = 01 !!'-1, (9 37) где Вп+! = Рп+1ЯпЬп н 1п+! = Рп+!(~п+1+ЯпУп), (9.38) причем прямоугольная матрица В„+! имеет размер К х Кя, а вектор 1п+, — размер К.
Далее используем равенства Уп+1 = !'и+1 Сп+1лп+1 = = 1 л~.! (Уп+1 + Япуп) Сп+1 яп+! (9.39) оп+1(Я и+1 — Пп+1П п) = ~п+1лп+1, И = О, Д'-1, которое становится тождеством, если положить й„+1!и„= яи„+! — япе1, п = О, 111 — 1, (9.40) Таким образом, если векторы яп+! и невырожденные матрицы й„+1, и = О, 111-1, а также матРица 5е и вектоР Уе были бы известны, то, увеличивая номер п, по рекуррентным формулам Уп+! = Р (Уп+! + ЧпУп) — Оп+1Яп+! ~ -1 5п+1 = 11п+11 ~+1 Яп5'п1 и=О,Х вЂ” 1, (9.41) п = О, Ж вЂ” 1, в которых неизвестны квадратная матрица Й„+! порядка Кя и вектор яп+! размера Кз.
Из (9.37) и (9.39) следует соотношение Дльь Алгоритмы матричной и ортогональной прогонок 519 которые следуют нз (9.39), можно найти векторы у„+1 и матрицы 5„т,. Тогда в правой части (9.35) будут неизвестны лишь векторы то„, п = О, Ю, Из последнего равенства (9.32), а также равенства (9.35) при и = Ж получаем Яапа = Яу(Яучеу+уу) = лу+м или От~юда можно найти вектор юм размера Кз, если квадратная матрица Як~ЯА порядка Кз не являет~я вырожденной. Затем, последовательно выбирая и = Ю вЂ” 1, Ж вЂ” 2,..., О, из (9.40) находим все остальные векторы (9.42) шо = Й~+1(топ+3 хо+1)~ а из (9.35) — искомое решение для (9.32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
