XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 75
Текст из файла (страница 75)
+ иль11рл+1 (М) = У, Ф,(М), (10.32) где Уе и Ф,(М) — матрицы-столбцы размера (0+ 1) х 1, элементами которых являются значения и„этой функции в узлах 'См., например: Норри Д., де Фраз Ж. 547 !0.2. Типм конечных элементов и функции формы ~р„(М), М Е П, и = 1, 0+1, этого КЭ. Однако линейная аппроксимация функции в пределах каждого симплексного КЭ может оказаться довольно грубой, особенно в случае большйх по абсолютному значению градиентов этой функции, а повышение точности потребует использования сетки КЭ с весьма большим числом симплексных элементов.
Общее число КЭ можно уменьшить, если в пределах каждого элемента повысить степень аппроксимирующего многочлена, т.е. перейти к комплексным или мультиплексным КЭ. Комплексные конечные элементы. Одномерный комплексный лагранжев КЭ вЂ” это отрезок Х с К с У > 2 узлами в точках х„, и = 1, 1х'.
В пределах такого КЭ функцию и(х) можно аппроксимировать многочленом степени в = 11!' — 1: и(х) - ~~э и„Ь„(х), (10.33) где и„ вЂ” узловые значения этой функции, а и х х ~~~!,1х гвээв А„(х) = интерполяционный многочлен степени в = !!' — 1, который и является функцией формы этого КЭ, соответствующей узлу х„, так как й„(х„) = 1, и = 1, Ю, и Ь„(х,„) = 0 при х ~ х„, а (10.34) Последнее равенство следует из свойства правой части соотношения (10.33) точно представлять все многочлены до степени в = Ю вЂ” 1 включительно (1Ц. Функция и(х) = 1 является много- членом нулевой степени и для нее н„= и(х„) = 1, а= 1, !х', что доказывает справедливость (10,34).
548 кл ОснОВы метОдА кОнечных элементОВ Рис. 2в.т Если на одном или обоих концах отрезка Х узел отсутствует, то такой одномерный КЭ называют сззмв1ззаярмым. В этом случае (10.33) экстраполирует функцию и(х) в окрестности конца отрезка, на котором отсутствует узел. Полный многочлен двух переменных, имеющий степень з, включает ( коэффициентов ['з'П]. Поэтому для по(з+ 1)(з+ 2) 2 строения двумерного комплексного лагранжева КЭ, функции формы <р„которого являются многочленами степени з, не- () обходимо располагать значениями аппроксимируемой функции в Ю = " узлах.
При з = 2 имеем Д! = 6. Если вы(з+ !)(з+ 2) 2 брать треугольный КЭ, то при его произвольном расположении в плоскости любая иэ сторон может оказаться параллельной одной из координатных осей, например Ох!, т.е. быть отрезком прямой хз = сопя!. Вдоль этой стороны многочлен будет квадратным трехчленом по х!, и для однозначного определения его коэффициентов необходимо три узловых значения аппроксимируемой функции. Таким образом, на каждой стороне необходи- 2 мо иметь по три узла. Эти узлы можно расположить в вершинах и серединах Б сторон треугольника (рис. 10.7).
Тогда функции формы ~р„, и = 1, 6, такого (2) комплексного КЭ удается выразить че- ! 4 2 рез три линейные функции формы ~р!, ззз, (зз симплексного КЭ. Так, в узле 4, находящемся в середине стороны треугольника, имеем у! = д2 = 1/2. Если положить (зз — 4у!(з2, то такая (2) функция формы будет многочленом второй степени, принимающим значение 1 в „своем" узле и 0 во всех остальных.
Функция (2) формы р, также должна быть произведением двух линейных сомножителей. Если одним из них будет у!, то произведение обратится в нуль во всех точках стороны, противоположной узлу 1 (в частности, в узлах 2, 3 и 5). Чтобы произведение обращалось в нуль в узлах 4 и 6, оно должно содержать сомно- (0.2. Типы конечных элементов житель у1 — 1/2. Но произведение у,(чо1 — 1/2) в узле 1 равно лишь 1/2, т.е.
его необходимо нормировать, умножив на два. В итоге получаем у = р1(2~р1 — 1). Теперь можно записать (2) ~р1 — — (в1 (2~р1 — 1), у4 — — 4~р1'р21 ~рг — — ~рг(2уг — 1) (10.35) (2) (г) (2) и т.д. с учетом перестановки нижних индексов, указывающих номера узлов. Несложно проверить, что сумма всех функций формы ~р„, п = 1, 6, равна единице.
(2) При и = 3 для построения полного многочлена необходимо Х = 10 узлов. Если снова выбрать треугольный КЭ, то при его произвольном расположении на каждой стороне должно быть по четыре узла. Действительно, любая из сторон может оказаться параллельной одной из координатных осей, например Ох1. В этом случае многочлен будет кубичным по хм и для однозначного определения его коэффициентов необходимо знать четыре значения аппроксимируемой функции.
Если поместить узлы в вершины и каждую из сторон разделить узлами на три равные части, то останется десятый узел, который будет внутренним. Для упрощения построения функций формы его целесообразно поместить в точку пересечения меди- о 7 ан треугольника (рис. 10.8). Функции (з) я 6 формы чо„, п = 1, 10, этого комплексного КЭ также удается выразить через три линейные функции формы чаю чог р в )оз симплексного КЭ.
В узле 10 у1 — — (ог = (вз = 1/3. Положим уго — — 27ргр~,оз (з) и убедимся, что такая функция формы, являясь многочленом третьей степени, принимает значение 1 в „своем" узле и 0 (з) во всех остальных. Функции формы чг„остальных узлов с номерами и = 1,9 также должны быть произведениями трех (з) линейных сомножителей. Так, чтобы функция формы ~р, обращалась в нуль в узлах 2, 3, 6 и 7, она должна содержать 550 10, ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ сомножитель р1, э. сомножители (р1 — 1/3 и <р1 — 2/3 обеспечат обращение в нуль в узлах 5, 8, 10 и 4, 9 соответственно.
Однако произведение (р1(<р1 — 1/3)(<р1 — 2/3) в узле 1 равно 2/9. Умножая его на 9/2, получаем ~р = -д1(3<р, — 1)(3(а1 — 2). (г) 9 По аналогии с предыдущим КЭ можно заключить, что функция формы узла, принадлежащего только одной стороне треугольника, должна содержать произведение линейных функций формы прилегающих вершин. Так, для узла 4 наличие в его функции формы уве сомножителя в виде произведения р1(рг (з) обеспечивает ее обращение в нуль во всех „чужих" узлах, кроме узлов 5 н 10. Обращение в нуль в этих двух узлах будет обеспечено, если третьим сомножителем будет у1 — 1/3. Но произведение д1дг(р1 — 1/3) в узле 4 равно 2/27.
Умножив его на 27/2, получим рв = — рг~ре(Зу1 — 1). В итоге запишем (з) 9 2 д19 = 27р1 уг4'рг, ~р1 = — 1г1 (З~р1 — 1) (3'р1 — 2), (з) (з) 2 )ае — угу(Зу1 1) у~в — Ф19~2(Зуг 1), (10.36) (рг = -~рг(3<рг — 1)(Зуаг — 2) (з) 1 2 'См., например; Зарубин В.С., Селиванов В.В. и т.д. также с учетом перестановки нижних индексов, указывающих номера узлов, Непосредственной проверкой можно убедиться, что сумма всех функций формы <р„, п = 1, 10, снова (з) равна единице.
Можно показать*, что треугольный комплексный элемент удается построить и в случае в > 3, а четырехугольный— при в > 4. Полный многочлен степени л от трех координат (в+ 1)(в+ 2нв+ 3) х1, хг, хз имеет коэффициентов. Аналогично двумерному случаю можно установить, что при а < 4 такой многочлен удается построить лишь для комплексных элементов в форме тетраздра. 551 10.2. Типы конечных влементов Если при в = 2 каждую грань тетраэдра выбрать в виде треугольника, изображенного на рис.
10.7, то 1х' = 10, а функции формы 1о(з1 с соответствующими индексами следуют из (10.35). Если же при в = 3 каждая грань тетраэдра имеет вид, показанный на рис. 10.8, то Х = 20 и функции формы ~р(з1 с соотнетствуюшими индексами можно найти из (10.36). Отметим, что представление функций формы ц> (М) ком(е) плексных КЭ в виде (10.35) или (10.36) позволяет при вычислении интегралов использовать (10.28) нли (10.31), а производные этих функций по координатам выразить через производные функций формы симплексных КЭ. Прн аппроксимации действительной функции и(М), М е 11, в пределах комплексного КЭ 11 с числом узлов Х остается в силе (10.32), но теперь размер матриц-столбцов У, и Ф, будет Ю х 1, а их элементами— узловые значения пв этой функции и функции формы у„(М), (л1 и = 1, М, КЭ соответственно. Мультннлексные конечные элементы.
Мультиплексный лагранжев КЭ в прямоугольных декартовых координатах х;, 1= 1, и', имеет вид прямоугольника (и'= 2) или прямоугольного параллелепипеда (и'=3). На каждой нз параллельных координатной оси Ох, сторон (или ребер) таких КЭ число узлов Ю1 и их расположение одинаково, но может отличаться от числа н расположения узлов на сторонах (или ребрах), параллельных другой оси (или другим осям). Наибольшее возможное число узлов в прямоугольнике (с учетом внутренних) равно Х1д(з, а в параллелепипеде (с учетом внутренних и на его гранях) — Х1Д(з(Уз. Функция формы для и-го узла в точке М„с координатами х;„является произведением интерполяционных многочленов по каждой из координат: 552 10.
ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ где М вЂ” точка с координатами я;, 1= 1, И, принадлежащая мультиплексному КЭ, а х, — координаты узлов на стороне, параллельной оси Ох;. При л, =х;„, 1=1, и', в и-м узле Ь„(х;„) = = 1 и у„(М„) = 1, а во всех остальных узлах у„(М) = О. Многочлены в (10.37) имеют в общем случае по каждой из координат л;, 1 = 1, и, различную степень л; = Ю; — 1 и поэтому не являются полными. Вместе с тем многочлен, аппроксимирующий функцию и(М) вдоль каждой стороны (или ребра) КЭ, является полным по соответствующей координате, обеспечивая непрерывность аппроксимации на границе между соседними элементами.
В связи с этим мультиплексный КЭ с различными значениям л; удобен для согласования между собой симплексных КЭ (или комплексных КЭ с низкой степенью полного интерполяционного многочлена) в области малых градиентов искомого решения и комплексных КЭ с высокой степенью многочлена в области, где ожидаются большие градиенты искомого решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
