XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Интерполяционные многочлены мультиплексных КЭ не являются полными, а границы таких КЭ совпадают с координатными поверхностями. 540 Ю. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Снмплексные конечные элементы. По~ушеству, было показано (см. 10.1), что при помощи функций формы одномерного симплексного КЭ можно однозначно представить линейную функцию, используя ее значения в двух узлах. Интерполяционный сплайн первой степени двух переменных можно однозначно построить по трем значениям функции в вершинах треугольника [Ч).
Это означает, что в двумерном симплексном КЭ Ра линейная функция г(М) координат х~(М), хз(М) точки М б Ра однозначно определена своими значениями Д, Д,„, ~„в трех его узлах с номерами 1, т, и (см, рис. 10.3) при условии, что эти узлы не лежат на одной прямой (в этом случае говорят, что треугольный КЭ невырожденный). Приведем формулу для значения этой функции в точке М Е Ра [Ч): где г') 0 — площадь КЭ, а ЩМ), г' (М), Р'„(М) — площади треугольников с вершиной в точке М и основанием, совпадающим со стороной КЭ, противолежащей узлам с номерами 1, т, и соответственно, На рис. 10.3 выделен один из таких треугольников с площадью Г„(М).
Известно, что г'= -(пес А~ [Ч), 1 причем элементами первых двух строк квадратной матрицы ХН Х!ув Х!п А= хн хъ хъ, 1 1 1 третьего порядка являются координаты хы хз узлов КЭ в прямоугольной системе координат Ох~хз. Отметим, что определитель бес А этой матрицы будет положительным, если КЭ невы- рожденный н очередность расположения координат его узлов в столбцах матрицы А соответствует обходу их против хода часовой стрелки, т.е. узлы КЭ составляют правую тройку точек. 541 гцг. 7Нны коночных эленентон Плошади треугольников с вершиной в точке М Е В можно вычислить аналогично.
Например, Е„(М) = -)с(егА„(М)), где 1 хм х1 х~ (М) А„(М) = хг~ хг„, хг(М) 1 1 1 Ясно что + + —" = 1 для любой точки М Е Я(М) Р (М) Р (М) Р Р Р е Вп. Прн совпадении этой точки, например, с узлом и имеем — = 1 и — = = О. Таким образом, рассматривая Р (М) Я(М) Р (М) Р Р Р отношения площадей в (10.24) как функции формы ~р~(М) = = —, <р (М) = — и ~р (М) = — двумерного сим- Р(М) Р (М) Р (М) плексного КЭ, запишем ДМ) = Д~рр(М) + Д,~р~(М) + ~„1я„(М), М Е Вп. (10.25) При помощи функций формы можно выразить координаты х1(М), хг(М) любой точки М Е Вл. Действительно, полагая в (10.25) сначала у (М) = хг (М), а затем ЦМ) = хг(М), получаем < хг(М) = хггр~(М) + хг р (М) + х1„1о„(М), (10.26) хг (М) = хгщ (М) + хг~нфт (М) + х горн (М) .
хм хг хг(М) ( хг~ хг хг(М) = — (хмхг 2Е~ 1 1 1 Р'„) деСА„! Е 2à — х1„,хг~+ (хг~ — хг,„)х1(М) +(х1„, — хм)хг(М)). (10.27) Наоборот, каждую из функций формы такого КЭ можно выра- зить через координаты его узлов и координаты точки М Е Ва. Например, для узла с номером п имеем 542 Кх ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Так как узлы с номерами 1 и т и точка М образуют правую тройку точек, то е1ееА„> 0 и ~р„(М) > О, М б РА.
На рис. 10.5 представлены графики функций формы двумерного симплекс- ного КЭ, являющиеся наклонными гранями пирамид с высотой 1 и основанием Ра. Рмс. 10.5 Частные производные функций формы по координатам в пределах двумерного симплексного КЭ сохраняют постоянное значение. Например, из (10.27) находим ~" = ",' и — "'" = дэ1 2Е дээ '~. При вычислении интегралов от произведения нату- 2Е ральных степеней е, г, л функций формы удобно использовать формулу' д. 'т'.
и' р,'(М) р" (М) р'„(М) !К(М) = ', 2К (10.28) (д+г+л+2)! С учетом О! = 1 (10.28) сохраняет смысл и при нулевых показателях степени. В пределах двух треугольных КЭ с общей стороной можно точно представить непрерывную кусочно линейную функцию двух переменных, которая в пределах каждого из этих КЭ имеет постоянный градиент. В самом деле, их общая сторона является одномерным симплексным КЭ, так что зна- 'См., например: Норри Д., де Фриэ Ж. !0.2. 7ялы конечмых элементов 543 чение ~(М) этой функции в любой точке М такой стороны однозначно определено значениями функции в об- ЛЯ11 ".
ших узлах соседних треугольных КЭ, а график такой функции состоит из двух треугольников с обецей сторо- о ~ ной (рис. 10.6). Произвольную границу (в том числе с криволинейными х, участками) плоской области 0" С И Рис. 10.6 можно приближенно заменить ломаной и затем полученный в результате многоугольник заполнить треугольными КЭ, т.е. провести триангуляцию области и получить сетку КЭ, В данном случае такая сетка КЭ будет плоской.
Рассматривая попарно соседние КЭ, приходим к выводу, что сетка КЭ позволяет ограниченную функцию д(М), М е Р", определенную в области В', приближенно заменить непрерывной кусочно линейной функцией, принимающей в каждом узле значение, совпадающее со значением в этом узле функции д(М). Отметим, что функции формы, удовлетворяющие (10.26) в сочетании с условием ~р~(М) + <р (М)+ ~р„(М) = 1, называют барицемтетричесявми моордиматетами точки М относительно вершин треугольника (по гречески Дорос — тяжесть). Онн были введены в 1827 году немецким математиком А.Ф. Мебиусом (1790 †18) при решении задачи о таком размещении системы масс в вершинах треугольника, при котором данная точка была бы центром масс этой системы.
Иногда этн функции формы называют также естественными узловыми координатами точки М Е Ва в двумерном симплексном КЭ. Перейдем к рассмотрению трехмерного симплексного КЭ Йа с узлами, имеющими номера Й, 1, т, и, не лежащими в одной плоскости и являющимися вершинами тетраэдра (см. рис. 10.4). Как и в треугольном КЭ положение точки М Е йа можно определить ее барицентрическнмн координатами, но теперь относительно четырех узлов, что приведет к системе линейных 544 !О. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ алгебраических уравнений (СЛАУ) х1ЬРЯ(М)+хцтР!(М)+х1пътРщ(М)+х1п~рп(М) =х1(М), х2ь рь(М)+х2! р!(М)+ р (М)+х р (М) =х2(М), (10.29) хЗ!ттр!т(М)+ХЗ!тР!(М)+ХЗпттРпт(М)+хЗп'Рп(М) ХЗ(М)т р,(М)+ р!(М)+р (М)+ рп(М) =1 относительно функций формы тр(М) с соответствующими ин- дексами.
В первых трех строках квадратной матрицы Х1Ь ХЦ Х! Х1п х2й х2! Х2т» х2в В= *3!т ХЗ! ХЗпт ХЗв 1 1 1 1 четвертого порядка этой СЛАУ стоят координаты х1, х2, хз узлов в прямоугольной системе координат Ох1хэхз. Функции формы будут однозначно связаны с этими координатами, если матрица В невырожденная, т.е. <1есВ ф О. Используя свойства определителей (ПЦ, из первых трех столбцов т1есВ вычитаем четвертый столбец н получаем Х1тт Х1 ХЦ Х! Х! Х1 Х! Х2!т Х2п Х2! — Х2п Хэтп — Х2п Х2п ХЗй — ХЗп ХЗ! ХЗп ХЗтп ХЗп ХЗп Х11 ХЦ Х1,„Х1п Х2Ь Х2! Х2п» Х2п хзь хз! хз. хз 1 1 1 1 0 0 0 1 хц — х1 х1! — х1 х1 — х1 Х2!т Х2тт Х2! — Х2п Х2тп Х2» ХЗЙ ХЗп ХЗ! ХЗп ХЗтп ХЗп Определитель в правой части этого выражения равен смешанному произведению трех векторов, направленных вдоль ребер тетраэдра, выходящих из одной вершины (в данном случае, из 545 10.2.
Типы конечных элементов хы х11 х1 х1(М) ХЗЬ Хсн ХЗ,„Х3(М) хза х31 х3 хз(М) 1 1 1 1 1 3п„(М) =— 61' поскольку определитель в (10.30) равен 6$тв(М), где 1~о(М)— объем тетраздра с вершинами в точке М и в узлах с номерами и, 1 и т (см. рис. 10.4). Аналогично можно найти выражения для рь(М), ср1(М) и р (М). Таким образом, барицентрическими координатами точки М относительно узлов трехмерного симплексного КЭ являются отношения объемов соответствующих тетраэдров.
Производные функций формы в пределах трехмерного симплексного КЭ также сохраняют постоянное значение, Так, например, из (10.30) с учетом изменения знака определителя прн перестановке строк следует, что 1 1 1 ХЯ1сяснязто хзахзгхз Хз/сХ21Хзто д, дх1 6Ъ' ХЗЙХ31хзос 1 1 1 Х1ЬХМХ1 Х 1ЬХ11Х1ос 1 1 1 Х31сХ31ХЗто дср„ аь дхз 6Ъ' Х31сХ21Хзта 1 1 1 узла с номером и). Следовательно, с1е1Аз ~ О, если эти векторы некомпланарны [П1), т.е. вершины тетраэдра не лежат в одной плоскости, а его объем 1" отличен от нуля. В этом случае говорят, что трехмерный симплексный КЭ иевырожденный. Отметим, что ~бесВ~ = 6$', причем е1есВ = 6$', если при наблюдении из и-го узла обход узлов с номерами Й, 1 н т осуществляется по ходу часовой стрелки (см.
рис. 10А). Согласно правилу Крамера, нз (10.29) находим, например, для и-го узла 546 нь ОснОВы метОдА кОнечных элементОВ При вычислении интегралов от произведения натуральных сте- пеней р, д, г, л функций формы справедлива формула' ФМ) у ~(М) р-'(М) р;(М) ~'(М) = р'д'г'л' 6 р'. (10.31) (р+д+г+а+3)! С учетом О! = 1 (10.31) сохраняет смысл и в случае нулевых показателей степени.
Два соседних трехмерных симплексных КЭ с общей гранью позволяют точно представить непрерывную кусочно линейную функцию трех переменных, которая в пределах каждого из этих КЭ имеет постоянный градиент. Действительно, их общая треугольная грань является двумерным симплексным КЭ, так что значение этой функции в любой точке такой грани однозначно определено значениями функции в общих узлах соседних трехмерных КЭ. Аналогично плоской области произвольную пространственную область Й" можно приближенно заменить совокупностью таких КЭ, образующих пространственную сетку. Рассматривая попарно соседние КЭ, приходим к выводу, что зта сетка дает возможность ограниченную функцию п(М), М 6 Й', определенную в области Йе, приближенно заменить непрерывной кусочно линейной функцией, принимающей в каждом узле значение, совпадающее со значением в этом узле функции 6(М). Итак, при линейной аппроксимации на Н-мерном симплексном КЭ Й с числом узлов е1+ 1 действительной функции и(М), М е Й, можно записать и(М) и11р1(М) +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
