XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 69
Текст из файла (страница 69)
МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ где >т; = 1 — т/;, т = 1, 3. В случае т/т = т1г — — т/з = 1/2 имеем < тЬ/ьъ г~ Т" — Т" 1+ (ЛттЛгг+ ЛггЛзз+ ЛззЛтт) ( — ) 2 ) Ыь ть~~~г~ Т" +Т'-' — Лтт+ Ляг+ Лзз+ Л~ ~ЛггЛзз( — ) 2 ) 2 и, сравнивая с (9.10) при д = 3 и т/, = 1/2, т = 1, 3, приходим к выводу, что (9.9) аппроксимирует (9.8) с погрешностью О<(тз/ь)г, Ьгт+ /т~~+ 6~~).
Иное сочетание значений т/; снижает порядок погрешности по ег4 до 1. П ри е( = 2 и т/, = 1/2, т = 1, 2, разности ая схема (9.9) по порядку погрешности эквивалентна (9.5), но приводит к более простой структуре алгоритма, поскольку при прогонке вдоль каждой цепочки узлов сетки, соответствующих х; = сопб1, используются значения температуры только в этих узлах. При д = 3 таким же преимуществом обладает раэиастиая схема типа ттредиктор-тторректаор Ть-б/б Ть-т Ть-г/з Ть-б/б Л Тл-5/б Ть-г/3 Ь/я/2 ' Ь1ь/2 Ть- ~/г Ть-г/3 Ть-г/3 Т" — Ть =(Л„+Л +Л )Т~ т/г, т51ь которая сочетает локально-одномерную схему („преднктор") для предсказания узловых значений в момент времени 1ь т/г в середине интервала Ь/ь и явную схему („корректор") для завершения расчета на этом интервале.
Эта схема также имеет второй порядок погрешности как по /1/ь, так и по шагам пространственной сетки, а алгоритм вычислений по каждому иэ соотношений этой схемы устойчив при любых значениях Ыь. р.2ь двумерная и трехмерная задачи тепяопроволности ч499 Для решения многомерных нелинейных задач теплопроводности наряду с явной схемой, которая следует из (9,10) при 9, = О, г = 1, и', и имеет ограничение на выбор значения Ыь, можно использовать не имеющую такого ограничения схему, обобщающую неявную трехслойную разностпиую схему вида (8.77). Для многомерных задач зту схему можно представить в виде Тя Ть-я Ла-1(Тlс 1 Та-1 1 Тл-2) 1 ~а-1 (9 11) 2т 3 1з и-мерной декартовой прямоугольной системе координат Л" 1= ~~Л;; ' (9.13) где Л ' — разностный оператор, аппроксимирующий диффе- Л-1 1 д г' д'1 Ренциальный оператор — — ( А — ), входящий в правую часть с дя,(, дх,)' (2.53).
Отметим, что (9.13) верно и для анизотропного тела где Л~ ' — разностный оператор на ортогональной многомерной сетке с переменными (в общем случае) шагами 6; вдоль каждой из координатных осей, аппроксимирующий дифферен- 1 циальный оператор -Ч(ачТ) в нелинейном уравнении теплое проводиости вида (2.53). Зависящие от температуры узловые Ь-1 1„ (я1 значения )' источникового члена —, входящего в (2.53), и с коэффициенты с и А вычисляют по известным при расчете на й-м интервале узловым значениям Т~ ' в момент времени 1в 1 в середине удвоенного интервала 2т =1е — 1ь з.
Из (9.11) следует разностная схема 500 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ при совпадении главных осей тензора тенлонроводноети с координатными осями (см. замечание 2.1). Так как (9.11) аппроксимирует (2.53) по т с первым порядком погрешности, то (9.12) имеет по т погрешность 0(тг). Поскольку с учетом (9.13) г ! — — Л~ ' = ! — — ч' Р~, ! = П(! — — Л~ ~) +0(т~), т=! 1ю! то порядок погрешности по т не уменьшится, если от (9.12) перейти к раэностной схеме которая эквивалентна схеме ! — — Л" ~~!Т~ !+'!~= Т~ ~+ — Л~ '(Т~ ~+Т~ ~)+ 2!~ 'т, (- —" ) ы ) ! — — Л )Т +'! = Т +0 1!" !'= 2 !(.
3 Первое соотношение явно разрешено относительно узловых значений Т" !+!!~, а второе (при !(= 2) или два других (при а'= 3) приводят к СЛАУ с трехдиагональными матрицами, решаемым обычным методом прогонки. 9.3. Различные многомерные задачи Изложенные выше (см. 9.2) способы решения многомерных задач нестационарной теплопроводности можно применять в более широком классе нестационарных краевых задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями параболического типа или системами таких уравнений. Эти же способы применимы и для решения стационарных 501 9.3.
Различные многомерные задачи (статических) задач, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа. Искомое решение таких задач можно рассматривать как предельное, установившееся состояние в условной дискретной системе, в которой происходит нестацнонарный физический процесс при заданных в стационарной задаче постоянных во времени граничных условиях. Если стационарная задача имеет единственное решение, то при произвольно выбранном начальном условии решение нестационарной задачи для условной дискретной системы в пределе приводит к искомому установившемуся состоянию. Такой прием получения решения стационарной задачи называют лаеееэодола устеавмовлеммя.
В случае неединственности решения рассматриваемой стационарной задачи установившееся состояние будет связано с задаваемым начальным условием. Тогда началяное условие приобретает смысл нулевого приближения, от близости которого к искомому решению зависит объем вычислений при использовании метода установления. Помимо этого метода для решения многомерных линейных стационарных задач математической физики при помощи МКР можно указать еще ряд способов, которые приводят к СЛАУ, вытекающей из дискретной магпенагпцческой модели рассматриваемого физического процесса. К ним относятся вычислительные методы линейной алгебры, связанные с последовательным исключением неизвестных или леультцпликативнмле разложением матрицы СЛАУ, а также большая группа итерационных методов решения СЛАУ [1Ч].
В случае нелинейных задач дискретная модель приводит к системе конечных уравнений, решаемой также итерационными методами [Ч). Некоторые иэ итерационных методов* в определенном смысле можно трактовать и как варианты метода установления, поскольку получаемые в процессе последовательных приближений к искомому решению стационарной задачи промежуточные 'Смл Самарский А.А., Николаса Е.С., а также: Трауб Длс. 502 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ состояния соответствуют условному нестационарному процессу в дискретной ~истеме. Если решаемая задача имеет вариационную формулировку, включающую функционал с известными экстремальными свойствами, то используемый итерационный метод можно соотнести с методом локальных вариаций и контролировать сходимость процесса последовательных приближений по изменению значения функционала от итерации к итерации.
Все зти способы направлены на вычисление значений ис.- комой функции во всех узлах сетки, соответствующей области решения задачи. Если же цель решения задачи состоит в нахождении не всех узловых значений, а лишь в одном или нескольких характерных узлах, то эффективным может оказаться вероятностный подход, который рассмотрим на простом примере. дзи(М) д и(М) + д, =, Мб х, х, с граничными условиями (9.14) и(Й) =у(Н), Й б Г.
(9.15) Если для аппроксимации вторых частных производных использовать (7.3), то задаче Дирихле (9.14), (9.15) будет соответствовать разностная схема и(М~~,) — 2и(М~Я) + (М~~+,) и(М,", ) — 2и(М~Я) + и(Мчг~') йз (9.16) и()1",) = 9(11",), Пример 9,1, Пусть в двумерной области Г, ограниченной замкнутой кривой Г и представленной сеткой Р~ с шагом 5 = = сопя1 (сетка имеет квадратные ячейки), необходимо найти в некотором внутреннем узле М~ б гь с номерами 1 и нз значение и(М~ ) искомой функции и(М), описываемой уравнением Лапласа 503 9.3.
Раэанчные многомерные задачи где М" Е 1"ь — любой внутренний узел сетки Рь, а Гав множество узлов этой сетки, вообще говоря, не принадлежащих границе Г, но наименее удаленных от нее. В каждый такой узел Н, "перенесено заданное в (9.15) граничное значение д(Н,") = = д(Н) из точки Н Е Г, наиболее близкой к Н'; Е Гь. Поскольку разностная схема (9.1б) линейная, то справедливо равенство ч) ~ ( ч~~з)д(Нв)~ Мд Е где Р(М,",Н",)д(Н",) — коэффициент влияния граничного узла Н; Е Г на значение искомой функции во внутреннем узле М~р. По физическому смыслу задачи Дирихле в частном случае д(Н) = до = сопв1, Н Е Г, должно быть и(М) =до, М 6 Р.
В таком случае д(Н,") = дв, Н, "6 Гл, и и(М~") = до, Мд 6 Рл. Отсюда следует, что С ( 9' е) П1егь Коэффициент Р(МчР,Н",) можно истолковать как вероятносгнь события, состоящего в том, что частица, выпущенная в узле М" Е Рь, после случайного блуждания по сетке Рл попадет в граничный узел Н," е Гь. Записав первое уравнение в (9.1б) в виде н(Мд ) 0~25н(М~я 1 ) + 0~25н(М +1 ) + + 0,25н(МР ') + 0,25и(МР+1), коэффициенты в правой части интерпретируем как вероятность перехода блуждающей частицы из произвольного внутреннего узла М" Е Рь в конкретный соседний с ним узел. Ясно, что для квадратной сетки эти вероятности одинаковы и равны 0,25.
Направление перехода можно выбрать в зависимости 504 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ от того, в какой промежуток попадет число л, выбранное как случайиал величина в полуинтервале (О, Ц (для генерирования случайных чисел существуют специальные алгоритмы). Например, если л Е (0,0,25), то блуждающая частица переходит из узла М~Я в узел М",, если г Е (0,25, 0,5), то — в узел М~Я~, и т,п. Блуждающая частица, выпущенная из интересущего нас узла М~, после серии описанных переходов попадет в граничный узел Н", Е Гь с известным значением и1 = д(Н",).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
