XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Ее номер совпадает с номером узла, в котором она равна единице. В данном случае каждый иэ КЭ имеет две функции формы, определяемые (10.7). Геометрически линейная функция формы и„(х) в точке х Е [х„1, х„] равна отношению длин отрезков [х -1! х] и [х -1, х 1]. Если в (10.6) использовать систему базисных функций (10.7) с добавлением функции ив1(х), то йр1(х) будет на отрезке [О, 1] непрерывной кусочно линейной функцией, принимающей в точках х„, и = 1, Ж, значения й,ч(х„) = а„и йв1(0) = 0 (рис.
10.2). Чтобы не выделять особо частичный отрезок [О, х1], можно 530 !О. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Н й1ч(х) = ~ а„и„(х), а„Е К, (10.8) положив в соответствии с главным для Функционала (10.5) граничным условием (10.3) ар —— йи(0) = О. Рис. 10.2 Приближенное решение (10.8) принадлежит множеству Х*, на котором допустимо рассматривать функционал (10.5).
Используя аддитивность определенного интеграла (Ъ'!], представим (10.5) в виде На каждом частичном отрезке [х„1, х„], и = 1, Ф, запишем й1р(х) = а„1и„(х) + а„и„(х) = а„1+ (а„— а„1) Хп Хи-1 на нем ввести функцию формы ир(х) = 1 — — прн х Е (О, х1] х$ и ир(х) = 0 при х ) х1 и вместо (10.6) написать 531 10.1. Одномерная краевая эадача Отсюда дифференцированием находим йЧ(Х) = аи 1и„(Х) + аии„(Х) = хи хи-1 х Е [хи 1, х„), причем ае — О. Подставляя йч(х) и й',(х) в (10.9) вместо и и и'(х) соответственно, получаем М х — х„ +1, 1' ч(*)(и- +(и — .— ) Хп-*и 1 п=1 яи-1 ,у эи -2~ 1' пе(~,+(„- „,~* " ')г*, роэ0) ии1 эи-~ Теперь условие И = 0 стационарности функционала (10.5) йэ'(йк] переходит в Ж необходимых условий =О, и=1,%, минимума квадратичной функции (10.10) переменных а„[ХН).
В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (10.11) Ка=Р, где а и лт — ]Н-мерные векторы с координатами аи и 1'(х) " Их + / 1'(х) "+ Ых, (10.12) Хи — Хи 1 „1 Хи+1 — Хи я аи-3 а матрица К порядка ]Н благодаря тому, что при фиксированном и = 1, ]Н-1 в (10.10) отличны от нуля коэффициенты только 532 1Ц ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ при произведениях а„~а„и а„а„.ьы является трехдиагонаяьной с элементами р(х) + д(х)(х — х„ 1) Наи†ах+ (х„— х„1) ~п+1 Р(х) + Ч(*)(х»+1 *) (х„— х„)~ у р(х) — д(х) (х„— х) (х — х„~ ) Кья-1— (х„— х„1) (10.14) х +1 р(х) — а(х) (х„ч.1 — х) (х — х„) Кьи+1 ~а (10.15) р(х) Ф ~ р,„и,„(х), д(х) ~ ~ у„,и,„(х)> Т(х) ~ ~„,и„,(х), (при и = Х вторые интегралы в правых частях выражений для Г„и К„„исчезают, а К~,д+1 как и Кгз не являются элементами матрицы К). При фиксированном и = 1,% — 1 из равенств (10.14), (10.15) следует, что К„,„+1 — — К„+1 „, т.е.
матрица К не только трехдиагональная, но и симметрическая. Для произвольных функций р(х), а(х) и Т'(х) интегралы в формулах (10.12) и (10.13)-(10.15) не удается вычислить точно и приходится прибегать к методам численного интегрирования с применением квадратурных формул. Приближенное вычисление этих интегралов можно упростить, если на отрезке [О, Ц использовать линейную аппроксимацию функций р(х), д(х) и Дх) в виде 533 10ло Однвмернан краенае задача гДе Р, =1)(хт), ое, — о(хе)) и Ут = У(хт).
ТогДа, поДставлЯЯ (10.0) в (10.5), получим Из условий — = О снова приходим к СЛАУ вида (10.11), но . д/(йн] да теперь с учетом | и„)(х)и„+)(х)Их= 0, и=1, А' — 1, о координаты Л-мерного вектора лт равны 1 М е.=1" .)*)~:~...)*И = о =о е (~„) и„1+ 1„и„(х))и„(х) )1х+ е ) ее+1 азлементы симметрической трехдиагональной матрицы К порядка Ф с учетом и'„(х) ь О, х ф (х„ы х„+1), могут быть вы- 534 1О. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ числены по следующим формулам (и принимает значения от 1 до Ю)) диагональные злементы 1 М И и-=|((<(*))'1,Р (*)+ .'(*)1;и (*))~*= в~хе т=е О х Рп-1 ип — 1 (Х) + Рпип (Х) + (Хп — Х„1) х ) ":(и — .— (*)+и .(*)) '.(*)) ~*+ хпя( Г 1 р„и„(х) + р„+1и„+1(х) (х„+1 — х„) хп +(и (*)+и« ~ (*)),(*))~* ОО и) недиагональные злементы 1 М х.„-,=|.'„(*)4-,(*)1,'и- „(*)и*-, О п1хе 1 Ж +/ .(*) .— (*)1,п -(*)~*= О п1 хе р„ 1и„ 1(х) +р„и„(х) (х„— х„1)~ ~~ и и ~ ~ ~ 2 ~ Х х„-( + | (д„-„„,(*) +п,„(,))п(*)ъ-,(*) 8*.
(10 18) хп-1 535 10»К Одномерная краевая задача При этом К;о не является элементом матрицы К. Снова при и = Ю вторые интегралы в правых частях выражений для г'„и К„„исчезазот. Интегралы от базисных функций в (10.16) — (10.18) можно вычислить по общей формуле* з» | г'а' ип 1(х) и*„(х) Их = (хп — хп 1). (10.19) г+я+ 1 х„ Тогда для и = 1, )Ч получим Уп-1+ 2~1,, 2|»+ ~~+1, — (хп хп-1) + (хп+! хп)1 где в правой части при и = Ф следует опустить второе слагае- мое.
Далее, 1 Рп-1+Рп 1 Рп+Рп+1 пп ез 2 хп — х„1 2 хп».1 — хп Ч -1+ Чп( ) Чп+Чп+1( — х ) (1020) где в правой части при и = 1Ч следует опустить второе и четвертое слагаемые, и К вЂ” " " + " п(х — х ) (1021) 2хп — хп з 12 Перечислим рассмотренные выше этапы: 1) переход от формулировки задачи в виде операторного уравнения к иитсеральиой формулировке (в данном случае к вариационной формулировке, содержащей функционал (10.5)); 2) разбиение области, в которой предстоит искать приближенное решение задачи (в данном случае отрезок (0,1)), на 'См., например: Норри Д» де Фриз Ж.
536 1П. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ подобласти и определение в них базисных функций, т.е. выбор типа КЭ; 3) формирование при помощи совокупности КЭ структуры приближенного решения и использование его в интегральной формулировке задачи (в данном случае приближенное решение в виде (10.6) принадлежит множеству функций, на котором допустимо рассматривать функционал (10.5)); 4) получение СЛАУ Ка = г' для нахождения координат а„ вектора а, являющихся значениями искомой функции в узлах КЭ; 5) применение КЭ (при необходимости) для вычисления интегралов, входящих в выражения для элементов матрицы К и координат вектора Р.
Эти этапы в целом и составляют процедуру получения приближенного решения задачи, называемую метттодом конечных элементное (МХЭ). Ясно, что нахождение значений коэффициентов а„требует применения тех или иных методов для решения СЛАУ. Однако этот этап неизбежен не только для завершения процедуры МКЭ и поэтому его обычно рассматривают как самостоятельный. Замечание 10.1. Подчеркнем, что приближенное решение одномерной краевой задачи (10.2) — (10.4) при помощи МКЭ приводит к симметрической трехдиагональной матрице К в СЛАУ вида (10.11). Более того, если в (10.2) р(х) > ро > 0 и а(х) > 0 при х 6 [О, 11 и а„> 0 хотя бы в одном из узлов с номером и = 1, М, то К является матприней е чаетпичным диаеональным преобладанием, а для нахождения коэффициентов а„ в (10.6) эффективно применение метода проеонки.
Иэ (10.12), (10.13)-(10.15) или (10.16-(10.18) следует, что применение так называемых финитпных базисных функций и„(х), и = О, Ф, отличных от нуля только в пределах тех КЭ, которые содержат узел х„, дает возможность независимо вычислять вклады отдельных элементов в матричное уравнение вида (10.11). Это очень удобно при алгоритмизации МКЭ по 537 10Л. Одномернав нраеаае задача сравнению с приближенными методами решения, в которых базисные функции могут быть отличны от нуля лишь в отдельных точках отрезка [О, Ц. Чтобы получить представление о погрешности, которая может возникнуть при применении МКЭ, сравним в-е уравнение а-в(в-1)нв-1 + Кьввв + а-в(в+1)ив+1 — Рв СЛАУ (10.11), которое с учетом (10.20), (10.21) принимает вид Рв-1 + Рв Рв+1 + Рв нв 1) + 2' — '(и ни+1) + 2(Хв — Хв-1) 2(Хва1 — Хи) Яв-1+ Ов чв + 12 6 (Хв — Хв 1)(вв 1+ Нв) + — (Хва1 — Хв 1)ив+ Чв+ Яв+1 + 12 (Ха+1 Хв) (Нв + Ни+1) ( — — ) (Хи+1 — Хи) (10 22) с конечно-разностной аппроксимацией (10.2), положив в (8.3) 1 Р ~1)2 = — (Р + Рвы).
ТогДа Длл Узловой точки с номеРом н = 2 = 1, )ч' — 1 запишем Рв-1 + Рв Рв+1 + Рв 2(хв — хв 1) " 2(х„+1 — хв) в+ "1 =~ "+ " . (10.23) Для совпадения (10.22) с (10.23) достаточно, чтобы д(х) ев 0 и ,)(х) ив в сопе1 на (О, Ц. В зтом случае полученные ранее (см. 8.1) оценки погрешности аппроксимации для уравнения (10.23) можно перенести на уравнение (10.22) н заключить, что последнее имеет первый порядок аппроксимации. В частном случае равномерного расположения узлов на отрезке (О, Ц, т.е.
прн х +1 — хв = хв — хв 1, поРЯДок аппРоксимаЦии бУДет втоРым. 538 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 10.л. Типы конечных элементов Рассмотренный выше (см. 10.1) тип конечного элемента (КЭ) является одним из простейших и пригоден для приближенного решения методом конечных элементов (МКЭ) лишь одномерных задач математической физики. Существует достаточно много типов КЭ, в том числе позволяющих решать многомерные задачи. Можно выделить одномерные, двумерные и трехмерные КЭ. Если одномерный КЭ представляет собой отрезок с двумя или более узлами, то двумерные могут иметь форму треугольника, четырехугольника (в том числе прямоугольника) и вообще многоугольника с расположением узлов не только в вершинах. Столь же разнообразны по форме и трехмерные КЭ. Применительно к нестационарным (динамическим) задачам могут быть построены КЭ в пространственно-временнбй области, когда искомое приближенное решение зависит не только от пространственных координат, но и от времени. При рассмотрении типов КЭ удобно принять, что в отдельно взятом КЭ надо решить задачу приближенного представления некоторой функции по заданным значениям ее узловых параметров, т,е.
решить задачу аппроксимации функции в пределах этого КЭ. Если при построении КЭ в качестве узловых параметров используют лишь значения функции (в случае векторной функции — значения ее базисных функций), то КЭ называют лагракжевыми, поскольку в этом случае аппроксимация функции в пределах КЭ аналогична ее представлению интерпо лционным многочлсном Лагранжа. Если же наряду с этим в узлах КЭ используют и значения производных функции, то КЭ называют эрмитиовыми". Среди лагранжевых КЭ по виду аппроксимирующих многочленов различают сймплексные (от латинского слова в)тр)ех — простой), комклекскые (от латинского слова сонь р!ехив — сочетание) и мультииклекскые (от латинского слова 'Ш.
Эрмйт (1822-1901) — французский математик. 539 П12. Типы новечвих элеиевтов шн111р!ех — сложный). Интерполяционные многочлены, используемые в симплексных КЭ, являются линейными, т.е. первой степени, и содержат постоянное слагаемое и слагаемые, линейно зависящие от всех координат (и времени, если речь идет о КЭ в пространственно-временнбй области решения задачи). Число коэффициентов в таких многочленах равно числу узлов симплексного КЭ и на единицу больше числа независимых переменных. Одномерным симплексным КЭ является отрезок с узлами на концах 1см.
10.1). Двумерным симплексным КЭ будет треугольник 1рис. 10.3), а трехмерным — тетпраэдр 1рис. 10.4), причем узлы этих КЭ совпадают с вершинами треугольника и тетраэдра. Таким образом, д-мерный симплексный КЭ имеет И+ 1 узлов. Рвс. 1ВА Рие. 10.3 Ивтерполяционные многочлевы комплексных и мультнплексных КЭ имеют степень выше первой, т.е. являются нелинейными. Число узлов таких КЭ более чем на единицу превышает число независимых переменных. В комплексных КЭ используют полные интерполлпионные леногочлены степени л > 2, содержащие все возможные слагаемые, у которых сумма степеней не превышает в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
