XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Однако непрерывность аппроксимации производ- ди ной — в направлении нормали и к границе между соседними ди ди КЭ в общем случае отсутствует, поскольку изменение — вдоль ди этой границы описывает многочлен, квадратичный по л„, и его коэффициенты нельзя однозначно найти по двум значени- ди ям — в вершинах на концах этой стороны. Таким образом, ди рассматриваемый КЭ не обеспечивает гладкой аппроксимации функции и. Треугольный эрмитов КЭ с гладкой аппроксимацией функции и(хмхз) можно построить на о~нове полного многочлена пятой степени, содержащего 21 коэффициент. В качестве узловых параметров в вершинах с номерами и = 1, 2, 3 принимают по шесть значений и„, и„1, и„я, и„ы — ~ —,), и„зз = ~ — т~ д и и и„11 = ( — ~, а в серединах сторон — значения и ~дх,дх,1 ' ~ди1 = ( — (, т = 4,5,6, производных в направлении нормали к (,ди(щ' каждой из сторон (рис.
10.13), т.е. всего 21 параметр. Рнс. 10.13 10.2. знлы конечных элементов 561 Изменение и(в„) вдоль любой стороны такого КЭ описывает многочлен пятой степени по координате в„. Его коэффициенты ди дэи однозначно определены значениями и, — и —, в двух верши' дз» дзэ ди дои нах на концах этой стороны. Значения — и —, в каждой дз» дзй вершине являются линейными комбинациями узловых параметров (и»ы и»з и н»ы и»зз> и»ш соответственно) одинаковы ми для КЭ с общими вершинами. Поэтому многочлены пятой степени, построенные в соседних КЭ, совпадают на стороне между этими вершинами, что обеспечивает непрерывность анди де и проксимации и, — и —, при переходе через границу между ' дз» дзэ соседними КЭ.
Производную — на любой стороне КЭ аппрокди ду симирует многочлен четвертой степени по в„, коэффициенты ди де и которого однозначно определены значениями — и в двух дн дндз ди вершинах на концах этой стороны и значением — в ее середине. ди дои ди Но значения — и — в каждой вершине являются также лидо дндз» нейными комбинациями узловых параметров в той же вершине, одинаковыми для соседних КЭ с общими вершинами.
Следовательно, при переходе через границу между соседними КЭ будет ди обеспечена непрерывность аппроксимации и производной —, ди' т.е. гладкая аппроксимация функции и. Прямоугольный КЭ со сторонами, параллельными осям декартовой системы координат Ох1хз, обеспечивает гладкую аппроксимацию функции и(яыхз), если в каждой вершине с номером ш в качестве узловых параметров выбрать по четыре значения и, и,„ы и з и и ш, хи= 1,4 (рис. 10.14).
Вдоль ди каждой стороны изменение функции и и ее производной — в ди направлении и нормали к этой стороне описывают кубические многачлены по координате л, отсчитываемой от вершины с номером т. При этом коэффициенты многочлена, аппроксимирующего функцию и, однозначно связаны с ее значениями 562 1О. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Рнс. 10.14 ди и значениями производной — в вершинах на концах рассмадз ди триваемой стороны, а коэффициенты многочлена для — — со ди ди д значениями — и в этих же вершинах. Таким образом, ди диде т узловых параметров оказывается достаточно для обеспечения непрерывности аппроксимации функции и ее первых производных прн переходе через границу между соседними КЭ. Внутри КЭ функцию и аппроксимирует многочлен, содержащий произведения координат х1 и хз в степенях от 0 до 3.
Такой много- член является неполным и его обычно называют бикубическим. Для каждого из 16 узловых параметров можно построить функцию формы, используя произведения кубических многочленов от я1 и яз вида 110.47). Четырехугольные 1в частности, прямоугольные) КЭ с гладкой аппроксимацией искомой функции можно построить путем объединения треугольных КЭ.
Это может привести к уменьшению общего числа узловых параметров, но обычно связано с усложнением функций формы. Возможность уменьшения общего числа узловых параметров становится более важной для трехмерных КЭ. Параметры узлов, расположенных внутри таких КЭ, можно исключить приемом, получившим название конденсации*.
'См., например. "Норри Д., де Фриз Ж. ! 0.3. Матричная форма лредстаааемаа фулкимй 563 10.3. Матричная форма представления функций Одним из преимуществ метода конечных элементов (МКЭ) при решении задач математической физики является простота и однотипность операций по подготовке задачи к решению. В значительной мере это преимущество связано с матричной формой представления основных соотношений, используемых в МКЭ.
Пусть для определенности речь идет о решении задачи в некоторой области у' С К". Сначала следует выбрать тип используемых конечных элементов (КЭ) н заполнить ими область Г так, чтобы они не пересекались и не образовывали пустот, а также достаточно точно представляли границу области, если она имеет криволинейные участки. В результате получим сетпку ЛЭ, занимающую область $о, в общем случае не совпадающую с у', но обычно такую, что 1'о С И.
Обозначим общее число КЭ через Е. Необходимо установить взаимно однозначное соответствие между номерами г) = = 1. %~ узлов образованной сетки и номерами узлов и = 1, Ж, каждого отдельного КЭ с номером е = 1, Е. Если КЭ выбранного типа имеет внутренние узлы, то для таких узлов установление соответствия происходит независимо от соседних КЭ. В противоположность этому граничные узлы принадлежат одновременно нескольким соседним КЭ, что необходимо учитывать во избежание пересечения элементов или возникновения пустот между ними.
Итогом установления указанного соответствия между глобальной (сквозной) нумерацией узлов сетки и локальной нумерацией узлов КЭ является построение для каждого КЭ с номером е матрицы Й, размера Х, х Хв, элементы которой 1)„', = 1, если узел М сетки совпадает с узлом и этого КЭ, в (а) противном случае П„'ч — — О. (е) Зависящие в общем случае от времени 1 узловые значения пу(1) действительной функции можно представить на сетке 564 1О. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Нх Г, = й У, и~~1(1) = ~ й~~,~~иН(1).
(10.50) Замечание 10.2. Рассмотрим случай векторной функции м(1,М) времени 1 и координат точки М б ~", имеющей смысл перемещения (скорости или ускорения) среды. Тогда координатные функции и;(1,М) 1= 1, И, являются проекциями и(1,М) на оси Ох; прямоугольной системы координат, называемой обычно глобальной. В каждом конечном элементе может быть определена своя так называемая локальная система координат, базис которой не обязательно совпадает с базисом глобальной системы координат.
Если этн базисы совпадают, то в (10.50) размеры матриц У и У, будут 1Уе х Ы и М, х И соответственно, а их элементами — Узловые значениЯ ибч(1) и иы (8) соответ(я1 ственно. Если же базис в КЭ с номером е не совпадает с базисом глобальной системы, то вместо (10.50) в случае векторной функции будем иметь н жх Г, = Й,Уа('~, и„, (1) = ~~1 ~~) Й„~~иНф)аб, (10.51) КЭ матрицей-столбцом Г размера Жк х 1, а значения и„(1) () этой функции в узлах КЭ вЂ” матрицами-столбцами У, размера Ф, х 1.
Если функция является векторной н имеет Р координатных действительных функций, то размеры матриц Р и Г, будут Мп х Р и М, х Р соответственно. В случае эрмитповых КЭ элементами этих матриц будут не только значения функций, но и значения используемых прн аппроксимации функций производных. Тогда под Р следует понимать наибольшее число узловых параметров, задаваемых в узле выбранного варианта эрмнтова КЭ.
Связь между введенными матрицами н их элементами устанавливают соотношения 10.3. Матричная форма представления функдмй 565 где а(') — квадратная матрица перехода порядка И от базиса глобальной системы координат к базису локальной системы в элементе с номером е, причем элементы о; , (,у = 1,е(, этой (е) матрицы равны косинусам углов между осями Ох; и Ох глобальной и локальной систем координат соответственно. В дальнейшем для упрощения будем считать базисы локальной системы во всех КЭ совпадающими с базисом глобальной системы координат. )р Пусть выбранный тип конечных элементное является лагранзкевым.
Для КЭ с номером е и числом узлов Ю„занимающего область У, С 1о С У, функции формы р„' (М), н = 1, Ж„завн(е) сят от координат х, (М), 1= 1,И, точки М Е У, и образуют (е) матрицу-столбец Ф,(М) размера Ж, х 1 (см. 10.2). Тогда действительную функцию и(М), М Е У, в пределах этого КЭ можно приближенно представить функцией и(')(М) = б', Ф,(М) = ~~> и(')~р(')(М), М Е У„(10.52) где с', — матрица-столбец размера ))(, х 1 с элементами и„, (е) равными узловым значениям функции и. В случае векторной функции м(М), М Е У, имеющей Р координатных функций и;(М), 1 = 1, Р, вместо (10.52) получим ЕУе(М) = ЕУ, Ф.(М), М Е Уе (10.53) Здесь 1(, — матрица размера Ж, х Р с элементами и(;), н = = 1, )1(„( = 1, Р, равными узловым значениям координатных функций, а Р,(М) — матрица-столбец размера Р х 1, элементами которой являются координатные функции и, (М) векторной функции и(')(М), М Е У„приближенно описывающей в этом КЭ векторное поле, задаваемое функцией м(М).
Таким 566 (ц ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ образом, как действительную, так и векторную функции в КЭ можно приближенно представить произведением двух матриц. Элементы одной из них являются узловыми значениями этой функции нли ее координатных функций (в обшем случае зависящими от времени), а элементы другой — функциямн формы, зависящими только от координат точки М е (;. Пример 10.1. Предположим, что векторная функция и(М), М Е 1' С К~, задает поле перемещения среды. Тогда 0 = о и элементами матрицы-столбца У,(М) размера И х 1 в (10.53) будут функции и, (М), которые аппроксимнруют в КЭ $', с $' (~1 проекции и;(М), М 6 ~', перемешения на координатные оси Ох(1, (=1,о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
