XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Полагая локальные н глобальные координаты любой точки М Е 1~, С 1'' совпадаюшнми, т.е. я; (М) = х;(М), 1= 1,о, с (д) учетом (!0.50) и (10.53) получаем, что перемещение среды на сетке КЭ можно приближенно задать матрицей-столбцом ЦМ) = О ~~~ 11,Ф,(М) = и ф(М) (10.54) размера в' х 1 с элементами и,'(М), аппроксимйруюшими про- екции и;(М), М 6 Г. Прн этом элементами матрицы-столбца (10.55) размера Жп х 1 являются функции формы (он(М), М 6 Ц, ~етки КЭ. Тензор деформаций имеет в прямоугольных координатах компоненты (см. 3.3) сб(М) = — ~ ' + д ), М6 1'о, 1,2=1,И.
(10.56) 1 /ди;(М) ди,(М) 1 567 Вопросы и задачи В КЭ с номером е эти компоненты можно приближенно пред- ставить в виде (е) 1 ч~ 1 (е) д!р» (М) (е) д!р» (М) 'ее »=! где иен — проекции на оси Ох;, ! = 1, с(, вектора и в п-м узле (е) КЭ с номером е. В случае сна!илексных конечных элементов имеем (см. 10.2) (е) д('(М) =а(„')+~ Ь"х,, ~" ( ) =Ь(5) (10.58) !еп и вместо (10.57) получим )ч, е( (М) „е ~(»(» +и»»! )' »=! (10.59) При использовании эрмитовых КЭ, когда в качестве узловых параметров выступают не только значения аппроксимируемой функции, но и ее производные по пространственным координатам, вид матричных соотношений остается прежним, если соответствующим образом изменить в (10.52) и (10.53) матрицы Г(') и Ф(')(М) (см.
10.2). Вопросы и задачи 10.1, Вывести формулы (10.12) и (10.13)-(10.15). 10.2. Доказать справедливость (10.19), (10.28) и (10.31). т.е. в каждом симплексном КЭ предполагается однородная (не зависящая от координат) деформация. Соотношения, аналогичные (10.56), (10.57) и (10.59), дают приближенное представление тензора скоростей деформаций. 568 10. ОснОВы метОДА кОнечных элементОВ 10.3. Убедиться, что сумма всех функций формы (10.35) и (10.36) для треугольного конечного элемента с шестью и десятью узлами соответственно равна единице, 10.4.
Выразить коэффициенты билинейного многочлена через значения аппроксимируемой функции в вершинах прямоугольника. 10.6. Вывести формулы (10.39)-(10.46). 10.6. Получить выражения вида (10.49) для всех функций формы треугольного эрмитового конечного элемента и убедиться, что нх сумма равна единице, 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА~4И Схема применения метода конечных элементов (МКЭ) к решению задач математической физики кратко изложена в начале предыдущей главы. В этой главе мы более подробно остановимся на особенностях МКЭ и примерах его использования при решении прикладных задач.
11.1. Особенности применения метода конечных элементов Использование метода ковечныл элементов (МКЭ) для решения любой задачи математической физики возможно при наличии ивгвегральчой ~ормулвровкв этой эадачи. Пути построения такой формулировки рассмотрены выше (см. 6). В частном случае эта формулировка может содержать функционал в виде интеграла по области $~, где предстоит искать решение задачи, достигающий на искомом решении экстремального значения. Выбор типа конечного элемента (КЭ) при решении задачи зависит от требований к классу функций, на котором допустимо рассматривать ее интегральную формулировку. Если в зту формулировку входят производные искомой функции до порядка р включительно, то допустимые функции должны принадлежать классу непрерывно дифференцируемых р — 1 раз, а производные порядка р в области (' могут быть кусочно непрерывными.
Интегральная формулировка значительного числа задач математической физики содержит производные лишь первого порядка, т.е. р= 1. Поэтому достаточно, чтобы допустимые функции были непрерывны в области 1~, а их производные утрачивали непрерывность лишь на множестве точек, мера Лебега 570 ЕЬ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ которого в У равна нулю. Таким свойством обладают функции формы «имилек«ныл КЭ.
Для некоторых задач интегральная формулировка содержит и производные второго порядка. Это приводит к необходимости использовать эрмитовы йЗ, функции формы которых обеспечивают непрерывность производных первого порядка при переходе через границу между соседними КЭ. Свойство функций формы КЭ обеспечивать выполнение требований к классу функций, диктуемых интегральной формулировкой задачи, называют согласованностью. После выбора типа КЭ в случае границы области У, имеющей криволинейные участки, возникает проблема заполнения этой области конечными элементами так, чтобы была достаточно точно отражена геометрия границы. Образуемой при этом сешке КЭ будет соответствовать область Уо, в общем случае не совпадающая с У. Отличие Уо от У является одним из источников погрешности, возникающей прн применении МКЭ к решенню задачи математической фнзнки.
Влияние этой погрешности можно ослабить использованием меньших по размерам элементов, т.е. измельченнем сетки КЭ, или представлением границы области при помощи более сложного типа КЭ, одна или несколько сторон (или граней) которых являются криволинейными'. В дальнейшем в этой главе Уо будем для упрощения отождествлять с У, т.е. считать, что сетка КЭ точно соответствует области решения задачи. Вторым источником погрешности являются ошибки аппроксимации искомой функции функциями формы выбранного типа КЭ. Влияние этой причины не всегда удается снизить путем уменьшения размеров КЭ. Более эффективным может оказаться переход от снмплексных к комплексным КЭ, а в случае границы простой формы — к мулыииилскскын КЭ.
По существу МКЭ основан на том, что искомое решение удается приближенно представить на сетке КЭ в виде разложения по функциям формы, причем коэффнцентами этого См., например; Норри Д., де Фриз Ж. 1 Ь Н Огобенноетн применения метода конечнык элементов 571 разложения являются неизвестные узловые иарамегпры — значения искомой функции (а в общем случае и ее производных) в узлах сетки, совпадающих с узлами отдельных КЭ.
В случае линейной задачи математической физики подстановка такого разложения в интегральную формулировку задачи приводит к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно узловых параметров. Если задача является нелинейной, то элементы матрицы СЛАУ будут зависеть от неизвестных узловых параметров. Тогда узловые параметры приходится находить последовательными приближениями, задаваясь ожидаемыми значениями н уточняя элементы матрицы после очередного решения СЛАУ. Матрица этой СЛАУ благодаря свойствам функций формы КЭ содержит значительное число нулевых элементов, что упрощает практическую реализацию МКЭ на ЭВМ. Более того, простота и однотипность свойств КЭ позволяют поручить ЭВМ не только решение такой СЛАУ, но и автоматизировать ряд предшествующих этапов: разбиение области решения задачи на конечные элементы и построение их сетки с нумерацией элементов и узлов; построение системы функций формы в пределах каждого КЭ; вычисление вкладов отдельного КЭ в матричное уравнение; формирование глобальной матрицы для всей сетки КЭ.
Существуют алгоритмы оптимальной нумерации узлов КЭ, обеспечивающие минимальную ширину ленты ненулевых элементов глобальной матрицы, что позволяет экономить вычислительные ресурсы при хранении и обработке этой матрицы. Отмеченные особенности превращают МКЭ в один из наиболее гибких и универсальных современных методов численного решения широкого круга задач математической физики. Помимо его строгого обоснования на основе общей теории проекционных жеэнодов для ряда прикладных задач нетрудно дать физическую или механическую интерпретацию МКЭ с использованием приближенных дискретных моделей сплошной среды, имеющих конечное число степеней свободы.
Первые разработ- 572 11. ПРИКЛАДНЬ1Е ЗАДАЧИ ки МКЭ были связаны именно с такими дискретными моделями в механике деформируемого твердого тела. В частности, в задачах статики упругих конструкций разбиение области сеткой КЭ, рассмотрение равновесия отдельных КЭ и установление связей между ними приводит к системе уравнений, совпадающей с той, которая следует нз формальной процедуры МКЭ. Наглядность, простота и возможность автоматизации процедуры МКЭ делает его весьма удобным для численного решения прикладных задач.
На его основе разработаны достаточно универсальные программные комплексы, которые широко используют в инженерной практике. Однако для уверенного применения любого приближенного метода необходимо располагать возможностью оценки возникающей погрешности и иметь представление о скорости сходимости приближенного решения задачи к истинному.
На практике эти вопросы обычно решают тестированием МКЭ на задачах, для которых известно точное решение. Но для определенного круга задач (в основном, для линейных задач математической физики) можно получить априорные оценки поерешносгли авврокснзеаннн искомого решения на сетке КЭ и скорости его сходимостн к истинному решению при измельчении этой сетки".
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле Последовательно рассмотрим применение зеегвода конечных элементов (МКЭ) для решения линейной задачи стационарной теплопроводности в изотропном твердом теле, возможности учета при помощи МКЭ аннзотропии свойств материала тела и нелинейных факторов, а также решение задачи нестационарной теплопроводностн. Стационарная теплопроводность.
Пусть распределение температуры Г(М), зависящее от положения точки М Е й' на 'Смэ Норри Д., де Фриз Ж., а также: Сереиг Г., Фикс Дж. или: Сьарае Ф. П.г. Задачи теплопроводиоети в твердом теле 573 замыкании )т = $~ 0 5 области т', ограниченной поверхностью э (рис. 11.1), удовлетворяет дифференциальному уравнению Ч(Л(М)ЧТ(М))+!,",'(М) =О, М 6 $~, (11.1) с граничными условиями (2.55) и (2.56) Т(Р)=УУ), Р~Я„ (11.2) Л(Р) ЧТ(Р) п(Р) + ЯР)Т(Р) = ЯР), Р 6 Яг. (11.3) Здесь Л > Π— коэффициент теплопроводности; 1 — мощ- И) ность объемного энерговыделения; ~1 и гг — заданные функции положения точки Р на участках 51 С 5 и Яг = о' Л ог ф Я поверхности о' соответственно; тв — единичный вектор внешней нормали к поверхности о';,9 > 0 — коэффициент теплообмена.
Уравнение (11.1) является частным случаем (2.53) и следует из закона сохранения тепловой энергии в теле. Рис. 11.1 Краевой задаче (11.1)-(11.3) соответствует ее инпгееральнал Формулировка, содержащая Функционал (ХЧ) Щ=~(-~от~ — фт)н'е/(-Т вЂ” /7)нл, п1.4) 574 1!. 11РИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ минимизируемый на распределениях температуры Т(М), удовлетворяющих (11.2), непрерывных на замыкании У и имеющих в У кусочно непрерывные производные по пространственным координатам х;, ! = 1, 3 (в случае трехмерной задачи). Функция Т" (М), М Е У, удовлетворяющая (1!.1)-(11.3), является точкой экстремума (минимума) функционала (11.4). Этот функционал можно использовать для приближенного решения рассматриваемой задачи при помощи МКЭ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
