XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля для однородного ОДУ вЂ” и"(х) — Ли(х) = О, х Е (О, 1), (8.48) с однородными граничными условиями и(0) = и(1) = О. Несложно проверить, что собственными функциями этой задачи будут й„(х) = я)п тях, т б г1, соответствующие собственным значениям Л = (тя')2. Аналогичное условие устойчивости получим, если во второе равенство (8.44) подставим (8.46), заменив и на и — 1.
Условие (8.47) задает ограничение иа выбор шага сетки, причем это ограничение ужесточается при поиске больших собственных значений Л с большими номерами т. Это связано с тем, что каждому собственному значению Л рассматриваемой задачи соответствует собственный вектор и( = (и1 и2 ... ил, ) узловых значений и„, и =1, Ж, кото(м) (тп) (п~) ~ (т) рые удовлетворяют (8.44). В непрерывной системе, описываемой ОДУ (8.29), этому вектору отвечает собственная функция и( )(х), которая в интервале (0,1) имеет т — 1 нулей. При больших т функция и( )(х) становится быстро переменной и для ее удовлетворительной аппроксимации на одномерной сетке требуется большое число узлов.
Поэтому описанный алгоритм на сетке с Ю+ 1 узлами обычно позволяет достаточно точно вычислить лишь несколько первых собственных значений Л,„ при т « )1'. Для нахождения больших значений Л„, системе (8,42), (8.43) можно поставить в соответствие другие разностные схемы или проинтегрировать эту систему численно одним из вариантов метода Руиее — Кутты (см. 8.3). 450 8. ОДНОМЕРНЫЕ НРАЕВЪ|Е ЗАДАЧИ Разобьем отрезок 10, 1) внутренними точками х„= п6, и = = 1, |1) — 1, на 11| частичных отрезков одинаковой длины |1 = = 1/Х и на одномерной равномерной сетке с номерами узлов и = О, |1' используем аппроксимацию (7.3) второй производной ие(х), имеющую второй порядок погрешностпи. Тогда из (8.48) получим однородную систему Д| — 1 разностных ураенений 2и +и+1 Л О 1 |й Ьг Отсюда с учетом граничных условий ие — — и|ч = 0 приходим к однородной СЛАУ (А — Л7)и = 0 вида (8.30), в которой злементы симметрической трехдиагональной матрицы А порядка |Л| — 1 1 имеют следующие значения: а„= с„1 — — —, — — №, и = 2, Ю вЂ” 1, и 2 6„= —, = 2Хг, н = 1, Д| — 1.
Таким образом, для зтой матрицы получаем характеристическое уравнение 2Х2 Л Д|2 0 -Хг 2Хг — Л -№ О Д|2 2Д|2 Л 0 0 0 0 0 0 =О, 0 0 0 ... 2Хг — Л -№ 0 О 0 Жг 2Хг Л левая часть которого содержит определитель порядка Д| — 1. При Д| = 2 зто уравнение принимает вид 2Хг — Л = О, откуда Л = 2Жг = 8, что является достаточно грубым приближением к первому собственному значению Л1 — — лг 9,8696 рассматриваемой задачи Штурма — Лиувилля. Для Х = 3 имеем (2Д|г — Л)г — Х4 = О. Отсюда получаем два собственных значения: Л1 — — |Уг = 9 и Лг — — 3№ = 27. Значение Л*, приблизилось к Л1, но Л" достаточно сильно отличается от второго собственного значения Лг = 4лг 39,4784.
При Х = 4 уравнение (2Д|г — Л) — 2%4(2№ — Л) = 0 имеет три действительных корня: 451 8.2. Задача Штурма — Лмуамллл Л; = (2 — ъГ2) М~ а 9 3726 Лг — — 2Жг = 32 и Лз — — (2+ Л)Жг 54,6274. Для сравнения приведем третье собственное значение Лз = 9яг 88,8264. В случае Ю = 5 характеристическое уравнение (У~г Л)4 3Ув(2Д г Л)г+ Д~Я 0 является биквадратным относительно 2Жг — Л, что позволяет найти четыре корня Л" = 2~ Л' или Л; 9,5492, Лг 34,5492, Лз 65,4508 и Лд 90,4508. Ясно, что для получения удовлетворительного приближения даже к первому собственному значению Л1 необходимо выбрать достаточно большое значение Х.
Отметим, что корни рассматриваемого характеристическог го уравнения можно представить в виде Л"„= 4Жгя1п —, к = 2Ф = 1, Х вЂ” 1. Из этого представления вытекает, что Л; -+ Лг при % -+ оо. Используем метод стрельбы для получения приближенного значения Л1. В данном случае, выбрав и, = 1, нз (8.44) при п = = 1 и ио = 0 найдем пгниг — — — 1/Ь = — Х и, задавшись пробным значением Л, последовательно при каждом значении и = 1, Х вЂ” 1 Ли вычислим из (8.45) о„+газ = о„,72+ Лйи„= о„,72 + —, а затем иэ (8.46) в„+1 = и„— Ьо„+,72 — — и„— "~'~'. При Х = 10, задаваясь пробным значением Л = 1О, получаем им — 0,1089, а для пробного значения Л = 9,7 находим им 0,0470.
Это означает, что условию ищ = 0 будет удовлетворять промежуточное значение Л, т.е. 9,7 < Л' < 10 Последовательнымн приближениями устанавливаем, что (им) < 10 и при Л= Л1ж9,7887. В случае Х = 100 такая же точность достигнута при Л~ 9,8688, что по сравнению с Л1 меньше лишь на 0,0008. 452 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Использование метода стрельбы для вычисления второго собственного значения при условии, что (иу) < 10 е, дает Лэ -38,1966 при М = 10 и Л~ 39,4654 при % = 100.
Последний результат меньше значения Лэ на 0,0130. Отметим, что условие (8.47) устойчивости выполнено для всех вариантов расчетов, проведенных в этом примере. 8.3. Нестационарнаи задача теплопроводности В качестве характерного примера рассмотрим одномерную иестационарную краевую задачу теплопроводности в твердом теле, описываемую линейным дифференциальным уравнением с частными производными (см. 2.3) с(х) ' = — ( Л(х) ' ) + 71~1(1 х) 1 > О, (8.49) — Л(х) + аТ(1, О) — а(1), дТ(1, х) ) (8.50) Л(х) — '~ + ~3Т(1,1) = 13(1) дТ(1, х)1 (8.51) Можно указать три основных подхода к решению такой краевой задачи с использованием метода конечных разностей (МКР).
где Т(1,х) — зависящая от времени 1 и пространственной координаты х е (О,1) температура тела; с(х) > 0 и Л(х) > 0— объемная теплоемкость и теплопроводность; 1г (1, х) — объем1я) ная мощность внутренних источников тепловой энергии. Помимо (8.49) в формулировку нестационарной краевой задачи теплопроводности должны входить начальные условия в виде заданного распределения температуры Т(0, х) = Т'(х) в момент времени 1= О, принимаемый за начальный, и граничные условия, заданные на концах отрезка [О, 1]. В данном случае примем граничные условия вида (8.2): 8.3.
Нестационарнаа задача тешюнроаоднасти 453 Первый из них, называемый метводом ар,амых, связан с аппроксимацией производной в левой части (8.49): дТ(1,х) Тя(х) — Тя 1(х) (8.52) дС Ьея где Тя 1(х) и Ть(х) — распределения температуры в теле в моменты времени ся 1 и 1я =1я 1+ Ыь в начале и конце к-го интервала времени Ь1ь. Г!ри рассмотрении процесса теплопроводности в теле на к-м интервале времени предположим, что распределение Тя 1(х) известно из решения задачи на предшествующем, (к — 1)-м интервале, а при к = 1 оно определено начальными условиями, т.е.
То(х) = Т'(х). Тогда, подставив (8.52) в (8.49) при условии, что правая часть (8.49) соответствует моменту времени ся, получим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка — — (Л(х) ) + — Тя(х) = 1 т (1я,х)+ — Тя,(х), й г е1Ть(х) х с(х) 1,1 с(х) й (, й ) и„ ' ' Ь1 х е(0,1), описывающее искомое распределение температуры Тя(х).
Это ОДУ может быть решено с учетом граничных условии в фиксированный момент времени се способами, рассмотренными выше (см. 8.1). Второй подход основан на использовании аппроксимации правой части (8.49) на одномерной сетке с И узлами х„й [О, 1], и = О, Ю. Это соответствует переходу от непрерывного во времени и пространстве процесса теплопроводности к его дискретной в пространственном отношении математической модели.
В итоге с учетом заданных граничных условий получаем нормальную систему ОДУ относительно искомых узловых значений Т„Я температуры, зависящих от времени. В задачу Коши для зтой системы в качестве начальных условий входят узловые значения Т„(0) = Т'(х„) = Т„' в момент времени 1 = О. 454 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Наконец, третий подход объединяет первые два и связан с переходом к дискретной математической модели нестационарного процесса теплопроводности как в пространстве, так и во времени. Эта модель в каждый фиксированный момент времени на одномерной сетке соответствует системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Последовательно рассмотрим пути решения нестационариой краевой задачи для уравнения (8.49) на основе второго и третьего подходов. При аппроксимации правой части (8.49) на одномерной неравномерной сетке с /2/ узлами х„б [О, 1), п = О, А/, нормальная система ОДУ принимает вид = а„Т„1(1) — 6„Т„(1) + с„Т„Е1(1) + 1'„(1). (8.53) гТ„(1) Здесь в соответствии с методом баланса Я +О2 хв.21 Г д* с„ а„ч.1 „/ Л(х) 2Л л„ = с(х)/1х, (8.54) 2в-1/2 +1/2 /1(1) = 1„,~11 х) 11х, (8.55) 6„= а„+ с„, -1/2 и = 1, А/ — 1.
По аналогии с (8.8) при аппроксимации (8.50), (8.51) получим бе = со+о, бл/ = ал/+13 и 2 1/2 /о(1) = /2(1) + 12/2~(1, х) дх, ~А/(1) = 3(1) + 11/ (с,х) дх. 1 п = О, А/, причем ао — — с/1/ = а/1/+1 — — О, х„~112 — — -(х„+ х„~1), но х 112 — — 0 и х/1/+112 — — х/1/ =1. Кроме того, 8.3. Нестаннонарнав задача теплопроводносгн 455 В матричной записи (8.53) имеет вид Я вЂ” + АТ«) = У«) дт«) Й (8.56) ехр(В) = 1и+~+ В+ —,В + —,,В + 2 1 3 где ряд в правой части равенства сходится абсолютно для любой матрицы В Е Мн+~(К) по спектральной норме к некото- с начальным условием Т(О) = Т', где векторы Т«), Т' и 1«) размерности Я+ 1 имеют координаты Т„«), Т„' и 1„«), и = = О, Х, соответственно; диагональная матрица о' содержит на своей диагонали элементы в„; квадратная матрица А порядка Л1+ 1 является трехдиагональной вида (8.11).
Используя (8.39), нетрудно установить, что с)е1А = О при о = ~3 = О, т.е. в этом случае матрица А будет вырожденной. В дальнейшем предполагаем, что значения о и Д неотрицательны и хотя бы одно иэ них положительно. При этом А будет матрицей с частичным диагональным преобладанием. Из (8.54) следует, что а„+~ —— с„ф О, и = О, Х вЂ” 1, т.е. магприца ,4 неразлонсимал и симметрическая. В силу замечания 8.3 она имеет %+1 простых (т.е. попарно различных) положительных собственных значений Л, т = 1, %+1, а ее собственные векторы образуют ортонормированный базис [1Ч].
В этом базисе матрица А имеет диагональный вид Л, в котором диагональными элементами являются собственные значения. При этом т Л = С АС, где С вЂ” ортогональная матрица порядка Х+ 1, столбцами которой являются собственные векторы матрицы А. Учитывая, что СС = С С= 1и+ы где 1н+~ — единичнал матрица порядка У+1, получаем А =СЛС . В линейном пространстве Мн+~(К) матриц порядка )Ч+ 1 введем спектральную норму. В этом случае Мн+~(К) будет конечномерным ((Х+ 1)-мерным) нормированным пространством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
