XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 58
Текст из файла (страница 58)
ОСНОВЪ| МЕТОДА КОНЕЧНЪ1Х РАЗНОСТЕЙ задачи, или короче: разностная схема сходится. При зтом показатель степени «2 в неравенстве 4зи < СЬ, С ) О, называют «орлдном «зочностпи разнос«зной схемы. Для рассматриваемой разностной схемы т = 2. Совпадение порядка точности разностной схемы с порядком аппроксимации является в данном случае следствием непрерывной зависимости решения и„, и = 1, Ф-1, ревностных уравнений от их правых частей*. Оценки (7.37) и (7.38) погрешности, называемые априорными, обычно трудно использовать на практике, поскольку значение М4 сложно оценить до решения задачи. Апостериорную оценку погрешности можно получить методом Рунге, используя результаты решений СЛАУ (7.22) на так называемых сгущающихся сетках, т.е.
на нескольких сетках с увеличивающимся числом узлов при условии сохранения ранее введенных узлов. Пусть и*„. — значения в узлах х,*„., и* = 1, У*-1, удовлетворяющие (7.22) при ио = йо, и~. —— йъ числе Ф* = 2% узлов сетки и ее шаге Ь = Ь/2, Оценивая левую часть в (7,37) сверху, т.е. заменяя неравенство (7.37) равенством, для узла х„= х„*. = = хз„находим )й„— и„! = М4Ь х„— ", и = 1, 1'е"-1, 2 1 ха 2 * 1 хп и ~ М4(Ь ) х — М4 х 24 4 24 где и„. = и„и «* = 1, Ф' — 1. Отсюда получаем 4)й. — и... ~ = ~й„— и„~, или, обозначая 2зи*„= ~й'„'. — и"„. ! = ~й„— и*„~, 4Ьи*(х„) = (й„— и„~ = ~(й„— и"„) + и,*, — и„! < 23 и"„+ (о'„— и„~. В итоге для узла х„получаем оценку погрешности (7.39) 'См., например; Самарская А.А. 423 7.4.
Пример нростейшей раоностной схемы Пример 7.1. Рассмотрим краевую задачу — ин(х)+хзи(х) = ~ — +хй~1сов —, х 6(0, 1), ~4 / 2' и(0) = 1, и(1) = О, нмеюшую точное решение й(х) = сов —, Используем разностг' / х2 ную схему (7.22) при до = хо и 1'„= ( — + хоз) сов — ", где х„= —, и = 0,4, т.е. разобьем отрезок (0,1] тремя внутренними точ- 1 1 ками на Ю = 4 частичных отрезков равной длины 6 = — = —. М 4 Тогда при заданных значениях ие = 1 н ил1 = 0 получим СЛАУ нз трех уравнений пз х 4хз+ пз хп -и„1+ 12+ — ) и — п„е1 —— сов —, и = 1, Ю-1.
256 256 8 ' Ее решение методом прогонки представлено в табл. 7.1. Таблица 7.1 и(х*„.) схо ци 1,000000 0,926080 5,56 0,709703 6,57 0,384324 4,14 В случае № = 8 та же разностная схема приведет к СЛАУ из семи уравнений (п*)з 1, „ш 16хз+ (п')~ хп' 4096~ " " + 4096 16 ' 1,000000 0,981114 0,924413 0,832097 0,707733 0,556116 0,383082 0,195300 0 1,000000 0,980785 0,923880 0,831470 0,707107 0,555570 0,382683 0,195090 0 0 3,29 5,33 6,27 6,26 5,46 3,99 2,10 0 0 4,34 7,43 9,29 9,91 9,29 7,43 4,34 0 424 И ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЭНОСТЕИ причем и* =1 и и~, — — О. Решение этой СЛАУ и значения й(х„.) точного решения в узлах х„= —, приведены в табл. 7.1. Там и' — дг же представлены значения гл,*, = 104[й(х„.) — и„.[. Их сравнение со значениями Ь„= 104Ьи„, вычисленными в соответствии с (7.39), показывает, что метод Рунге дает в данном случае хорошие результаты.
Вместе с тем погрешности значения С„* = М4 = 104 — (Ь*)ях„*. (1 — х'„.), соответствующие априорной оценке (7.37), где в данном случае гг (ггх1 ~ гг м4 = гпах [йгя(х)[= — шах сов~ — 1 =[о, г] 1 6 =[о,г]~ ~ 2 г ~ 16 ' заметно выше (см. табл.
7.1). Вопросы и задачи 7.1. Какой порядок погрешности имеет формула и'„'~г и„4г — 2и„ + и„ г , где гг — постоянный шаг одномерной сетки7 7.2. Показать, что погрешность аппроксимации в (7.8) имеет первый порядок, а в (7.9) — второй порядок. 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДА'ЧИ 8.1.
Разностные схемы для стационарных задач рассмотрим одномерную стационарную краевую задачу, которая включает линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка — (р(х) и'(х)) +д(х) и(х) = 1(х), х Е [О, 1], (8.1) с переменными козффициентами и граничные условия — а1и'(х) ~ + аи(0) = а, А и'(х) ~ + 19и(1) = 13, (8.2) где а1, а, о, Д, 11, 11 — действительные числа, удовлетворяющие условиям аз+ а~ ~ 0 и Я+ о~ ф О, а р(х), о(х) и 7"(х) являются заданными функциями независимого переменного х, Далее примем, что р(х) > р' > 0 и о(х) > 0 при х Е [О, 1), а1о > 0 и 11113 > О.
К краевоя задаче (8.1), (8.2) можно прийти, изучая, например, распределение температуры и(х) при стационарной теплопроводности в стержне длиной 1, аналогичном изображенному на рис. 7.1, но с переменной площадью поперечного сечения, пропорциональной значениям функции р(х) (функция д(х) описывает изменение периметра зтого сечения). На боковой поверхности стержня происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой пропорциональна значениям функции 7"(х), а (8.2) задают условия теплообмена на торцах стержня. При о1 = 0 и (или) 171 = 0 получаем частный случай, когда на торце стержня х = 0 задана температура и(0) = а/а и (или) на торце х = 1 задана температура и(1) = Я~3.
426 й. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 1 / и„+1 — и„и„1 — и„~ 1 Рп-1-1/2 + рп-1/2 ] + упип = /п~ (8 3) и и+1/2 и — 1/2 1 и = 1, Ю вЂ” 1, где Ь„= —,(Ь„+,/2+ Ьп,/2), +Н2 2»+1/2 1 //п = — 1 //(х) ах, — /(х) дх, (8.4) ~п 1/2 2' и-! /2 а р„х1/2 соответствуют (7.11) и (7.12). В общем случае порядок погрешности аппроксимации первого слагаемого в ОДУ (8.1), полученной в соответствии с (7.13), не превышает единицы. Поэтому производные в граничных условиях (8.2) достаточно аппроксимировать с тем же порядком погрешности, т.е. использовать правую и левую конечные разности соответственно: и1 — ив — о1 +оно=/2, Ь1/2 Ь//-1/2 Ясно, что в частных случаях о1 = О и (или) Д1 — — О граничные условия (8.2) при х = О и (или) х =1 будут удовлетворены в разностной схеме точно.
Если функции р(х), в(х) и /(х) имеют на отрезке [О, 1] конечное число точек разрыва, то при аппроксимации ОДУ (8.1) целесообразно использовать метод баланса. Разобьем отрезок (О, 1] внутренними точками х„, п = 1,/2'-1, на /2' частичных отрезков длиной Ь„я1/2 — — ]х„ь1 — х„], т.е. введем неравномерную (в общем случае) одномерную сс/пку с номерами узлов и = О, /2/. В соответствии с методом баланса вычислим интегралы от левой и правой частей (8.1) по отрезку [х,/2, х„+1/2], где х„п1/2 — — хп ~ -Ьпя1/2. Тогда, учитывая (7.11) — (7.13), полу- 1 и чим систему /2/ — 1 разностных уравнений 427 о.1.
Разностные схемы ддн станнонарных задач Если же (8.3) аппраксимируют ОДУ со вторым порядком погрешности и о1 ф 0 и (или) Д ф О, то целесообразно и (8.2) аппроксимировать также со вторым порядком погрешности. В зтом случае соотношения и1 — ио — 6112 - н112 Р112 00 + чо ио /О '' 6112 2 2' (8.6) им — и/1/ 6л/ 1/г — /1/1/ 1/г р/ч-1/2 + о/ч + /1// и11 = //ч, (8.7) а/1/-1!г 2 2 полученные при помощи метода баланса интегрированием (8.1) на отрезках (О, х,/г] и (х/1/ 1/г, 1], будут иметь порядок погрешности аппроксимации не менее двух.
В соотношениях (8.6), (8.7) обозначено /2112 = х1, /2/1/ цг = 1 — х/ч с1/2 Х1/2 р1ч-112 121/г,/ р(х) хН 2 ~ч = / (х)/(х. хн-цг хн-цг Из (8.2) имеем о — /хио оо — — -р(0) и (х)] = р(0) 1 =О 021 д-ди/ч о/ч = — р(1) и (х) ~ = -р(1) и после подстановки в (8.6), (8.7) получаем боио — сои1 = Уо, х1 1~ р /~ бц~,/ р(~)' о 2 Д = — / 7"(х)/1х, 111/2 о 2 д,о = 1 о(х)/1х, "/0-1!г 2 В= ГИ4 12112 о -а//и// 1+ 611/и„= у/о, (8.8) а ОДНОЯ4~РНЬ(8 К'РЛ~ОЬ(~ ЗАДА'(И 428 где — 61/2 й Р1/2 6о = со+ Уо — + Р(0) —, со =— 2 о1' (11(2 /11/2 О РМ-1(2 Уо = Уо — +Р(0) 2 о1 6Ю-1/2 у1ч = /л + Р(1)— /1М-1(2 (1 2 (11 6л1 = ал1+дл1 +р(1) —, (1%-1/2 2 д1' Из физического смысла краевой задачи (8.1), (8.2) вытекает, что если о1 ф 0 и (или) Д ~ О, то обычно о1 — — р(0) н (или) (11 = р(1).
Аппроксимацию (8.5) граничных условий (8.2) с первым порядком погрешности также можно привести к виду (8.8), если принять Р1(г со= —, (11/2 о Ю 6о = со+ Р1/2 —, уо = Р1/2 —, О1' О1 РМ-1/2 — Р а ч =, 61ч = ал1+ рл1-1(2 —, у1ч = рл1-1(2— /1%-1/2 (21 (21 После умножения каждого разностного уравнения (8.3) на Ь„запишем — а„и„1+ 6„и„— с„и„+1 = у„, и = 1, М вЂ” 1, (8.9) где Рп-1/2 а„= (1„1(2 Р~+ 1/2 сл— уп Уи Ап (1п+1/2 6„= а„+ с„+ о,(1„, (8.10) Ам=у Итак, (8.8) и (8.9) образуют систему %+1 линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных узловых значений и„, и=О,А(, искомой функции и(х). В матричную запись о.
Ь Разностные схемы длн стационарных задач 429 этой СЛАУ входят квадратная трехдиагональнал матрица Ьо -со 0 — а1 Ь1 — с~ 0 — ат Ьт 0 0 0 0 0 0 (8.11) 0 0 0 ... Ь,ч ~ — с~я1 0 0 0 ... -ау Ьу Замечание 8,1. Если функция р(х) непрерывно дифференцируема на отрезке [0,1], то, казалось бы, целесообразно продифференцировать первое слагаемое в (8.1), использовав затем (7.3) для аппроксимации ин(х) и центральную конечную разность для аппроксимации и'(х) на равномерной сетке с изагом 6: — (р(х) и'(х)) = — р(х) ин(х) — Р(х)'и'(х)ж и„+1 — 2и„+ и„1, и„+1 — и„1 Ьт " 26 где р„и р'„— значения функции р(х) н ее производной в узле х„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
