XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Таким образом, первое условие теоремы выполняется. Зафиксируем произвольный номер 1У. Поскольку Ргч'Н = = 0(Р1я) = Уг1, то для любого элемента у* е ъл1 существует такой элемент у б Я, что Рч~ = у"'. Уравнение РпАи = у эквивалентно уравнению РиАи = Рх~, а потому, согласно предположению, имеет решение им е Бч, и притом единственное. Это означает, что Р~А йод = $'л1, т.е. выполняется второе условие теоремы. Докажем, что выполняется и последнее, третье условие теоремы. Обозначим через Рл1 сужение оператора Р~д на подпространство АУл1.
Поскольку линейный оператор Рм ограничен и взаимно однозначно отображает банахово пространство Аб',ч на банахово пространство $'А1, то, согласно п1еореме Баиаха об обрап1иом операгиоре, существует ограниченный обратный оператор Рщ . $'л1 — 1 АГч. Покажем, что последовательность -1, норм ))Р~ 'О' этих операторов ограничена. Пусть мл1 Е ~Уу— решение операторного уравнения РБАм = Рд~. Тогда Амл = = Ри~ Рм~, и условие ))Аим — уи' — > О при М-+ оо означает, что Р~~'Рм~ — У вЂ” > О при Ю вЂ” > оо.
Следовательно, Р ' Р~~ — 1 у" при 1ч -+ оо. Последнее условие верно для любого элемента у Е Я. Согласно п1еореме Банаха — Штейнгауза, последовательность Я)Рд Рд~~~) ограничена, т.е. для некоторого числа С* > О имеем ))Р~~Ру$ < С", п Е М. Поэтому для любого элемента и Е рг1, учитывая, что Ржи = и, имеем ))Р,„'и)) = ~ОР 'Рми)) < ~~Р~'Рлф)~))п)) < С" Оо)). Из этих неравенств вытекает, что $Р 1)) < С, М с г1. 393 Д.б.1. Проекционный метод Выбрав произвольный злемент У Е АУч и положив о = Р~~, получим 1Л = 11Р-'о11 < С.1!о!! = С 11Р~Л, т.е. третье условие теоремы выполнено с т = 1/С".
Достаточность. Согласно теореме 6.11, из второго и третьего условий теоремы 6.12 вытекает, что каждое уравнение РмАи = Р~~, Ж б М, имеет решение ам, и притом единственное. Это решение можно предоставить в анде им = = А 'Р~'Ри~, где Рм — сужение проектора Рм на подпространство АУу. В соответствии с третьим условием теоремы имеем 11Р 11 < —. Кроме того, по условиям теоремы 11Рч11 < С, Х б Я.
Следовательно, 11Р Рм11 < — и для любого злемента -1 С т о б АУу, учитывая равенство о = Р„' Рмо, получаем !!Ам,м —,1 11 = 11 Р Рм ~ — Д < < 11Рл~' РнУ- Р~' Рис!1+ !!и- У11 < < 11Рм'РМ11У- 11+1!о-Л= = (11Р 'Рл,11+ 1) 11У вЂ” о11 < ( — +1) 11У вЂ” н 11. Так как злемент о 6 А0у выбирался произвольно, то 11Аик — у!!< ( — + 1) 1пГ 11у — о11 = ( — + 1) р1У, А11лг). С С Согласно первому условию теоремы р(у, АУч) -+ О, при Ж -+ со. Позтому и !!АЙ вЂ” у11 -+ О при % -+ оо. > Замечание 6.3. Если Уч и Ък — конечномерные линейные пространства одинаковой размерности, то второе условие теоремы 6.12 является следствием ее третьего условия. Действительно, из третьего условия вытекает, что все операторы Рч имеют нулевое ядро.
В зтом случае для каждого номера И 394 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ оператор Р~А, рассматриваемый на конечномерном линейном пространстве 1Ун, также имеет нулевое ядро. Значит, его образ имеет ту же размерность, что и линейное пространство 1'и. Если 61шУИ = йш Ун, то размерность подпространства Рм М1н в Ум совпадает с размерностью 1и. Но зто возможно лишь при РНАЯ = УН. Замечание 6.4. Если в условиях теоремы 6.12 оператор А имеет ограниченный обратный оператор, то для любого злемента У 6 В(А) последовательность (и,ч) решений операторных уравнений РмАи = Р~~ сходится по норме к решению и уравнения Аи = у. Действительно, в зтом случае ))ин — и~! = ))иу — А 'уй = '6А '(Аим — у))1 ( ОА 'й))Аин — уй.
Согласно теореме 6.12, )(Аин — Л ~ О при Ж-+ со. Позтому и ~~им — и)! -+ О при Ж вЂ” ~ оо. 41 Рассмотрим проекционный метод в частном случае, когда выбор последовательностей подпространств (СУЙ) и (Ун), а также последовательности проекторов (Рн) определяется парой ортогональных базисов (м„1 и (п„1 в гильбертовом пространстве Я следующим образом. Подпространства Уу и 1н являются линейными оболочками конечных ортогональных систем злементов им из, ..., им и ом пз, ..., пм. Оператор Р~ является оператором ортогонального проектирования на Ущ (или ортвопроемтвором), т.е. каждому злементу у 6 71 с разложением у = ,'> Дпь в соответствие ставится его проекция ~ч ь=1 М на Ум, равная ~у = 2, Дпь, т.е.
Р1 = ~н. /с=1 Отметим, что в рассматриваемом случае 6 Рч)~ = 1, 111 6 М, и, следовательно, последовательность проекторов Рм равномерно ограничена. Приближенное операторное уравнение РмАи = = Рн~, решение которого ищется в конечномерном линейном пространстве ау, равносильно уравнению Рм(Аи — у) = О. Но 395 Вопросы и задачи равенство Р1о = 0 означает, что все коэффициенты разложения злемента о в ортогональном базисе (оь) с номерами к < 1Ч равны нулю, т.е. (о, оь) = О, к = 1, 1ч. Таким образом, решение иа1 Е 11л1 операторного уравнения Ра1Аи = Риу удовлетворяет системе уравнений (Аи — у, оь) = О, и = 1, Х. Заменяя злемент М и Е Уч его разложением и = 2,' а„и„в базисе о1, оз, ..., о1о о=1 зтого линейного пространства, приходим к системе линейных уравнений относительно неизвестных козффициентов разложения а1, аз, .", ак~: ~~> (Аи„, оо) а„= (1, оь), lс = 1, Ж.
(6.183) Нетрудно увидеть, что в рассматриваемом случае проекционный метод совпал с меосодом ортогональных проекций, а система (6.183) не отличается от системы линейных уравнений (6.80), к которой приводит метод ортогональных проекций. Это позволяет рассматривать проекционный метод как обобщение метода ортогональных проекций, а для исследования метода ортогональных проекций использовать теоремы 6.11 и 6.12, дополнительно учитывая замечания 6.3 и 6А.
Вопросы и задачи 6.1. Одномерное установившееся распределение температуры Т(х) в стенке толщиной Ь удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению — (Р(х) ) =О, х б(0,6), где Р(х) = Ро(1+ — ) (1+ — ), х Е (О, Ь), 396 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ а В1 и Вз — главные радиусы кривизны одной из поверхностей стенки. На этой поверхности выбраны участок площадью Ре и начало отсчета координатной оси Ох, направленной по нормали к поверхностям стенки, на которых заданы значения температур Т(0) =Те и Т(Л) = Та.
При условиях — ~ 1 и — ~ 1 Л Л )ВН (Нр! методом малого параметра найти распределение Т(х) и сравнить его с точным решением задачи. При тех же условиях методом малого параметра решить одномерную нестационарную краевую задачу Т(,О) = Т(0,1) = Т, Т(Л,1) = Т„, где 1 — время, а — температуропроводность (см. 2.3) матери- ала стенки. 6.2. Упругая балка длиной 1 с постоянной жесткостью на изгиб Е1.
(см. рис. 6.3) закреплена таким образом, что ее прогиб ю(х) удовлетворяет условиям ш(0) = и>'(0) = ю(1) = мл(1) = О. Найти форму прогиба оси балки под действием распределенной нагрузки интенсивностью д(х) = до(1+ -~1 методами колло- 1/ кации в подобластях и в точках и сравнить результаты при одинаковом числе слагаемых в представлении приближенного решения, а также провести сравнение с точным решением задачи. 6.3. Методами коллокации в подобластях и в точках найти одномерное стационарное распределение температуры Т(г), г Е (Ны Вя), по толщине стенки трубы с внутренним Л1 и наружным Вз радиусами, описываемое обыкновенным дифференциальным уравнением РТ(г) 1 ЙТ(г) 1~~1г~ +— + ~ =О, Игл г Ыг ЛВ~з 397 Вопросм и задачи где 1г — объемная мощность энерговыделения (см.
2.3) в (я) стенке при г = Вз, Л вЂ” теплопроводность (см. 1.3) материала трубы. На поверхностях трубы принять Т(В~) = Т(Нз) = Те. Результаты сравнить с точным решением задачи. 8.4. Методами коллокации в подобластях и в точках найти одномерное установившееся распределение температуры Т(я) в стенке с поверхностью двоякой кривизны (см. задачу 6.1). 8.3.
Найти решение уравнения (6.85) с граничными условиями и(0) = и(1) = 0 методом наименьших квадратов и сравнить с решением, полученным в примере 6.8. 8,8. Вязкая несжимаемая жидкость движется в трубе квадратного поперечного сечения, причем вектор о скорости жидкости направлен вдоль оси Охз трубы, т.е. его проекции на координатные осн Ох~ и Охз, перпендикулярные стенкам трубы, равны нулю (п~ = пз — — О). Методом наименьших квадратов и методом Бубнова — Галеркина найти распределение в поперечном сечении трубы проекции пз(яыхз) вектора скорости жидкости на ось Охз.
Функция пз(х~,хз) удовлетворяет уравнению где и — коэффициент сдвиговой вязкости жидкости (см. 3.2); Р= р(яз) — заданная функция изменения давления жидкости вдоль оси трубы. На стенках трубы принять пз — — О. Сравнить результаты с точным решением задачи. 8.7. Решить задачу 6.1 методом наименьших квадратов и методом Бубнова — Галеркина и сравнить результаты с точным решением. 8.8, Решить задачу 6.2 при условиях ю(0) = и>п(0) = в(1) = = ю" (1) = 0 методом наименьших квадратов и методом Бубнова — Галеркина и сравнить результаты с точным решением. 398 в. БРиБлиженные АнАлитические метОДы 6.9.
Убедиться, что применение метода Бубнова — Галер- кина для решения уравнения (6.85) с граничными условиями и(0) = и(1) = 0 и для решения краевой задачи (6.84) дает одинаковый результат. 6.10. Найти двустороннюю опенку критической силы, вызываюшей потерю устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня с круговым поперечным сечением, рассмотренного в примерах 6.11 и 6.12, если 4 тх(1 — х) г(х) = 1 + , = 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
