XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Л„ а=1 (6.121) Подвергая (6.121) действию оператора А, получаем Айы = ~1 ' " Аа„= ~ (у,а„)а„. " (У,а.) а=! Л„ а=! (6.122) Правая часть (6.122) является конечное суммой разложения элемента у в ряд Фурье по ортонормированной системе (а„) функций а„, и Е ! 1. Поэтому Ай1ч — ! у при Ж вЂ” ! со. !А».."1=~(А .Е».аи=(-Г1' -1 ° ее!= о о В случае и = и находим 1 1 (ня)4 !а ., 1=1!а .!!11 .!1!и= 1-Г1'' *-ее= ~"' 2 Пример 6.9. Используем метод Бубнова — Галеркина для приближенного решения краевой задачи (6.84), уравнение ко- 64 торой содержит положительно определенный оператор А = —.
а!е4 Решение будем искать во всюду плотном подмножестне Х С С Аз[0, 1) четырежды непрерывно дифференцируемых на отрезке [0,1) функций, которое является линейны.н многообразием. Как и в примере 6.5, в качестве счетного базиса в Х выберем систему функций и„(С) =я)пёхС Е 0(А), п Е11, удовлетворяющих граничным условиям в (6.84).
Так как функции и„(С) Е 0(А) ортогональны на отрезке [О, 1] (см. пример 6.8), то при и ~ Й 356 в. ПРИБЛИ2КЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Учитывал, что в задаче (6.84) правая часть | дифференциального уравнения равна единице, для нечетных Й = 2т — 1 имеем 2 (~, иь) = в1пlсх5г(~=— Ьг о и в соответствии с (6.116) для нечетных и = 2т — 1 получаем 4 а„ = аз и а„= аз„, — — 0 для всех четных п = (2га — 1)~ я~ = 2т.
Это означает, что для рассматриваемой задачи метод Бубнова — Галеркина и метод наименьших квадратов приводят к одинаковому результату. Несложно проверить, что к тому же результату приведет и решение уравнения (6.85) с граничными условиями и(О) = и(1) = О. Метод Бубнова — Галеркина широко применяют и для приближенного решения тех операторных уравнений, в которых оператор не является положительно определенным.
Пример 6.10, Применим метод Бубнова — Галеркина как вариант метода взвешенных невязок к приближенному решению задачи, рассмотренной в примере 6.7. Приближенное решение сначала будем искать в виде (6.93), а в качестве весовой 4$ункции возьмем входящую в (6.93) функцию и1(х) = 1 — (х/гг)2. Эта функция при использовании метода Бубнова — Галеркина выполняет одновременно роль и базисной и проекционной функций. Подставив (6.93) в (6.91), приравняем нулю взвешенную невязку ь ь г' оТ 02Т1 1' г х2~ 2Ж(1) ( — — а — /и1(х) ггх = — ( ~1 — — ) — г1х— ~а д*,/ / ~ 52) 81 о о хз~ 2 85 гЩ(1) 4а -1'.вел- — ) — а = — — — — айте=о.
5~~ Й~ 15 г(1 35 о 357 б.о. Задачи на собственные значения Отсюда следует обыкновенное дифференциальное уравнение — + — 0(1) =О, Р(1) 5а д1 2йз (6. 123) решение которого представим в виде 0(1) = 0(0) ехр( — — ) = 0(0) ехр( — 2,5Го), (6.124) где Го = —, — число Фурье (безразмерное время), а 0(0)— ае начальное значение функции 0(1), которое найдем из равенства нулю взвешенной невязки в начальном условии задачи: | (Т(0, х) — То) и1 (х) Ых = о л =|(т — о<о)(1 — — *„,) -т) (1 — *— „,) а=о. о После вычислений получим 0(0) = -(Т' — То) и, подставляя б (6.124) в (6.93), запишем сз(Го,с) = ' = 5 ехр( — 2,5Го), С = —. (6.125) Т' — Т(1, х) 1 — со Т' — Т 4 ' ' 5 Результаты расчета по (6.125) при С = 0 приведены в табл.
6.1. 6.9. Задачи на собственные значения Рассмотрим однородное оператпорное уравнение вида (5.41) Ата — ЛВта=О, та,О Е 0(А) С Я, (6.126) где А и  — линейные операторы, действующие в гильберпзовом простпранстве Я, причем 0(А) С 0(В) и О(А) — всюду 358 в, пРиБлиженные АнАлитические метОДы плотное в Я подмножество. Напомним, что число Л называют собственным значением этого операторного уравнения, если (6.126) при этом Л имеет решение, отличное от тривиального решения и = О. Выше (см. 5.5) показано, что если А— симметрический оператор, а  — положительно определенный, то при решении задачи на собственные значения в (6.126) без потери общности можно принять оператор А также положительно определенным.
Как и выше (см. 5.5) предположим, что все собственные значения операторного уравнения (6.126) простые, образуют счетное множество и их можно представить в виде элементов возрастающей последовательности (Л 1. Тогда каждому из этих собственных значений Л отвечают собственный элемент ш„, йище„)( = 1, и одномерное собственное надпространство 5,„, совпадающее с линейной оболочкой этого элемента.
В прикладных исследованиях задачи на собственные значения уравнения (6.126) возникают, например, при анализе колебаний различных динамических систем. В этом случае собственные значения пропорциональны квадрату частот собственных колебаний. При исследовании условий перехода системы из одного состояния в другое собственные значения характеризуют уровень внешних воздействий на систему, при котором такой переход возможен. В частности, собственные значения могут иметь смысл критических нагрузок, вызывающих потерю устойчивости равновесия или движения системы. Приближенное решение задачи на собственные значения уравнения (6.126) можно найти с помощью метода Бубнова— Галернина.
Искомый собственный элемент приближенно представим в виде йч =~~) а„и„, а„Е К, и„5 О(А), Х с М, (6.127) где и„5 О(А) — элементы последовательности (и„), образующей в О(А) счетный базис. Подставляя (6.127) в (6.126) и 359 б.9. Задачи на собственные значении используя (6.76) при еь = мы )е = 1, Х, приходим к однородной системе линейных относительно коэффициентов аа алгебраических уравнений (СЛАУ) Х ~~) а„(Аи„— ЛВм„, иь) = О, й = 1, Х, (6.128) но содержащей неизвестное число Л.
Эта СЛАУ имеет нетривиальное решение относительно коэффициентов а„при условии де$0у = О, где С)у — симметрическая матрица порядка Х с элементами (Ам„— ЛВм„, иь), )е, и = 1, Х. Каждое значение Л, т = 1, Х, удовлетворяющее (Ж) уравнению де10у = О, примем в качестве приближения к собственному значению Л уравнения (6.126) при условии, что Л (ч) (как и Л ) занумерованы в порядке возрастания т. Ясно, что при фиксированном Ю можно найти приближенные значения лишь для Х собственных значений уравнения (6.126). Замечание 6.2.
Можно показать,' что при любом т < Ю верно неравенство Л > Л и при возрастании Ае значения (Ж) Л для фиксированных т не возрастают, причем Л -+ Л и (~ч) ()ч) ~)чо — чи )(и -+ О при )ч'-> оо, где в соответствии с (6.127) (л') Ф чи~ ) =~~) а( )и„, и„Е О(А), и аа — координаты единичного вектора и~ , удовлетворя(еа) (Х) юп(его СЛАУ (6.128) при Л = Л,„' .
Отметим, что в частном (ч) случае В =1, где 1 — тождественный оператор в ее, числа (ч) Л, т = 1, Х, являются собственными значениями симметрической матрицы А с элементами (Аиа, мь), )е, и = 1, Ю, и служат 'Сиз Гааяраи М.Ь'. 360 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ (А'и, и) (Аи, и) ( ', ие Р(А'. (В'и, и) (Ви, и)' (6.129) В-этом случае, согласно теореме 5.6 и замечанию 5.5, имеем Л', < Л~. Ясно, что аналогичный прием можно использовать с целью получения для Л~ оценки сверху.
Для этого необходимо располагать собственным значением Л" ,операторного уравнения Аки = ЛаВаи, где А" — симметрический оператор, для которого Р(А") э Р(А), а В" -- положительно определенный оператор с областью определения Р(В") С Р(В), причем Р(А") С Р(В") и >, и Е Р(А). (6.130) (А"и, и) (Ам, и) Тогда, согласно замечанию 5.5 и теореме 5.6, получим, что Пример 6.11. Из условия равновесия шарнирно опертого упругого стержня длиной 1, сжатого вдоль оси Ох силой приближением к собственным значениям симметрического оператора А (ХУ].
При этом и~„будет единичным собственным (м) вектором матрицы А, отвечающим ее собственному значению Л 1м) Таким образом, из решения уравнения 4е) 0 = 0 можно получить значения Л, т = 1, )ц, дающие оценки сверху для соб- 1Ф) ственных значений Л„, уравнения (6.126). В ряде прикладных задач не менее важным является получение для Л оценок снизу (в частности, для выяснения возможной погрешности приближенного решения вариационной задачи [ХУ)). Такую оценку для Л~ несложно получить, если известно или легко вычисляемо собственное значение Л', операторного уравнения А'и = Л'В'и, где А' — симметрический оператор с областью определения Р(А') С Р(А), В' — положительно определенный оператор, для которого Р(В') Э Р(В), причем 361 бчи Задачи на собственные гначеиив Рис.
6.5 Р (рис. 6.5), следует обыкновенное дифференциальное уравне- ние (ОЛУ) Е1,(х) +Ри(х)=0, х б (0,1), е( и(х) (6.131) с граничными условиями и(0) = и(1) = О, где Š— модуль упрут 4 гости материала стержня; 1„(х) = -г4(х) — момент инерции кругового поперечного сечения стержня с зависящим от координаты х радиусом г(х); и(х) — отклонение точек оси стержня от оси Ох (при отсутствии силы Р ось стрежня совпадает с осью Ох). Г в р1г Примем г(х) = а~1+ — и, обозначив С = — и Л = —, от иЕаг (6.131) перейдем к краевой задаче е(г~(с) 4~(с) ,(чег (1+че)г ' ч ( ) (6.132) и(0) = и(1) = 0 для однородного ОДУ с однородными граничными условиями.
Пусть А = — — и Ви = ог 4и наг (1+ че)г > О. Оператор А является положительно определенным на линейном многообразии 1З(А) дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке (О, 1) функций, обращающихся на концах этого отрезка в нуль (см. пример 5.10). Оператор В также положительно определенный, но на множестве 1З(В) функций, непрерывных на отрезке (О, 1], поскольку (Ви, и) =4 е )~ >'йи()г. Такимобразом, В(А) С 0(В), (4+0' и задача (6.132) является задачей на собственные значения операторного уравнения (6.126).
362 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ При заданных граничных условиях наряду с тривиальным решением и(~) = О, С б (О, 1], краевая задача (6.132) может иметь решения и„(() ф О, соответствующие собственным значениям Л„, В данном случае важно оценить наименьшее собственное значение Л1, пропорциональное наименьшей сжимающей силе, вызывающей потерю устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня. Для оценки значения Л1 сверху используем функцию й(С) = =с(1 — с), дважды непрерывно дифференцируемую на отрезке (О, 1) и удовлетворяющую граничным условиям и(0) = и(1) = О, и вычислим ! г (! 0 25 36!п2 о Тогда, согласно теореме 5.6, получим (Ай, й) 1 (Вй, й) 4(25 — 36!п2) (6.133) Оценку снизу значения Л1 можно получить, если рассмотреть стержень с круговым поперечным сечением постоянного радиуса В' = а < г(х).
Для такого стержня вместо задачи (6.132) имеем 1!зи(~) — 4Ли(с) = О, С ~ (О, !); (6.! 34) и(0) = и(1) = О. Несложно проверить, что собственными функциями задачи (6.134) будут и„(х) = я!п11кС. Этим функциям соответствуют бзь Задачи на собственные значении собственные значения (пп)з д' =— о 4 (6.135) 2 причем наименьшее нз них (при и = 1) равно А' = — 2,4674 и соответствует значению эйдеровой (или первой критической) А(хЕа 1с Еа силы Р„р — - ', — — —, (Ъ'НЦ, вызывающей потерю устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня с постоянным круговым поперечным сечением (задача нахождения этой силы была впервые рассмотрена Л.,эйлером в 1744 году).
ле Из сравнения (6.134) с (6.132) следует, что А' = А = —— 44т и В' = 4 > О, причем (А'и, и) = (Аи, и) и (В'и, и) > (Ви, и) для любого элемента и Е В(А), т.е. выполнено неравенство (6.129). Тогда с учетом (6.133) получаем двустороннюю оценку 1 5,3532. 4 4(25 — 36!п 2) (6.136) Оценка (6.136) является довольно грубой, поскольку верхняя граница превышает нижнюю более чем в два раза. Отметим, что для стержня с круговым поперечным сечением постоянного радиуса Вн= ~/2а > г(х) получим Ан = А = — —, и Вн = 1 > О, причем (Ани, и) = (Аи, и) и (Вни, и) < (Ви, и), и Е В(А), т.е. будет выполнено неравенство (6.130). Но для такого стержня Л~~' — — пз = 9,8696, что почти в два раза выше верхней границы в (6.136). ф Для улучшения верхней границы собственных значений следует увеличивать число Ж базисных функций при приближенном представлении собственных функций (см.
замечание 6.2). Покажем, как можно улучшить нижнюю оценку. Сначала рассмотрим случай, когда оператор В в (6.126) является тождественным, т.е. В = 7. 364 б, ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Теорема 6.8. Пусть А — симметрический неотрицательный оператор с областью определеннл Р(А) С Н в гильбертово.н пространстве Н и для некоторого о > 0 отрезок (О, о) не содержит точек спектра этого оператора. Тогда оператор А, = А — о1 является пологдентельным, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
