XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Сформулируем некоторые требования к этим функциям, предполагая, что ищется приближенное решение вида и йн = ~~> а„и„. (6.147) 1. Конечная система (и„)у используемых функций должна быть линейно независимой. Тогда такая система функций 372 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ образует базис в Х-мерном подпространстве У,ч С Я, которое является линейной оболочкой этой системы, а йк Е Нк. 2. Для сходимости приближенного решения йк Е Нк к слабому решению и. Е 'Н уравнения Аи = у можно потребовать, чтобы система (м„)к используемых функций входила в систему (и„), являющуюся ортонормированным (или ортогональным) базисом в Я.
Для того чтобы гарантировать, что норма невлэки операторного уравнения при Ж вЂ” + оо стремится к нулю, можно потребовать выполнения некоторых дополнительных условий. 3. Базисные функции и„должны принадлежать области определения 77(Л) оператора А, так как для нахождения коэффициентов а„в (6.147) необходимо предварительно вычислить значения (Аи„, иь), где оы й = 1, ю, — проекционные 1йункции, а это возможно лишь при выполнении сформулированного требования. Перейдем к обсуждению перечисленных требований. Необходимость выполнения условия линейной независимости конечной системы (и„)у выбранных базисных функций очевидна.
При нарушении этого условия матрица СЛАУ (6.80) будет вырожденной. Однако даже если базисные функции линейно независимы, увеличение их количества 1Ч, преследующее цель уменьшить погрешность приближенного решения (6.147), может привести из-за возрастания порядка СЛАУ к росту вычислительной погрешности. Например, если с увеличением Ч эти функции становятся все более близкими (т.е. нормы их разностей уменьшаются), то увеличивается число обусловленности матрицы и растет чувствительность решения СЛАУ к погрешностям в коэффициентах и правых частях уравнений СЛАУ [1Ч). Поэтому при ограниченном числе Ж выбор этих функций связан с проблемой минимизации возникающей погрешности.
Так, если в случае линейной задачи в качестве одной из базисных функций использовать какое-либо частное решение этой задачи, то его дополнение до полного решения бЛО. Особенности выбора базисных функинй 373 может быть достаточно точно аппроксимировано меньшим числом базисных функций. Выбор в качестве базисных функций элементов ортонормнрованного (или ортогонального) базиса в Н гарантирует сходимость при Ю вЂ” ~ оо приближенного решения, полученного при помощи метода ортогональных проекций. При использовании метода наименьших квадратов условия сходимости устанавливает теорема 6.7.
Одно из этих условий требует, чтобы функции и„принадлежали счетному базису в Н. В этом случае норма невязки операторного уравнения при М -+ со стремится к нулю. Если используются методы Бубнова — Галеркииа и Ритва, то, согласно замечанию 6.1, для стремления к нулю невязки операторного уравнения необходимо, чтобы функции и„были собственными эяеменгнами положительно определенного оператора А, хотя для сходимости приближенного решения достаточно принадлежности этих функций базису в энергетичесйом пространстве Ня, ортонормированному относительно энергетического скалярного произведения.
В более общем виде условия сходимости приближенного решения сформулированы в рамках проекционного метода (см. Д.6.1), частным случаем которого является метод ортогональных проекций. Однако при приближенном решении прикладных задач базисные функции не всегда удается выбрать так, чтобы они были элементами ортонормированного (или ортогонального) базиса в 'Н или Нл. Тогда можно ограничиться более слабым требованием, чтобы функции и„принадлежали некоторому счетному базису. Напомним, что система (ин) является базисом в гильбертовом пространстве лишь в том случае, если она является замкнутой в этом пространстве (1Х].
При приближенном решении уравнения Аи = у с положительно определенным оператором А методами Бубнова — Галеркина или Ритца требование выбора базисных функций из области Р(А) определения этого оператора можно ослабить. Дело в том, что в общем случае речь идет о поиске слабого ре- 374 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ шенил и. Е Ял этого уравнения в энергетическом пространстве Ял, так что, вообще говоря, и, у Р(А). Но тогда функции и„ в (6.147) можно выбирать не только из Р(А), но и из 'Нл. Пример 6.13.
Рассмотрим краевую задачу — (р(х) и'(х)) +д(х) и(х) = 1(х), х Е (0,1); (6.148) и(0) = и(1) = О. Пусть 0 < ро < р(х) < р, )р'(х)( < р) и 0 < д(х) < (1 при любых х Е (О, 1), ре, р, р„д — положительные константы. Оператор Штурма — - Лиувиллл А, вводимый равенством Аи = — (ри')'+ + да, определен на множестве Р(А) дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке [0,1] функций, обращающихся в нуль на концах этого отрезка. Это множество является линейным многообразием гильбертова пространства Аз[0,1) функций, суммирусмых с квадратом на отрезке [О, 1). На множестве Р(А) оператор А положительно определенный (см.
пример 5.10), но краевая задача (6А48) не будет иметь классического решения в классе функций из Р(А), если функция 7(х) не принадлежит области В(А) значений этого оператора (например, имеет в интервале (О, 1) точки разрыва). Для нахождения слабого решения операторного уравнения Аи = = 7" необходимо пополнить множество Р(А).
Пополнение Ял этого множества можно построить по энергетической норме '0 ([л, индуцированной энергетическим скалярным произведением, определяемым для функций и,и Е Р(А) равенством Отсюда, интегрируя по частям, с учетом граничных условий находим 375 б.)о. Особенности вмбооа базисных функций В результате для энергетической нормы с учетом (5.95) и оценок функций р(х) и д(х) получим У Оператор В = — — также положительно определен на множит жестве Р(А) (см. пример 5.10). Это множество, согласно теореме 4.23, всюду плотно в энергетическом пространстве Нв, которое является пополнением множества Р(А) по норме (( ((в, индуцированной энергетическим скалярным произведением, которое для функций и, и й Р(А) определяется соотношением Отсюда интегрированием по частям с учетом граничных усло- вий получим (и, и)в = и)(х) " (х) "* !!и)(в = (и'(х)) (1х.
(6.150) Функции и„(х) =б1п птх, х Е '10, 1], и Е И, являются собственными элементами оператора В (см. пример 4.20) и образуют в Р(А) ортогональный базис [1Х). Поэтому система этих функций является замкнутой в Р(А), а значит, и в Нв, по~кольку множество Р(А) является всюду плотным в Нв (см. определение 4.11 и теорему 4.23). Но из (6.149), (6.150) и оценок для функции р(х) следует, что 376 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ А НАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Следовательно, Ял состоит из тех же элементов, что и г1Б, так что система функций и„(х) является замкнутой и в 'Нл.
Систему функций и„(х) = яп пхх, п Е 1Ч1, можно ортонормировать на отрезке [О, 1], но их использование в качестве базисных функций прн приближенном решении краевой задачи (6.148) методами Бубнова — Галеркина нли Ритца не обесп~" чнт стремления к нулю при Х -+ со невязки в соответствуюшем операторном уравнении Аи = ~.
Дело в том, что этн функции, будучи собственными элементами оператора В, не являются собственными элементами оператора А (см. замечание 6.1). Для дифференциального оператора А условие и„Е 0(А). и = 1, Х, учитываемое при выборе базисных функций в (6.79), означает, что функции и„ должны удовлетворять не только требованиям днфференцируемости, но и граничным условиям на поверхности В, ограничивающей область $~ решаемой задачи. Напомним, что в основе большинства дифференциальных уравнений математической физики лежат локальные формы законов сохранения физических субстанций (см.
2), которые для процессов, не зависяшнх от времени, можно представить в виде Аи = -'17(А1и)+ Вги= 1, ЛЭ(А) С Н(А) С К, (6.151) где и б Р(А) и 1 6 Н(А) — искомая и заданная функции пространственных координат, а А~ и В1 — линейные дифференциальные операторы, относительно которых предполагаем, что порядок производных по пространственным координатам в В, не выше, чем в А1 (тогда порядок производных в А на единицу выше, чем в А1). Ясно, что Агв в данном случае будет векторной функцией (часто градиентом искомой функции и). Выбрав в качестве проекционных функции оь Е Ьг(Ь ), Й е б М, образующие в гильбертовом пространстве Ьг(Ъ') счетный базис, согласно теореме 5.1, вместо (6.151) можем записать (Аи, оь) = (Т", оь), х = 1, Ж, или (-~~А )+О )инГ=1'УеиУ, Йеи.
(6.15х 377 6. !О. Особенностн выбора базисных функций Равенства (6.152) вместе с краевыми условиями составляют интпеаральную формулировку задачи, описываемую операторным уравнением (6.151). Пусть приближенное решение уравнения (6.151) определяется методом ортогональных проекций в виде !!ы = ~ а„и„. (6.153) Тогда, подставив (6.153) в левую часть (6.152), получим урав- нение, левая часть которого представлена в виде линейной ком- бинации Ж слагаемых (Аи„, пь) = (-~(А!и„) + В!и„)пьат~, й, и = 1, Ж, (6.154) с неизвестными козффициентами а„. В результате получим СЛАУ !ч а„(Аи„, пь) = (~, пь), к = 1, М, (6.155) относительно неизвестных коэффициентов а„, и = 1, 1У.
Если и„6 В(А), то в соответствии с первой формулой Грина вместо (6.154) при 1с, п = 1, )У получим (Аи„, пь) = пь И! и„ЫУ+ + (А! и„) !7пь НЪ' — пь (А ! и„) и !1Я, (6.156) где и — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5. Из (6.156) следует, что требования к дифференцируемости базисных функций и„можно было бы частично переложить на проекционные функции пы т.е. выбрать в (6.153) и„Е В! = = В(А!) 0 В(Н!), п = 1, Д!, непрерывно продолжив при зтом 378 6.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ оператор А на В1 С Еэ(У), а от функций оь потребовать непрерывной дифференцируемости в Ъ'. Действительно, пусть необходимые условия дифференцируемости, определяющие принадлежность и„6 В(А), и = 1, Ю, нарушены в точках Р' 6 5' некоторой поверхности Е, разделяющей область Ъ' на две подобласти Ъ~ и Уэ (У = У~ О Уэ 115*), но выполнены в каждой иэ этих подобластей. Тогда вместо (6.156) получим (Аи„, еь) = еьВ1идУ+ (А1и )ЧоьйУ+ Ъ'1 + (А, и„) чУеь е1У вЂ” еь(А, и„) па†— /~(А ) ' — (А, „)л')ъЫ, (б.157) (А1и„)17еьйl+ (А1и„)ч7еьйУ = (А1и„)~уеьН~, т.е. при и„Е В(А1) (6.157) равносильно (6.156).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
