XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 46
Текст из файла (страница 46)
162я 10» 1 Отсюда сначала находим аз = О, а затем аг —— — и аз = 243 я 6832«г, Максимальный безразмерный прогиб балки 10 1 239 "з=аг — аЗ= — — — = = 0,01305, 243я 5832я 5832я что всего на 0,23% отличает6я от его точного значения и". Таким образом, применение метода коллокации по подобластям к решению одной и той же задачи о прогибе балки, но описываемой ОДУ различных порядков, дает более точный результат в случае уравнения более низкого порядка.
334 б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Перейдем к рассмотрению другого пути построения приближенного решения операторного уравнения Ак = у. Коэффициенты а„ в представлении (6.79) будем искать нз условия равенства нулевому элементу 0 невязка Аи — у этого операторного уравнения в заданной системе тт' точек хь Е т', Й = 1, тт'. Тогда вместо (6.82) получим СЛАУ М а„Аи„(хь) = ~(хь), й = 1, Ж. (6.90) Такую процедуру поиска приближенного решения уравнения Аи = у называют метподом кояяокатлии в тпочках, а точки хь Е 'т' — тпоиками кояяокации. Пример 6.6. Применим метод коллокации в точках к решению краевой задачи (6.84).
При М = 1, приняв как и в примере 6.5 ит(С) = ат я1п«С, для точки ~т — — 1/2 в середине отрезка [О, 1] вместо (6,90) запишем ,14я,п «~) ат =1, ~(= 72 нлн а,тг4 = 1, т.е. ат — — — в 0,01027. В этом случае макси- 1 мзльный безразмерный прогиб и* = а~ балки примерно на 20% ниже его точного значения и* в (6,87). Отметим, что результат весьма чувствителен к выбору точки коллокации. Так, выбрав Ст = —, получим и," = —, в 0,01452, а при ~т — — — полу~/2 чим и7 — — в 0,02053. Ясно, что существует точка ст Е (О, 1), обеспечивающая совпадение значения и*, с и", однако ее можно найти, лишь зная заранее значение и*. Но и в этом случае приближенное решение ит (() не будет совпадать на отрезке (О, 1) с точным решением (6.86). Нетрудно проверить, что при Ф = 2 и симметрично расположенных на отрезке (О, 1) точках коллокации Ст = $ и Сз — 1 — 1 в приближенном решении из(С) = ат ып«~+ аза(п 2«С всегда аз — — 0 335 б.б.
Коллоиаиии в подобластях и в точках 1 1 2 2 и а« = .. Так, при С« = — и Сг = — имеем а« =— лаппо 3 3 «/Зхг 0,01185. В случае Х = 3 функция из(С) имеет вид (6.88) и при выборе равномерно расположенных на отрезке [О, 1) точек коллокации 11 = 4, 42 = г н 43 = —, используя (6.90), приходим к СЛАУ 1 1 3 а1 81аз 1 — + 16аг+ — = —, ~/2 /2 «г4 1 ૠ— 81аз =— 41 а« 81 аз 1 — — 1баг+ — = —, 1/2 /2 «г4 г из которой находим а« = —, аг = 0 и аз — — .
Прибли,/г+1 ,/г — 1 гхг 1б2«гс женное значение максимального безразмерного прогиба балки равно 1/2+ 1 ~/2 — 1 401/2+ 41 из — — ૠ— аз— 4 — 4 0,01237, 2«г4 162«г4 81«г4 что на 5% меньше его точного значения и' в (6.87). Применим теперь метод коллокации в точках к решению ОДУ (6.85) второго порядка. Используя при А! = 1 приближенное решение в виде й« (4) = а« я!и «г4 и точку коллокации С1 — — 1/2, в соответствии с (6.90) запишем а,а,""'/ =-,'«г*-г«, „, Отсюда -«ггૠ— — --, или а«у —, = 0,01267. В зтом прибли- 1 — 1 женин максимальный безразмерный прогиб и« 0,01267 балки лишь на 2,7% ниже его точного значения и* в (6.87).
При Ж = 2 ситуация аналогична рассмотренной выше. В частности, при равномерно расположенных на отрезке [О, 1] точках коллокации с« —— 1/3 и Сг со 2/3 имеем аг — — 0 и а« = й~ = = 0,01300. вх/зх« 336 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ аг 9аз — + 4аг+— ~/2 ~/2 1 аг — 9аз = —, 8лг ' аг 9аз — — 4аг+— ~/2 ~/2 3 32лг' 3 32лг З~/2+ 4 Отсюда находим сначала аг = О, а затем аг = б4лг и аз= . Вычисляя максимальный безразмерный прогиб балки ЗЛ вЂ” 4 57блг 3~/2+ 4 3~/2 — 4 3~/2+ 5 64лг 576лг 72лг устанавливаем, что он менее чем на 0,1% отличается от точного значения й в (6.87). Итак, применение метода коллокации по точкам дало лучшие результаты (как и в примере 6.5) при описании прогиба балки при помощи ОДУ более низкого порядка.
Пример 6.7. Рассмотрим применение метода коллокации для решения уравнений в частных производных. Остановимся на сравнительно простом примере линейной одномерной задачи нестационарной теплопроводности в пластине толщиной Ь. Пусть зависимость температуры Т(1,х) от времени 1 и координаты х удовлетворяет уравнению теплопроводности дТ дгТ вЂ” =а —, г>О, хб(О,Ц, (6.91) с начальным условием Т(О,х) = Те цри г = 0 и граничными условиями — =О, Т(1,6) =Т*, дТ (6,92) дх *=0 Используя при Аг = 3 (6.90) и (6.89) и принимая сг = 1/4, ~г = 1/2 и Сз — — 3/4, получаем СЛАУ 337 6.6.Коллокациц в цодоблаотлх в в точках где а — коэффициент температуропроводности материала пластины, а Т' — заданная температура поверхности пластины при х = а. Отметим, что первое условие в (6.92) по физическому смыслу означает идеальную тепловую изоляцию поверхности пластины при х = О.
Приближенное решение задачи будем искать в виде Т(Х,х) = Т' — В(Х)(1 — ( — ) ), (6.93) о о И г 2х~ 2а аР(1) 2а + 1 аВ(1) — ( — — ) Нх = — — — — В(1) = О. Их( ат ) 3 а1 а о В результате приходим к однородному ОДУ ИВ(1) За а1 Ьз (6.94) решение которого имеет вид В(г) = В(0) ехр( — 3 — ) = В(0) ехр( — ЗГо), (6.95) а1 а1 л где го = — — число Фурье, имеющее смысл безразмерного у времени, а В(0) — пока неизвестное начальное значение функции В(1). Отметим, что в данном случае осреднение (6.91) по толщине пластины соответствует выполнению закона сохранения удовлетворяющем (6.92). Неизвестную функцию В(1) сначала найдем приближенно методом коллокации в подобластях, положив Ж = 1. Для этого после подстановки (6.93) в (6.91) проведем осреднение по всей толщине пластины: 338 и.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ тепловой энергии для этой пластины. Поэтому применительно к задачам теплопроводности метод коллокацин в подобластях при ге' = 1 иногда называют интегральным методом теплового баланса. Для нахождения значения ЩО) в (6.95) можно потребовать, чтобы распределение Т(1,х) (6.93) температуры при 1 = 0 удовлетворяло в среднем по толщине пластины начальному условию: л л в(о) д — Т(0, х) г1х = Т вЂ” (1 — — 1 г1х = Т' — -В(0) = То. Отсюда 0(0) = -(Т' — То) и в итоге, подставляя (6.95) в (6.93), 2 получаем приближенное решение Т(1, х) = Т* — — (Т' — То) ( 1 — — ) ехр( — Зго). 2 ~ йз Введем новую функцию где с = „—, и представим полученное приближенное решение в безразмерной форме: ~я Йг(го,с) = 3 — ехр( — Зго), ~ Е [0> 1).
(6.96) 2 Известно точное решение Т(1,х) рассматриваемой задачи. Это решение в безразмерной форме имеет вид' Т* — Т(1, х) Т' — Т 4 е ( — 1)гг'+г 2т — 1 ~ (2т — 1)зкз сон к~ехр~- Го~. (6.97) к 2т — 1 2 4 егмг 'См., например: Заркбим В.С., 1983. 339 б.б. Коллокапви в подобяаотвх и в точках Таблица 6.! Приближенное решение 91(Ро,6) Точное решение Го 9(Ро,б) (6.97) (6.100), (6,101) (6.125) (6.98), 51 -— 6; (6.96) 5=6( В табл.
6.1 приведены результаты расчета (с точностью до трех знаков после запятой) значений функций с1!(го,с) и хт(Го,с) при С = О по формулам (6.96) и (6.97) для различных значений Ео. Сравнение этих результатов показывает, что приближение (6.96) является довольно грубым, особенно при малых значениях Го (при Го < 0,1 результаты расчета по формуле (6.96) противоречат физическому смыслу задачи).
Погрешность приближенного решения можно уменьшить вдвое, если значение Р(0) в (6.95) найти, исходя из условия, что среднеквадратичное отклонение ЬВ= — Г(Т(О,х) — То) Их й/ о распределения температуры в момент времени ! = О от заданного начального значения То достигает ~иинимума. Вычислим 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,80 1,00 1,50 2,00 1,000 1,000 0,999 0,992 0,975 0,949 0,772 0,609 0,474 0,371 0,290 0,177 0,108 0,032 0,009 1,000 0,995 0,954 0,897 0,842 0,792 0,605 0,471 0,368 0,287 0,225 О,! 37 0,084 0,024 0,007 1,500 1,413 1,330 1,253 1,180 1,111 0,823 0,610 0,452 0,337 0,248 О,! 36 0,075 0,017 0,004 1,234 1,175 1,118 1,063 1,013 0,964 0,753 0,588 0,460 0,359 0,281 0,171 0,105 0,031 0,009 1,000 0,952 0,906 0,862 0,821 0,78! 0,610 0,477 0,373 0,291 0,228 0,139 0,085 0,025 0,007 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,951 0,705 0,522 0,387 0,288 0,212 0,116 0,064 0,015 0,003 1,250 1, 189 1,131 1,076 1,023 0,974 0,758 0,590 0,460 0,358 0,279 0,169 0,103 0,029 0,008 340 6.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ А НАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ это отклонение, используя представление (6.93) распределения температуры: Л ~г 1 Г/ .г ЬВ = — Т вЂ” Тд — Р(0) (1 — — ) Их = = (Т' — То) — 4 Р(0) + —.Р (О). г Т" — То 8 г 3 15 Из условия — = 0 получим Р(0) = -(Т вЂ” То). Однако и в дьй а ЙР(0) 4 этом случае большое отличие коэффициента 3 при числе Фурье в отрицательном показателе экспоненты приближенного решет' ння (6.96) от соответствующего коэффициента — 2,4674 в 4 первом слагаемом точного решения (6.97) приводит к значительной погрешности. Теперь для нахождения функции Р(1) в приближенном представлении Т(1, х) (6.93) распределения температуры используем метод коллокации в точках. Потребуем, чтобы оно удовлетворяло уравнению (6.91) и начальному условию в одной точке коллокации с координатой х1 Е [О, Ь).
Тогда, подставляя (6.93) в (6.91) и полагая х = хы получаем однородное ОДУ (1 — —,') — + —,Р(1) = 0. хг пР(1) 2а Отсюда аг Го Р(1) = Р(0) ехр — 2 — ", = .Р(0) ехр — 2 —, Х1 1 йг ьг Начальное значение Р(0) находим, используя (6.93) при 8 = О, из условия Т(0,х1) = То.' Та — Т вЂ” Р(0) (1 — —., или Р(0) = Т' — Т 1- (")' б.б, Коллокапви в подобластях и в точках В итоге получаем О~(ро,~) = — зехр( — 2 — ), 61 — — —. (6.98) 1 — с,' ( 1 — ~~~!' Ь Ясно, что лучшие результаты (6.98) даст при расчете изменения температуры во времени в точке коллокации, т.е. при С = С1.
Если значение С1 выбрать из условия равенства показателей экспонент в (6.98) и в первом слагаемом точного решения (6.97), то получим с,* = ф — —, = 0,4352, что приводит к удовлетворительным результатам расчета по этим формулам прн го > 0,1 не только в точке с = с;, но и на поверхности пластины при с = 0 (см. табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
