XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Тогда краевая задача (6.56) — (6.58) будет и (2)Н эквивалентна следующей краевой задаче для функции Т(р,~). Уравнение (6.56) примет вид с' д Р дТ дзТ вЂ” — Р— + — =-с Ю> (6.59) .др~ др) ж' условие (6.57) — Т(1,~) = Ти, а вместо (6.58) получим ("ар) — — — ) ~ дТ дТ дР д1", Р (, =2>,~Г.-Г~),~~рРГ;~р~ И>2) 1=>1 (Р) дТ дТх — е'У'(Р) — —— др д1, =22>т.— т~~ 1>>>Р*Ч;~р~, И.и~ >2 6.4.
Общий случай метода малого параметра 319 гдето(р) = ', Яр) = ' и В11= — ', В12= — '. Отмезе((ЙР) зез(КР) . а(Н . азН аН тим, что безразмерныи параметр В1 = — является отношением Н термического сопротивления — пластины толщиной Н выпол- Л 1 пенной из материала линзы, к термическому сопротивлению— а теплообмена с окружающей средой". В данном случае (6.59) соответствует операторному уравнению В(6)Т = ~(6), где )(6) = -62Я и В: Сз(У) -> С(У), причем В = (Во+62В2) Е Е(С (У), С(У)), где д2 1д д в,= — „в,=- — (р — ).
дС ' р др др Для тонкой линзы параметр 6 = ~ — ) << 1 т.е. является ма~я) лым. Поэтому в (6.60), (6.61) примем ((1~~ФИ 1+- 'Л'(И--~'Л''о(, (6.62( у(1+ Чуз(='+- 'А''о( — ~'Л'О( (6Ф Решим сначала задачу (6.59)-(6.61), не принимая во внимание граничное условие на поверхности 5и. Распределение температуры с учетом вида функций В(6) и 7"(6) будем искать в виде Т(р,~) = 6~Т~(~,~) +6~Т (~,() +..., (6.64) считая, что числа Био В)1 и В12 имеют порядок единицы. Подставляя (6,64) в (6.59) и учитывая приближенные равенства (6.62) и (6.63) в уравнениях (6.60) и (6.61), после приравнивания нулю выражений при каждой степени параметра 6 получим 'Этот параметр называют числом Био в честь французского физика Ж.Б.
Био (1774-1662). 320 6. ПРИБЛИ>КЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ последовательно решаемую совокупность краевых задач отно- сительно функций То(р,~), Т1(р,1,) и т.д. Так, для нахождения первой из этих функций имеем уравнение (6.65) с граничными условиями — = В1з(т — То) (6.66) д~ дТо — — = в1,(т.-т.), д~ при ~ = ~1(р) и 1, = яр) соответственно. Функция Т1(Р,С) должна удовлетворять уравнению дт 1д дт — =- — ( — ) д~з р др др и граничным условиям дТ1 .
— — дТо В11 —,г — — +в1,т,=-рр) — — — )," (р)т,, д1 ' др 2 дт1 . ~ дто В12 уз — +В',т, = 9Д вЂ” — —.1з (Р)т, д~ др 2 при ~ = у1(р) и ~ = )з(р) соответственно. Дважды интегрируя уравнение (6.65), получаем те(р,д = -~ С'+С,(Р)С+С.(Р). (6.67) 1 ЛВ1з+ ЬВ11+ -В11В1з(Д вЂ” Л') С (Р) — Я В11+ В1 з + В11В1з (1з —,11) Подстановка этого представления в граничные условия (6.66) приводит к системе алгебраических уравнений относительно функций С1(р) и Сз(р).
Решая систему, находим бак Общий случай метода малого параметра 321 1 -В! ! В!2 (~2 — ~! ) — В! ! — В!2 СО(Р) = ЯЛ32 — — + В!! + В!2+ В11В!за — 2г!) У2 — Л + Б(В! У2+ В! 72) я 2 В!! + В12 + В!! В!2(~2 — )!) н(ОД+ т(1,д = Т„. (6.68) Решение и((,~) будем опять искать в виде йф~) = б~йеф~) +б~й1ф~) +..., (6.69) причем иа((',!,) -+ 0 при С -+со для и = 0,1,2, ..., и в соответ- ствии с (6.64) и (6.68) ие(О,~) = Ти — Те(1,!,), и!(О,!,) = — Т!(1,!,) и т.д. Кроме того, функция и(С,!,) должна удовлетворять од- нородному уравнению !92и л Ои Озн — + — — + — =О, аР 1 — ~ аб аС2 (6.70) В этих формулах у функций ~! и !2 опущен аргумент р. Далее можно перейти к нахождению функции Т!(р,1,) и т.д.
Подчеркнем, что функции Те(р,!,), Т!(р,!,), ... найдены без учета граничного условия на поверхности Я!ч. Поэтому и решение Т(р,л,) в виде (6.64) не обязательно удовлетворяет этому условию. Найдем теперь решение Т(р,!,) краевой задачи для однородного уравнения, соответствующего (6.59), и однородных граничных условий, соответствукнцнх (6.60), (6.61), но потребуем, чтобы было выполнено условие Т(1, !,) + Т(1,!",) = Тн на поверхности 5!ч. При решении этой задачи используем безразмерные координаты С = — ~ н !",. Тогда решение иф!",) = Т(1 — сС,!,) на поверхности Яи должно удовлетворять равенству 322 о. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ которое соответствует неоднородному уравнению (6.59) после 1 — р замены С = —, и однородным граничным условиям ди ди г '1 (4) — — — + В11и 1+ его'1г(С) = 0 (6 71) дс д1, ди ди — Д(~) — + — + Вгги 1+ сг~'г(Р) = 0 (6.72) при ~ = 71 ф) = К (1 — ес) и ~ = г г (с) = гг (1 — ес) соответственно, которые следуют из условий (6.60), (6.61) после указанной замены.
Если подставить (6.69) в (6.70), то, приравнивая нулю выражения при каждой степени параметра с, для нахождения функции ио(~,~) получим уравнение Лапласа дгио дг — + — =О. д~г д~г (6.73) Введение безразмерной координаты с привело к растяжению области, прилегающей к поверхности дн, в направлении изменения этой координаты. Поэтому зту область можно приближенно представить полубесконечной полосой, заданной нера- венствами 0 < 4 < оо 71 (О) < ь < Уг(0) и (6.73) рассматривать в такой полосе. Тогда, подставляя разложение (6.69) в уравнения (6.71) и (6.72), а затем приравнивая нулю выражение при е~, можно положить 71,(С) = У'(С) = 0 и для функции иоф,~) получить однородные граничные условия дио . диа — — + В11ио = О, — + В!ги = 0 (6,74) д~ ' д~ при ~ = 71(0) и ~ = 7г(0) соответственно. Краевая задача для (6,73) с граничными условиями (6.74) ио(0 0 = 711 — 2а(1 ь) 323 В.о.
Метод ортогонахьных проекций и ио((,(') -+ 0 при С -» со может быть решена методом Фурье (разделения переменных) [Х1Ц или при помощи интегрального преобразования либо на отрезке [7, (0), 7э(0)), либо в полуограниченном промежутке [О, оо) [Х1). Формулировки краевых задач для нахождения функций и„(с, ~), п б 1ч, входящих в правую часть (6.69), являются более громоздкими, но решение этих задач можно получить теми же методами. В итоге, согласно принципу суперпозиции решений [ХП], функция Т(р, с) = Т(р, ~) + Т(р, ~) = Т(р, () + и( —, с) будет решением исходной краевой задачи (6.56)-(6.58). 6.$.
Метод ортогональных проекций Пусть искомая функция и удовлетворяет операторному уравнению Ам=у, (6.75) где А — линейный непрерывный оператор, области определения Р(А) и значений Л(А) которого являются всюду плотными подмножествами гильбертова пространства Я со скалярным произведением (., ).
Если перенести заданный элемент у в левую часть этого уравнения, то получим равенство Аи — у=О, где Π— нулевой элемент в Н. Выберем в Я счетный базис (ил~. Тогда это равенство, согласно теореме 5.1, можно заменить системой эквивалентных равенств (Аи — у, иь) = О, и б 1ч, (6.76) Пусть последовательность (и„1 образует в Р(А) счетный базис. Тогда в соответствии с (4.52) искомый элемент и б Р(А) 324 В.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ можно единственным образом представить в виде и = ~! а„и„а„Е К, и„б Р(А). ч=! (6.77) (Х~ !ч (А, ~)=(АЕ, „)=!А В ! ', „)= !ч-~оо ' — ~ ч=! л! !ч 1пп ~! а„Аи„, оь~ = 1пп 7 а„(Аи„, ол) = !!ч-~со / !ч-+со ч=! ч=! = ~а„(Аи„, оь) = (у, ол), к б М.
Таким образом, система равенств (6.76) равносильна системе а„(Аи„, оь) = (у, ол), к Е К, (6.78) представляющей собой бесконечную систему линейных алге- браических уравнений относительно коордаиап! а„алеменп!а и в базисе (и„). Если в (6.77) ограничиться первыми А! эле- ментами и„счетного базиса, т.е.
приближенно принять !ч и й,:ч = ~! а„и„, и„6 Р(А), (6.79) и в (6.78) ограничиться первыми А! равенствами, в которых суммирование выполняется от 1 до А!, то получим конечную систему А! линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) !ч а„(Аи„, оь) = (у, ол), /с = 1, А!, (6.80) ч=! Подставляя (6.77) в (6.76) и учитывая свойства скалярного тпроизведення и оператора А, получаем 6.5. Метод ортогональных араеканй 325 относительно Ж первых координат а„. Элементами матрицы такой системы будут скалярные произведения (Аи„, оь).
Решения СЛАУ (6.80) при различных Я есте~твенно рассматривать как приближения неизвестного решения уравнения (6.75). Если, в частности, (оь) является ортонормнрованиым базисом в Я, то решению СЛАУ (6.80) соответствует решение й~ч вида (6.79) уравнения Ахи = Ук, где Ах — оператор, действующий из 57-мерного надпространства Р7е(А), совпадающего с линейной оболочкой системы (и„)к, в М-мерное подпространство Й~ч(А), совпадающее с линейной оболочкой системы (оь)у. При этом Ачи совпадает с У-й частичной суммой разложения элемента Аи по базису (ьь), а ~~я является Х-й частичной суммой ряда У= 2,(ьоь где Ь = (У оь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
