XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 43
Текст из файла (страница 43)
С учетом (6.38) имеем и( (0) = й)иь. Следовательно, иь = —, и ь1 ~ и~ "~ (0) и„Л" = ),( ) Л". и=о Следующая теорема, играющая важную роль применительно к методу малого параметра, является очевидным следствием теоремы 6.5. блк Общий случай метода малого параметра ЗОО Теорема 6.6. Если в нормированном пространстве й два степенных ряда и„Л" = ~~» т»„Л", и„, а»„6 И, (6.40) о=о равны при )Л~ < Я для некоторого числа В > О, то равны н их коэффициенты при одинаковых степенях Л, т.е. и» = т»» для любого /с. 4 Пусть Е(В, И~) — банахово пространство линейных бграиичеииыи операторов, действующих из банахова пространства В в банахово пространство И~. Отображение В: Л с ая — » с(В, И») будем называть о»»ерат»тор-фуммцмеб.
Отметим некоторые свойства оператор-функций, связанные с понятием аналитичности. 1. Если оператор-функции В» (Л), Вз(Л), Л б А, со значениями в Е(В,И») являются аналитическими в точке Ле е Л, то оператор-функция В,(Л) + Вэ(Л), Л е Л, также аналитична в этой точке. 2. Если оператор-функции В» (Л), Вя(Л), Л Е Л, со значениями в с(В,И») с(И»,В) соответственно аналитичны в точке Ло Е Л, то оп- »втор-функция В»(Л) о Вэ(Л) также аналитична в этой точке. 3.
Если оператор-функция В(Л), Л 6 Л, со значениями в с(В) аналитична в точке Ло 6 Л и йВ(Л))! < 1 в некоторой окрестности этой точки, то оператор-функция (т' — В(Л)) где 1 — тождественный оператор в В, аналитична в точке Ле. 4. Если оператор-функция В: Л С К-» с(В,И») и функция ям Л С И вЂ” » В аь литичны в точке Ло Е А, то функция В(Л)и(Л), Л 6 Л, анэли гична в этой точке. Более того, если в некоторой окрестности точки Ле справедливы разложения В(Л) =Я В»Л" и м(Л) = » и»Л», Ьмо а=о 310 в.
пРиБлиженные Аналитические метОды то в этой окрестности справедливо разложение В(Л)и(л) = '~ (Вьио+ Вь 1и1+ ...+ Воиь)Л . (6.41) ь=о Пусть задано операгпорное уравнение В(Л)и = у(Л), и Е В, Л Е яс, (6.42) причем В(Л) Е Е(В,И'), у(Л) Е И' н В, И~ — банаховы пространства. Покажем, что если В(Л) и и(л) аналитичны в точке Л = О, а оператор Во — — В(0) имеет ограниченный обратный опера1пор, то в некоторой окрестности точки Л = 0 у оператора В(Л) существует ограниченный обратный В 1(Л), являющийся аналитической оператор-функцией. При этом уравнение (6.42) имеет единственное решение и(л) = В ' (Л) у (Л), которое также является аналитической функцией в точке Л = О.
Представим оператор В(л) в виде В(Л) = Во — ( — В(Л)) = = Во'(У вЂ” Во ~ (Во — В(л))) = Во о(1 — А(Л)), (6,43) где А(Л) = Во ' о (Во — В(Л)) — оператор, отображающий В в себя и являющийся ограниченным как ко.нпозпцпл ограниченных операторов. Из аналитичности оператора В(л) в точке Л = О, согласно теореме 6.3, вытекает его непрерывность в этой точке. Поэтому существует такое число г > О, что при (Л! < г (!А(Л)(! < !!Во ~!!г'!!В(Л) — Во!(с < 1 (644) Следовательно, согласно теореме 4.18, при (Л! < г оператор 1 — А(л) имеет ограниченный обратный оператор (1 — А(л)) По тогда н у В(Л) существует ограниченный обратный оператор В 1(Л) = (1 — А(л)) | в Во '.
Так как А(Л) является аналитической в точке Л = 0 оператор-функцией, то В '(Л) также аналитическая оператор-функция в этой точке. бА. Общий случай метода малого параметра 311 и(Л) = ~~) чл»Л, и» б В. »=о (6.45) Покажем, как можно найти коэффициенты и» в (6.45), если известны представления оператор-функции В(Л) и функции у(Л) в виде степенных рядов с коэффициентами из банахова пространства,.
Пусть при )Л) < р В(Л) = У В»Л" и ~(Л) = ~> ~»Л~. (6.46) »ме »=о Тогда Н= ппп(р,г1. Подставляя (6.45) в (6.42) и учитывая (6.46), приходим при )Л( < Н к тождеству (~л,г)Е,г=Елх', »=о »=о »=о илн в соответствии с (6.41) ол 00 Л (В»во+ В» 1и~+".+ Веча»)Л~ = ~~~ у»Л~ »=о »=о Приравнивая, согласно теореме 6.6, коэффициенты при одинаковых степенях Л, получаем систему операторных уравнений Воио = Уо, ~~) В»и„» = ~„, п 6 М. (6.47) »мо Таким образом, уравнение (6.42) при ~Л) < г имеет единственное решение тл(Л) = В '(Л)у(Л). Если функция у(Л) аналитична в точке Л = О, то решение м(Л) — аналитическая в точке Л = О функция, т.е.
при )Л) < Н для некоторого Н > О в соответствии с (6.36) имеем 312 б. ЛРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Решая эти уравнения последовательно, имеем мо=В1 Уо, — 1 м! = Во ! (,~! — В!мо), из — — Во ! о ® — В!и! — Вяио), и„= Во ' '(У вЂ” В!и„-! — Вги -г — ..
— В„-!и! — В~ио), Вычислив и + 1 первых элементов иы й = О, т1, найдем и-ю частичную сумму ряда (6.45), которую можно принять за приближенное решение й(Л) = ио+ ~~ и!Л~, )Л) < В = ш1п (р, г) (6.48) !с=! уравнения (6.42). Пусть В(Л) и у(Л) в (6.42) таковы, что для коэффициентов Вя и ~~, в разложениях (6.46), начиная с некоторого номера Й >1, справедливы оценки ~Щ~!т < М!аь и ~(В10Во ')~ < М/3" !. Тогда (6.42) имеет единственное решение в виде степенного Г! 1 ряда с радиусом сходимости й > ппп ! —, 1.
Действительно, при а~Л~ = д < 1, начиная с некоторого номера Й, имеем ЩЛ ~~!т = !!Щ)мг ~Л~" < М!а" ~Л!" = Мд . Отсюда, согласно лемме 6.1, следует оценка снизу р > — для 1 радиуса сходимости степенного разложения у(Л) в (6.46). Кро- 1 ме того, если )Л~ <, а значит, и )Лф < 1, то, используя (М+д) (6.43), первое разложение (6.46) и формулу для суммы членов бле Обший случай метода малого параметра 313 убывающей прогрессии, получаем [)А(Л)[! = [[Во '(В(Л) — Во) [! ( )~Во ! о [ ~ Вьл") ~) = ь=! = ()~'в;"в,л")~ < м[л[~ ([л[11)" ' = Ьм! л=! Таким образом, при г = 1 (М+р) выполнено условие (6.44), и (6.42) имеет единственное решение, которое при [Л! ( г можно представить в виде степенного ряда (6.45) с радиусом сходи- мости Й> т!и( —, ).
(6.49) Пример 6.3. Линейное интегральное уравнение 1 Г и(~) — — / и(!) сов(~ — !+ Щ) й = ~(~), (6.50) 2н / ~ь — соя(~ — 1+ Щ) ! ол" 1л=о = (~!)" ! ~~ — !+Лб!+й-) ~ = (~!)" с ~~ — !+й-), 1Лма 2 определяемое параметром Л ~ О и функцией !' Е С[ — я,н), не зависящей от Л, рассмотрим как операторное уравнение г линейным оператором В(л): С[-н,п) — ! С[ — я,н], являющимся ограниченным для любого Л Е Ж. Так как ! не зависит от Л, то в данном случае в (6.47) !о(() = ~(~) и 1„(С) = О, и Е Ы. Найдем разложение оператор-функции В(л) в степенной ряд.
Поскольку 314 Ь. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ то получим разложение в ряд Тейлора (1Х] СО Ль соь(( — 1+Л~Г) = ~~~ (~Г)~сов(~ — г+к~) —,, Л Е Ж. Следовательно, для любого злемента и 6 С'[-и, и] имеем В(Л)и(~) =и(Р) — — / и(г)~~) (фг)ьсоь(( — г+й — ) —, г(Г. ь=о Поскольку при Г, Л Е ( — и, и] ]и(г)(~1Л)" соь(~ — г+ Ьг/2)],~ ])и]]гггь! Л]» 2(л! г и ь=о ь=о то символы суммы и интеграла можно поменять местами 1!Х]. В итоге для любого Л Е яС имеем Л" Г ь соь(~( — Г + Ьг/2) В(Л) и(~) = и(~) — ~~) — / и(г) (~9)ь, г(г, ь=о или В(Л) = 2; ВьЛ", где я=о 1 Г ВоиЯ = и(~) — — / и(г) соь(~ — 1) Й, 2гг „г' 1 Г ь соь(~ — Г + Йп/2) Вьи(ь) = — — / и(г) ®)", й, и с Ы.
Будем искать решение уравнения (6.50) в виде и(~) = ~ иь(~)Л", ~ Е '1-п, и], иь Е С(-п,гг]. (6.51) 6.4. Общий случай метода малого параметра 315 Первое уравнение в (6.47) примет вид 1 Г ио(с) — — / иоЯ совЫ вЂ” 1) Й = Г(4), (6.52) 2я,/ а для произвольного п Е Ы Так как сов(С вЂ” 1) = сов~сонг+ ып~ в1п1, равенство (6.52) можно записать в виде по (4) = Г(~) + С1 сов~+ Сч ейп ~, (6.54) где Умножнм (6.54) поочередно на сов~ и е1п~ и после интегриро- вания по ~ от -н до и найдем 1 Г 1 Г С1 —— — / Г(1) сов~с1с, Сз = — ~ ГЯ в1п1411. Таким образом, (6.54) эквивалентно уравнению (6.55) п й=о я 1 Г С1 = — / ио(1) совИ1, 2н ./ 1 Г Сз = / ио(с) Б1П с ос. 2н / 316 ц ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ т.е. (6.52) для любой функции ~ б С[ — я,п) имеет и при том единственное решение в С[-гг,я).
Поэтому существует оператор В ', обратный к оператору Во, причем для норм в С[ — гг,гг] имеем [[по[) = ОВо1Д < [Я+ — 1пах у(1) соя(( — 1)г(1 < 1 < ~Щ~+ — игах [соа(1 — 4))г4(1 — ~) < 1!Л г 4е[-л,л] -л < ОЯ+ — / [соя1)а1 < (1+ — )'ОЯ. йП Г 4 Следовательно, 'ОВо '0 < 1+ —. л При п = 1 в (6.53) имеем г 1 г гга и1® — — у и1(1) совЯ вЂ” 1)111 — — ~ поЯР1сов(~-1+ — ) й=о, 2я/ 2я,гг' 2 г' т.е.
интегральное уравнение, аналогичное (6.52). Таким образом, функция и1(~) также представима в явном виде. Подобным образом можно найти решения уравнений, получаемых из (6.53) для последующих значений и. Можно показать, что для нормы оператора Вг,, гг Е 1ч', 2 справедливо соотношение [)ВД < — п2" = 2х(яз)" 1, и поэтому 'ПВьВо ~! < (2я+8)(пз)" ', т е.
в (6 49) М = 2я+8 и р'= я2, а так как в данном случае в (6.46) ~ь = — О, гг 6 Ы, то в (6.49) о = О. Таким образом, существует и единственно решение уравнения (6.50) в виде степенного ряда (6.51), который в соответствии с (6.49) имеет радиус сходимости й > 1 ж 0,0414. ггг + 2 гг + и блп Общий случай метода малого параметра 317 1 д дТ д'Т 1® --(" — )+ — = — ' г дг дг дяг Л 16.56) Температуру на поверхности Яп примем равной Тп, т.е. гра- ничное условие на этой поверхности имеет вид Т1 г1, г) = Тп.
(6.57) На преломляющих поверхностях происходит теплообмен с окружающей средой, имеющей постоянную температуру Т.. Его 'Смл Зиио И.Е., Тропа З,А. Пример 6.4. В качестве иллюстрации применения метода малого параметра к решению краевой задачи рассмотрим нахождение приближенного установившегося распределения температуры Т(г,з) в тонкой оптической линзе (рис. 6.2).
Неоднородное „г иг температурное поле, возникающее ог при воздействии на линзу различ- Н ных энергетических факторов выи г ,оя зывает термоупругие напряжения, 1 которые влияют на качество изо- О я г бражения в оптической системе в связи с появлением термооптичес- Рис. 6.2 ких аббераций*. Пусть объем у', занимаемый осесимметричной линзой толшиной Н, ограничен участком Ян круговой цилиндрической поверхности радиуса й и двумя гладкими преломляющими поверхностями эг и эг, образованными вращением вокруг оси линзы кРивых, заДанных зависимостЯми з = Тг(г) и з = Яг) соответственно (см.
рис. 6.2). При постоянных значениях коэффициента А теплопроводности линзы и объемной мощности 1р энерговыделения установившееся осесимметричное распределение температуры в линзе, описываемое функцией Т(г,л), зависит от двух координат: радиальной г и осевой я. Эта функция удовлетворяет уравнению Пуассона 318 ц ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ интенсивность на поверхностях о2 и 52 характеризуют коэффициенты теплообмена о> и аз соответственно, входящие в граничные условия третьего рода (ХП] — =,>т.-г)(, 1 — ( = Рт.-т~( . >221> дТ! дТ дп1 Я> я> дп2 Я2 л2 Производные функции Т(г,з) по направлениям п> и пз, определяемым единичными векторами 222 и 222 внешних нормалей в точках поверхностей Я2 и Яз соответственно, можно выразить через производные по координатам г и я, используя направляющие косинусы этих нормалей относительно осей Ог и Оьч соя(п2> г) =, сов(п2> я) =— ~'(г) 1 1+Я (г) 1+~,' (г) сов(пз, г) = —, соя(пз я) = — Уз(г) 1 + )2 (г) 1 + 72 (г) Введем безразмерные координаты р= — и 1, = — и обозна- Я Н чим е = —, Я =1„, —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
