XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Д.о.З. Полол(ительиал определеииоеть аллиптичееиого оператора 279 Используя интегрирование по частям н учитывая, что и(0) = = н(О) = и(1) = н(1) = 0 для функций и, и Е 0(А), находнм 1 (л.„) = 1( (,(*)~(*)) +,(*). (*)). (*) и= 0 ! 1 1 =-.(*)'(*) (*)~ +1'~(*)"(*) "(*)а+(*) (*) (*)а= о о о 1 1 = р(х) и'(х) и(х)~ — ~ (р(х) н'(х)) и(х) (1х+ о 1 + д(х)и(х) и(х)11х = (А)),и). о Следовательно, оператор А является симметрическим.
Далее вычислим Примем, что 0 < ре < р(х) н 0 < д(х) < 9 прн любых х Е (О, 1)). Тогда вместо (5.92) получим (л, )>и~('(*))'а+(*) '()а>а (а9з) Прн (Аи,и) = 0 каждый нз интегралов в правой части (5.93) обращается в нуль. Из равенства нулю первого нз ннк следует, 280 а ОпеРАтОРы В ГильБеРтОВых пРОстРАнстВАх что и(х) = Со — — сопвг, х б (О, 1), а из условия и(0) = и(1) = = 0 — что Со = О. Таким образом, оператор А является положительным.
Ясно, что при о(х) > до > О, х Е (О, 1), оператор А будет положительно определенным, причем (Аи, и) 3 до|3иЦ. Покажем, что оператор А может остаться положительно определенным при выполнении условий р(х) > ро > О, ч(х) > 9о, х Е (О, 1), и в случае оо < О, если значение )до( не слишком велико. Положим и(х) = ц(х)ю(х) и, опуская обозначение аргумента х, вычислим (и) =ц (ю) +2ццюю'+(ц)~ю~=ц (ю) +(ццюх)' — цциюз, Отбрасывая первое (неотрицательное) слагаемое в правой части этого равенства, получаем (цц'ю~)' — цц"юз < (и')~ и, интегрируя по отрезку [О, 1), находим Выберем ц(х) = ейп хх.
Тогда ц"(х) = — я ~ яп хх и ц(х) ц'(х) и (х) = — х~ц~(х) ю~(х) = — гг и (х), а вместо (5.94) будем иметь (5.95) Отметим, что увеличение множителя перед интегралом в левой части (5.95) невозможно, поскольку при и~(х)— : 1, т.е. при и(х) = = ц(х) = его ях (5.95) переходит в равенство. Иэ (5.93) с учетом (5.95) следует (Аи,и) 3х~ро ии(х)йх+ д(х)и~(х)~хЗ(х~ро+до) ии(х)(х 281 Напросы и задачи Таким образом, при условии к~ро+ оо > 0 (Аи, и) > (наро+до)[[и][~ > О, (5.96) н оператор А является не только положительным, но и положительно определенным.
Если в (5.91) о(х) = по = 0 и р(х) = ро= 1, р то имеем положительно определенный оператор А = — — с лх2 областью определения Р(А). Несложно проверить, что рассмотренные в этом примере операторы сохранят свойство положительной определенности на множестве Р(А) функций и(х), удовлетворяющих не только условиям и(0) = и(1) = О, но и условиям и(0) = и'(1) = 0 или и'(0) = и(1) = О. Вопросы и задачи 5.1. Доказать, что оператор дифференцирования Р = —, И ах' действующий из нормированного пространства Й непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, 6] функций и в нормированное пространство У непрерывных на [а, о] функций о с нормами и би, и [[о[[ [!и[]и = об У.
Ау= ~ с==Ф Я) = К(1,а)1о(л)(Ь, 1 Е [О, 1], о где Е(1, а) —. функция, непрерывная в квадрате [О, 1]з, является симметрическим тогда и только тогда, когда Е(1,л) = Е(л,1), соответственно, не является ограниченным. 5,2. Доказать, что оператор А: 12[0, 1] — ~ Аз[0, 1], действующий по правилу 282 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 1, з Е [0,1]. Выяснить, будет ли оператор А симметрическим, если: а) К(8,в) = 1з + з~+ 1, 1, з Е [О, 1]; б) К(1, з) = 1з+ ~зз + вз — з, 1, з Е [О, 1].
5.3. Найти собственные значения и собственные элемен- Р ты оператора А = —, определенного на множестве функций л~~ ' и(х), непрерывно дифференцируемых на отрезке [О, 1] и принимающих значения: а) п(0) = н'(1) = 0, "б) и'(0) = и(1) = 0; в) и'(0) = и'(1) = 0; г) и(0) = и(1) = О, и'(0) = и'(1). 5.4.
Доказать, что спектр вполне непрерывного симметрического оператора А целиком лежит на отрезке [оз, М], где т= 1в1 (Аи,и), Оз9=1 М = зпр (Аи, и), Ои~)=1 причем го, М вЂ” точки спектра. 5.5. Найти решение интегрального уравнения П рода у(я) = Л у(з) з1о(я+ в) Нз+в)пи — созз. о 5.6.
Показать, что оператор А, заданный равенством (5.91), является положительно определенным на множестве дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке [О, 1] функций и(я), удовлетворяющих условиям и(0) = и'(1) = О. 5.7. Используя (5.95), показать, что оператор А (5.20), рассмотренный в примере 5.3, является положительно определенным иа множестве Р(А) четырежды непрерывно дифференцируемых в интервале (О,1) функций, удовлетворяющих (5.19). 5.8.
Каким вариантам граничных условий (помимо варианта (5.19)) должны удовлетворять функции из множества Р(А) четырежды непрерывно дифференцируемых в интервале (0,1) функций, чтобы оператор А (5.20), рассмотренный в примере 5.3, был положительным на Р(А)? 6. ПРИБЛИЖ:ЕННЫЕ АНАЛИТИ'ЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В связи с развитием и совершенствованием вычислительной техники возросла роль численных методов приближенного решения задач математической физики. Но при этом не утратили своего значения приближенные аналитические методы, позволяющие получить в конечном виде соотношения между искомыми функциями и заданными параметрами рассматриваемой задачи. Существует много подходов к построению приближенных аналитических методов решения задач математической физики.
В этой главе рассмотрены общая схема такого построения и оценки возникающих при этом погрешностей, а также ироекнионные методы и методы, связанные с представлением искомого решения в виде разложения по малому параметру. 6.1. Общая схема построения приближенных методов А(и) = У, и б В~А) С Н, У Е Н, (6А) к которому можно свести формулировку большинства задач математической физики. Для определенности будем предполагать, что существует единственное решение и'. Это решение может быть либо классически.и, т.е.
принадлежать области Рассмотренные в этой части свойства функциональных пространств и действующих в этих пространствах операторов позволяют наметить достаточно общую схему построения приближенных методов решения операторного уравнения 284 в. ПРИБЛИЖ'ЕННЫЕ АНЛЛИТИЧЕОИИЕ метОДЫ В(А) оператора А (необязательно линейного) и поэтому удовлетворять (6.1) непосредственно, либо обоби4енным (в частности, слабым), т.е. м' ф В(А) (см. замечание 5.2).
Существо приближенного метода нахождения м' Е В(А) обычно состоит в построении для (6.1) последовательности (м„) приближенных решений м„Е В(А), и Е (Ч, сходящейся по норме к и'. При практической реализации такого подхода приходится ограничиваться конечной последовательностью (м„)н, но тем не менее важно знать, что последовательность (м„) сходится к элементу м'. Кроме того, желательно получить оценки для величины а„= )(и„— м'((О(л1 (например, в виде неравенства он < Ср'„, где С вЂ” некоторая константа, а д„> 0 — элементы последовательности, сходящейся к нулю).
Если при нахождении м„используют элемент м„1 (при п = 1 этот элемент будет нулевым приближением), то говорят о методе ип1ераций, или методе последовательных приближений. Наличие оценок может иногда при заданной погрешности приближенного решения мк указать необходимое число, итераций 1У. Чтобы найти и„, заменим (6.1) приближенным уравнением Ав(к„) = у„, к„Е В(А„), у„Е хь(А„), (6.2) где оператор А„в некотором смысле аппраксимирует оператор А, а у„— элемент у (во всяком случае для упрощения поиска м„ желательно, чтобы А„был линейным оператором, у которого существует обратный оператор А„'). При этом пространства В(А„) и Н(А„) могут быть и конечномерными. В этом случае существование у линейного оператора А„ обратного означает, что матрица оператора А„ квадратная, а размерности В(А„) и Н(А„) одинаковы.
Введем операторы Х„и У„, осуществляющие отображения Х„: В(А) — ~ В(А„) и г'„: й(А) — ~ й(А„), причем у„= )в(у). Эти операторы могут, например, отображать бесконечномерное функциональное пространство в конечномерное или формировать либо сетку конечных элементов, либо конечно-ралностную сетку. Пусть уравнение (6,2) имеет единственное ре- бд. Общая схема построения приближенных методов 285 шение ж'„Е О(А„).
Вообще говоря, а'„ф В(А), и поэтому ж'„ нельзя отождествлять с тсн Е 0(А) и считать приближенным решением (6.1). Но при помощи оператора У„можно перейтн к этому решению: и„= Г„(ж'„). В частности, 1l„может быть оператором интерполирования, который по дискретному представлению элемента и'„Е )х(Ао) восстанавливает его образ ио Е О(А). На рис. 6.1 условно показана связь рассматриваемых пространств и нх элементов. 1А„) Рие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
