XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 34
Текст из файла (страница 34)
11и 11 ((, )„-»,(,»)( <)) $)$„ф$ ))» — » . (»и) При этом Цо Ц~~ > Л1. Равенство (5.54) запишем в виде 11т Ло(1и '1 = 11т,Уо(11)е»Ци Ц] = !пп Це Цлд = Л1. (5.56) Положим и = о — ое и подставим в (5.55): (., --.).-» ( ...— )(<)) .— »).)()) .))1-» Меняя в этом неравенстве местами индексы от и й, запишем ((», — ),— » (», — )(< ~)и — )) (»))),))'„-»,. Сумма левых частей этих неравенств с учетом неравенства треугольника дает 1(о, е — ол)А — Л1(е, о — щ)1+ + ~(О(<ге(< 1'о»)А Л1(т)(<» т))< — т)п»)1 ~~ > (1(о — щ, о — оь)А — Л1(о — т)1, т) — т)лЯ = = ~Цю — олЦА — Л1Цн — юлЦ~~. 5.4.
Однородное операторное уравнение с учетом (5.56) и и -+ тп1 как в Мд, так и в Я, находим (тпы и)д = Л1 (тп~, и), и с Яд, (5.59) что совпадает с (5.52) при и = 1. Таким образом, ненулевой элемент тп1 Е 7сд является нормированным собственным элементом оператора А, соответствующим собственному значению Л1. Если Л и в — собственное значение и соответствующий ему собственный элемент оператора А, то справедливо неравенство поскольку Л1 по предположению является точной нижней гранью функционала (5.53). Следовательно, Л, является наименьшим собственным значением оператора А и оно положительно. Обозначим теперь через Ло точную нижнюю грань функционала 1о(м] при дополнительном ограничении (и, тп1) = О.
Это ограничение сужает множество элементов и Е Яд, на котором следует искать минимум в (5.53). Поэтому Ло > Лг Повторяя с учетом дополнительного ограничения предшествующие рассуждения, можно установить, что Ло является вторым собственным значением оператора А и что этому значению соответствует нормированный собственный элемент тпо, ортогональный тпг Продолжая этот процесс, построим неубывающую последовательность положительных собственных значений Л„, и Е Я, и соответствующую им последовательность (дп„) нормированных собственных элементов тп„оператора А.
В общем случае в последовательности (Л„) некоторые элементы могут совпадать, т,е. соответствующее им собственное подпространство оператора А может быть неодномерно, причем собственные элементы с этими номерами образуют в нем ортонормированный базис, если оно конечномерно. Это подпространство не может быть бесконечномерным, поскольку Л„ -~ оо при и -+ оо.
Докажем это от противного. 244 а ОПВРА ТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫх пРОсТРАНстВАХ Допустим, что последовательность (Лп) ограничена, т.е. Ли < < Лз = совес, и Е М. Тогда для любого номера п Е г1 нз (5.52) при 44 =4в„б Нд имеем (4яи~ 4 и) 4 Ц~оиЦ 4 Лп (~и1 4 и) — ЛпЦ4яиЦ вЂ” Лп1 т.е. Ц4я„ЦА = ~IЛ„< А. Таким образом, элементы последовательности (че„) образуют в ЯА ограниченное по энергетической норме множество, которое по условию теоремы компактно в Н, т.е.
нз любой части этого множества можно выделить сходящуюся в Я подпоследовательность, которую обозначим (4е Она фундаментальна в Я, и поэтому Цто — 4яьЦз < 1 для достаточно больших номеров т и Й. Но это невозможно, поскольку собственные элементы Й ортонормированы в Я и Цй — йьЦ =(че — йь,яй — йь) = — щ„,Цз 2(й,„йл) + ЦйьЦз — 2 Отсюда следует, что Лп -+ оо при и -+ со. Покажем, что система (4о„) ортогональных в ЯА собственных элементов оператора А полна в НА, т.е. является в НА счетным базисом. Любое собственное значение Лп является точной нижней гРанью фУнкционала 1е144] на множестве элементов 44 Е ЯА, удовлетворяющих дополнительным ограничениям (44, 4вь) = О, и = 1, и-1. Если бы система (4в„) была неполна в НА, то нашлись бы отличные от нулевого элементы, ортогонзльные в ЯА всем шп.
ОбозначаЯ чеРез Л точнУю нижнюю гРань,Уо144] на Указанных ненУлевых элементах, из пРеДыДУ- щих этапов доказательства этой теоремы получаем, что Л— собственное значение оператора А, большее любого Лп, п б И. Но это невозможно, поскольку Лп -+ со прн и -+ оо. Система (4юп) собственных элементов 4е„б НА опеРатоРа А полна и в Я. Действительно, энергетическое пространство ЯА шире области Р(А) определения оператора А, всюду плотной в Н. Поэтому ЯА также всюду плотно в Я. Для произвольных л > 0 и л Е Я выберем элемент д Е Нд так, чтобы выполнялось 246 5.
ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ компактным в энергетическом пространстве МВ. Тогда собственные значения уравнения (5.41) образуют неограниченную неубывающую последовательность (Л„) положительных чисел, а из собственных элементов этого уравнения можно сформировать систему (и„), полную как в НА, так и в нн.
5.5. Уравнения с вполне непрерывными симметрическими операторами Пусть 71 — гильбертово пространство, а А — вполне непрерывный симметрический оператор, действующий в Я. рассмотрим операторные уравнения Аи — Ли= У (5.60) и Аи — Ли= О. (5.61) Теорема 5.9. Если А — симметрический линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве М, то наименьшее число С > О, для которого выполнено неравенство !(Ао, и)~ (Сйи(~~, и 6 Я, (5.62) равно 6А6.
В случае конечномерного евклидова пространства для любого симметрического оператора существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов данного оператора, и решение уравнений (5.60) и (5.61) при их записи в этом базисе не вызывает затруднений. В бесконечномерном пространстве для произвольного линейного симметрического оператора такое утверждение сделать нельзя. Однако если оператор к тому же является вполне непрерывнььм, то аналогичное утверждение можно сделать и в случае бесконечномерных пространств. Итак, выясним свойства собственных элементов и собственных значений симметрического вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве.
л.о. Уравнения о вполне ненрерывиыми операторами 247 < Если наименьшее число, для которого выполнено неравенство (5.62), обозначить Сл, то, имея, согласно (4.26) и (5.2), неравенство ! (Аи, и) ~ < ОАи6 Йи)! < О А 6 ~)ибг, приходим к соотношению Сл < ОА~(. Отметим, что последнее неравенство справедливо для любого ограниченного оператора в 'Н. Для симметрического оператора А и любых и, и,и«Е 74 имеем (Аги, и) = (Аи, Аи) и (А(ти+ и), ге+ и) — (А(и« вЂ” и), тп — и) = (Аи«, и«) + (Аи, иг) + + (Аги, и) + (Ао, т«) — (Аги, и«) + (Аи, ги) + (Аи«, и) — (Аи, и) = =2(Аи, иг)+2(Агп, и) =2(и, Аи«)+2(Аи«, и) = 4(Аи«, т«).
Положив и« = Ли, т« = (1/Л) Аи, Л ~ О, получим (Агп, и) = (АЛи, — „Аи) = ЦАиЦ~. Используя (5.62) и равенство параллелограмма [1Х], имеем йАиП~ = — (А (Ли+ — Аи), Ли+ — Аи)— г 1 1 1 — — (А (Ли — — Аи ), Ли — — Аи~ < — Сл ~ Ли+ — Аи ~ + 1 г 1 1 + -Сл)(Ли — — Аи~) = -Сл(Л~Оиб' + — ОАи)~~).
я-,«„„„„... ао ° «=«4«умг т„„ йАиб~ < СлОАиб ~)иО, откуда ОАи~! < Слбиб. Следовательно, йАО < Ся. Имея ранее полученное неравенство Сл < йАО, заключаем, что ОА6 = Сл. > 248 л. ОпеРАтОРы В ГильББРтОВых пРОстРАнстВАх В предыдущей главе (см. 4.6) рассмотрены свойства спектра вполне непрерывного оператора в бинаховон проссвранстве. Все отличные от нуля точки спектра для такого оператора являются собственными значениями. Однако существование отличных от нуля собственных значений не гарантировалось.
Если вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве Я является к тому же симметрическим, то он всегда имеет ненулевое собственное значение. Теорема 5.10. Всякий вполне непрерывный симметрический линейный ненулевой оператор А имеет хотя бы одно отличное от нуля собственное значение Л, причем (Л) = ЙА9, ~ Согласно теореме 5.9, имеем вор )(Аи, и) ~ < 9 А~!. )1иЦ=! Обозначим через С левую часть записанного неравенства. Тогда С вЂ” это наименьшее из всех чисел, для которых ~ (Аи, и) (< < С при йий = 1.
Пусть в — произвольный элемент, отличный от нуля. Тогда для и = вДо() имеем ((А —, — )( <С, или )(Ав, в)) < С9в~)з. Согласно теореме 5.9, С > 9А9. Таким образом, вир ((Аи, и)! = '9А9, Цвй=1 причем 9А9 > О, так как А ф О. В силу свойств точной верхней грани существует последовательность (и„) С Я, такая, что 9и„'9 = 1, об г1, и ((Аи„,и„))-+ 9А9 при и -+ со. Из последовательности (и„) можно выбрать подпоследоаитсльносгиь (и„~©„для которой (Аи„„, и„,) — + Л при Й -+ оо, причем Л равно либо 9А9, либо — 9А9. о.Б. Уравнение с вполне непрерывными операторами 249 Обозначим еь = и„„й Е И. Тогда, учитывая равенство 11еь(! = 1, й Е 1'1, имеем О < )(Аеь — Лев й~ = )(Аеь((з — 2Л (Аею еь) + Лз. (5.63) Поскольку 2Л(Аеы еь) — Лз < ((Аеь))~ < ()А()з = Л~ 11щ (Аею еь) = Л, в — >оо существует 1пп 11АеЦ = Л. Переходя к пределу в (5.63) при в-+ее Й -+ оз, получаем 1пп ((Аев — ЛеЦ~ = О, е-+со или Аеь — Лев -> О нри й -+ со.
(5.64) Так как оператор А вполне непрерывный, а последовательность (ев) ограничена в Я, то последовательность (Аев) образует леиолсесгпво, относительно иомппктиое в Я. Поэтому из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность (Аеь Учитывая (5.64), имеем сходимость последовательности (еь ). Обозначим ее предел е. Тогда Аеь -+ Ае прн т -+ оо, причем йе()= 1пп )(еь 11 =1. Согласно (5.64), Ае=Ле, о~О, т.е.
Л— собственное значение оператора А и 1Л( = ))А11. 1в Согласно теореме 4.21 и ее следствиям, вполне непрерывный симметрический оператор в гильбертовом пространстве 'Н имеет конечную илн счетную последовательность (Л„) собственных значений Л„~~ О, и Е 1Ч, где каждое из них повторяется столько раз, какова размерность собственного подпространства оператора (все его собственные подпространства конечно- 250 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ мерны), причем ~Л,~ > ~Лз~ > ... > (Л„~ > ~Л„+,~ > ... и !1т Л„ = О, если последовательность (Л„) бесконечна. В силу теоремы 5.10 и следствия 4.2 (~А0 = (Л»~, Последовательности (Л„) отвечает артонормированнал система (~р„) собственных элементов.
Ортонормированности всегда можно добиться, поскольку собственные элементы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны, а собственные подпространства, отвечающие различным собственным значениям, конечномерны и в каждом из них можно выбрать ортонормированный базис, применяя процесс ортогонализации Грима — Шмидта. Аи = ~~> Л„(и, ю„) ж„. » ~ Пусть сначала система (ж„) бесконечна. Для произвольного элемента и Е Я положим » и» =и — ~ (и,ж»)а», й Е И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
