XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Подставляя это выражение для у в (5.17), с учетом симметрии о.2. Операторы и функционалы в гнльоертовон пространстве 221 и дистрибутивности скалярного умножения (см. 5.1) и симметричности положительного оператора А (см. определение 5.1) получаем Л[и) = (Аи, и) — 2 (Аио, и) = (Аи, и) — (Аио, а) — (и, Аио) = = (Аи, и) — (Аио, и) — (Аи, ио) + (Аио, ио) — (Аио, ио) = = (А(и — ио), и — ио) — (Аио, ио) .
Следовательно, Л[ао) = — (Аао~ ао)1 а Л[и'1 — Л[ао) = (А(а — ио), и — ио) 3 О в силу положительности оператора А, причем Ли = Лио лишь при и = ио. Пусть теперь функционал (5.17) принимает минимальное значение в В(А) на элементе ио, т.е, Л[ио+М Э Л[ао) о Е В(А), 1Е К. Используя аксиомы скалярного умножения и симметричность положительного оператора А, получаем Л[ио+1о) = (А(ао+Ы) ао+1о) — 2(у, ао+1о) = = (Аио+ ФАи, ао+ Ы) — 2 (У, ио) — 21 (У, и) = = (Аио, ио) + 2й (Аао, о) + й~ (Ао, о) — 2й (У, о) — 2 (У ио) При о ~ О правая часть этого равенства является квадратным трехчленом по 1 и прн фиксированных ао, у и о достигает минимума в точке 1 = О.
Следовательно, Н вЂ” Л[ио+1о)[ =2(Аио, о) — 2(Л, о) = О, й или (Аио — Л', о) = О. Поскольку элемент о Е 0(А) выбран произвольно н 0(А) всюду плотно в Я, то, согласно замечанию 5.1, 222 л. опвркторыв гильтртовых прострлнствлх Амо — У = О, т.е. элемент ио Е Р(А) является решением уравне- ния Аи=~. ~ Пример 5.3. Обыкновенное дифференциальное уравнение — [Е1(х) ) =п(х), х Е (0,1), ~1з с1зпу(х) (5А8) с граничными условиями ю(0) = ю(1) = О, ю'(0) = ю'(1) = 0 (5.19) описывает изменение вдоль жестко закрепленной на концах балки ее прогиба ю(х), вызванного распределенной поперечной нагрузкой д(х) (рис.
5.1), непрерывной в интервале (0,1). Балка имеет длину 1, модуль Е = сопяФ > 0 упругости материала, а момент 1(х) инерции ее поперечного сечения является два; жды непрерывно дифференцируемой на отрезке [О, 1] функцией координаты х, причем 1(х) > О, х Е [О, 1]. Рис.
а.1 Задачу (5Л8), (5А9) можно представить операторным уравнением Ати= и, где оператор Н с1з А = — „~ (Е.1(х) — „~) (5.20) определен на множестве Р(А) с Ея[0, 1] функций, непрерывных на [О, 1] вместе со своими производными до четвертого порядка включительно и удовлетворяющих (5А9). Множество Р(А) о.2, Олераторы н функционалы а гнлаоертоном лроетранетне 223 является линейным многообразием, всюду плотным в гильбертовом пространстве Аз[0,1) (см. пример 5.1). Ясно, что оператор А является линейным в силу линейности операции дифференцирования. Используя (5А) и интегрируя по частям с учетом (5.19), для любых (',д б Р(А) имеем о о ! ! едд"д'~ д д еддмд''д*=1 ед~ д д* д 21) Аналогично получаем (7", Ад) = е1(Е!дн)нд1х = Е!)дндндддх, т.е.
линейный оператор А, согласно определению 5.1, является симметрическим в Р(А). Из (5.21) следует, что (Аю,ю) = Е1(юн)зд(х > О, юЕ Р(А), (5.22) о причем если (Аю, ю) = О, то нд" (х) = О на [О, 1]. Отсюда ю(х) = = Ах+ В, но, согласно (5.19), А = В = О, а значит, ю(х) = О, т.е. в соответствии с определением 5.1 симметрический оператор А является в Р(А) положительным. Квадратичный функционал (5.17) в данном случае с учетом (5.22) имеет вид ,у[ю) = (Аю, ю) — 2(д, ю) = Е1(юн) д1х — 2 дюд(х (5.23) 224 л.
ОПЕРАТОРЫ В ГИЛББЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ и при заданной функции ю 6 Р(А) прогиба балки равен удвоенной полной потенциальной энергии этой балки. Первое слагаемое в правой части (5.23) отвечает удвоенной упругой энергии балки, а второе — взятой с обратным знаком удвоенной работе внешних сил, т.е. заданной распределенной нагрузке д(х). В связи с этим (5.23) обычно называют фуммцвоналом энергии. Это название часто переносят и на общий случай квадратичного функционала (5.17).
Пусть юе 6 Р(А) — решение (5.18). Подставляя е = (Е1ю,",)л в (5.23) и учитывая, согласно (5.21), что получаем ,У[ю] = Е!(ю") Нх — 2 Ейю~~ю" Нх = о о ! — Е1(ю юо) "х ЕЦюее) пх ~~ и и 2 Поскольку (ю" — ю")~ ) О, то функционал,У[ю] достигает минимума в Р(А) лишь при условии ю" — юе = О, т.е. при ю(х) = = юе(х)+ А1х+ В,. Но в силу (5.19) А1 —— В1 — — О, и (как это и следует из теоремы 5.4) функционал 7[ю] минимален в Р(А) при ю(х) = юе(х), х 6 [О, 1]. Элемент юе е Р(А), минимизирующий (5.23), является решением уравнения (5.18), что следует из теоремы 5.4.
Замечание 5.2. Теорема 5.4 утверждает лишь эквивалентность задач нахождения решения ие 6 Р(А) операторного уравнения (5.16) и поиска элемента м, минимизирующего функционал (5.17). При этом предполагается, что Р(А) всюду плотно о.2. Операторы н функционалы в гнвьаертовои пространстве 225 а(и') = 1пп ((Аи„, ио) — 2(У, и„)), и такой функционал может принимать минимальное значение в некотором расширенном по отношению к Р(А) множестве. Элемент м" ~ Р(А), минимизирующий этот функционал, является примером обобщеннога решения операторного уравнения (5.16) в отличие от его классического решения иа 6 Р(А). Необходимость построения такого расширенного множества может возникнуть, например, в случае, когда в (5.16) элемент у не принадлежит области значений оператора А (у у В(А)). В более общем случае операторному уравнению (5.24) Р(и)=У Уй Н с оператором Р, не обязательно положительным, но непрерыв- ным, не удается поставить в соответствие минимизируемый функционал.
Если иа 6 Р(Р) — классическое решение (5.24), то оно при м = иа удовлетворяет равенству (Р(м), и) = (У, и), и 6 Я. (5.25) Но (5.24) может и не иметь классического решения (например, при у ф В(Р)). В этом случае может существовать элемент в Я. Но нередко возникают ситуации, когда элемент у в (5.16) не принадлежит области В(А) значений этого оператора и решения (5.16) в обычном смысле не существует. Так, в случае разрывной функции д(г) в (5.18) (см. пример 5.3), что характерно для прикладных задач, зто уравнение не имеет решения в Р(А), а значит, и функционал (5.23) не достигает минимума в Р(А). Пусть (и„) — паследовагпельность элементов и„6 Р(А), .нинимизируюшал функционал (5.17). Эта последовательность, будучи Яундаментальноб в Р(А), может сходиться к элементу и" ~ Р(А). Тогда можно рассмотреть некоторое расширение функционала (5.17).
В этом случае 226 в, ОпеРАтОРы В ГильБеРтОВых пРОстРАнстВАх и, ф Р(Р), являющийся пределом последовательности (и„) с элементами и„б Р(Р), причем 11ш (Р(и„),и) = (У, и), и 6 Я. Такой элемент и„е Я называют слабым реяиением операторного уравнения (5.24). Если и. Е Р(Р), то слабое решение совпадает с классическим. Слабое решение можно рассматривать как частный случай обобщенного и для его нахождения необходимо каким-то образом расширить область возможных решений уравнения (5.24). 5.3.Энергетическое пространство Пусть на линейном многообразии Р(А) С Н, всюду плотинам в гильбертовом пространстве Я, задан положительно определенный оператор А. Определим на Р(А) новое скалярное произведение (и, и)А — — (Аи, и), и, и б Р(А).
(5.26) Нетрудно проверить, что для него выполнены все аксиомы скалярного умножения. В самом деле, в силу симметричности, а значит, и линейности положительно определенного оператора (см. определение 5.1) для произвольных и, и Е Р(А) (и, и)А — — (Аи, и) = (и, Аи) = (Аи, и) = (и, и)„, что доказывает симметричность нового скалярного умноже- ния. Аналогично для любых и, и, и1 Е Р(А) и о, о1 Е К (пи+ о1и1, Ф)А = (А(пи+ о1и|), и) = (ЮАи+о~ Аим Ф) = = о (Аи, и) + о1 (Аи1, и) = о (и, и) А + о1 (и1, и) 1, что доказывает дистрибутивность и однородность нового скалярного умножения.
Неотрицательность скалярного квадрата и его невырожденность следуют из определения 5.1 и (5.26). 227 5.3. Энергетическое пространство Скалярное произведение (5.26) определяет новые норму )~ = ф, ь — — ~/~А, ~, е о(А), в.2п и расстоя н не Рл(и о) = )~и — ойл, и, о Е .О(А). (5,28) Скалярное произведение (и,и)л и норму 'ци))л обычно называют энергетвинесноми. Для положительно определенного оператора А связь между новой и прежней нормами устанавливает соотношение ()и))л ) )7 ))м)(~, или ((и() < — Ци[~д, (5.29) 7 ,У[и) = $!игал — 2(~, и). (5.30) Пример 5.4. В гильбертовом пространстве Аз[0,1) функций, суммируелых с квадратом на отрезке [0,1), рассмотрим ~в оператор А = — —, область определення О(А) которого являдх21 ется линейным многообразием дважды непрерывно дифференцируемых функций и(х), удовлетворяющих условию и(0) = = и(1) = 0 (см.
пример 5.2). В примере 5.10 показано, что этот оператор положительно определен, а иэ (5.13) и (5.26) следует, что )„=(Аи ~=~ ъч =~ ', '1, ц ее(А). п.31) о Таким образом, новое скалярное произведение функций из О(А) совпадает с прежним скалярным произведением их производных. Ясно, что энергетическое скалярное произведение, с той же самой постоянной 7 фО, что и в (5.11). Квадратичный функционал Щ = (и, и) ~ — 2(у, и) (5.17), или функционал энергии (см. пример 5.3), с учетом (5.26) и (5.27) можно записать в виде 228 а ОпеРАтОРы В ГильБеРтОВых пРОстРАнстВАх заданное равенством (5.31), можно распространить на более широкое по сравнению с Р(А) линейное многообразие, содержащее, например, функции, имеющие кусочно непрерывную производную на отрезке (О, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
