XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 28
Текст из файла (страница 28)
покажем, что его можно наделить структурой банахова пространства. Начнем с определения в 8 операции сложения. Пусть й и о — классы эквивалентности по отнощению, введенному в Р. Выберем из этих классов эквивалентности фундаментальные в Р последовательности (и„) Е й и (о„) б о. Нетрудно проверить, что последовательность (и„+ о„) также фундаментальна в Р. Поэтому она входит в некоторый класс эквивалентности, который обозначим й+ о. Покажем, что определение этого класса корректно, т.е.
оно не зависит от выбора последовательностей из классов й и о. Пусть (и„) (и'„) и (о„) (е„'). Докажем, что (и„+о„) (и'„+о,',). Наряду с (4.56) будет верно и 200 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ Докажем, что (Ли„) (Ли'„) для любого Л Е К. Используя (4.56), находим 1пп )) Ли„— Ли~ 11р = ) Л) 11ш 11и„— и~ 11 р = О, 1)й11н = 1пп 1)и„1)р. (4.58) Так как в соответствии с 14.1) 111и 1)р — ))и„))р~ < ))и — и„))р, то числовая последовательность (11и„11) в силу определения 4.1 фундаментальна и, согласно критерию Коши (1], сходится к некоторому пределу. Значение этого предела не зависит от выбора последовательности нз класса й. В самом деле, для произвольных последовательностей (и„) и (и'„( из класса эквивалентности й в соответствии с (4.1) имеем 1)1и„11р — ~)и'„)~р) < < ))и„— и'„()р и, используя (4.56), получаем 11и11р — 11и'„))р — + 0 при и -+ оо, или 1пп 11и'„)1р = 1пп 11и„'1)р.
т.е. (Ли„) (Ли'„), а значит, и (Ли'„) Е Лй, что доказывает корректность определения в В операции умножения элемента на число. Итак, в В введены линейные операции. Так как они определены через линейные операции в О, то можно показать, что в В выполнены все аксиомы линейного пространства. Поэтому В является линейным пространством. Роль нулевого элемента в В выполняет класс О, определяемый условием й+О = й, й Е В. Представителем этого класса является фундаментальная последовательность, все члены которой равны нулевому элементу О Е О.
Отсюда, учитывая (4.56), получаем, что последовательность (и„) Е О тогда и только тогда, когда11и„(~ -+ 0 при п — > оо. Введем норму в линейном пространстве В. Для любого класса эквивалентности и выберем фундаментальную последовательность (и„) Е й и положим 4.7. Понолнение нормированного пространства 991 Для (4.58) выполнены аксиомы нормы (см.
4.1). Действительно, ))Цв > О, причем если ))Цв = О, то для любой последовательности 1и„) Е й в соответствии с (4.58) !)и„)(р-+ О при п -+ оэ. Таким образом, (и„) Е О, т.е. й = О. Очевидно н обратное: если и = О, то ))ййв = О. Из аксиом нормы имеем йЛи„!)в = (Л(()и„)(п и йм„+и„ф~р < йи„)(р+ ~Ли„Яо, где Л Е К, (и„) с й и (са) 6 й.
Переходя в этих соотношениях к пределу при и-+оо, получаем ()ЛЦп=)Л!)(й))в и )~й+Цв < йй()в+))Цв. Таким образом, (4.58) определяет в линейном пространстве 8 норму, т.е. Н является нормированным пространством. Покажем, что оно включает линейное многообразие И, изометрнчное Р. Прежде всего убедимся, что существует ииъективиое отображение ~р, переводящее Р в Б.,Любому элементу и Е Р поставим в соответствие класс р(и) = й' Е И фундаментальных последовательностей, которому принадлежит стационарная последовательность 1и„) с элементами и„= и б Р, и 6 Х. Ясно, что эта последовательность сходится к элементу и Е Р.
Но если в классе эквивалентности й' Е 8 хотя бы одна последовательность 1и„) Е й' сходится к некоторому элементу и б Р, то все последовательности этого класса сходятся, причем к этому же элементу и Е Р. В самом деле, пусть (и'„) б й'. Тогда с учетом аксиомы 3 нормы (см. 4.1) запишем )(и'„— и1!в ( ()и'„— и4р+ )(и„— майо.
Переходя в этом неравенстве к пределу при и -+ оо и учитывая (4.56), получаем, что ~(и'„— Ц р — > О при и -+ сю, Поэтому, если у(и) = р(чи) для некоторых и, тн Е Р, и ~ ти, то класс эквивалентности д(м) состоит из последовательностей, которые сходятся как к и, так и к ти, что невозможно.
Следовательно, отображение ~р инъективно. Из (4.58) вытекает, что если и б Р и й' = чо(и), то (4.59) Обозначим область значений отображения со через И. Соответствие р между элементамн и Е Р и классами й' Е Р' С О, 202 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ 2 при т > Ф и и > М. Зафиксируем номер т > М. Тогда класс ~р(и„) = й,„6 Р' содержит стационарную последовательность, все элементы которой равны и . В соответствии с (4.58) и (4.60) получим ))й — й ))н = 1пп ))и„— и„,)(р « вЂ” с. (4.61) Это означает, что в любой с-окрестности точки й Е В найдется хотя бы одна точка из И.
Таким образом, согласно определению 4.2, линейное многообразие Р' всюду плотно в В. Наконец, покажем, что нормированное пространство В является полным, т.е. банаховым. Пусть задана фундаментальная в В последовательность (й„) элементов из В. Так как Р' всюду плотно в В, то для каждого й„б В можно найти такой элемент в„б 1У, что 1 1)й„— й„'6в < —. п (4.62) удовлетворяющее (4.59), является биективным (взаимно однозначным) отображением О в Р'. Это отображение линейно в силу определения в В линейных операций с классами эквивалентности, и поэтому И вЂ” линейное многообразие в В, а отображение ~Р— изоморфизм между Р и О'.
В качестве нормы в Р используем норму в В. С учетом (4.59) )~~(и)))р~ = = ))~о(и)))в = ))и)(п. Согласно определению 4.10, это означает, что Р и Р' иэометричны. Итак, множество Р' всех классов й', содержащих стационарные последовательности, члены каждой из которых равны соответствующему элементу иэ О, является линейным многообразием в В, изометричным Р. Покажем, что это многообразие всюду плотно в В.
Выберем произвольное с > 0 и в любом классе й 6 В рассмотрим некоторую фундаментальную последовательность (и ) 6 й элементов из Р. В силу определения 4.1 фундаментальной последовательности существует такой номер М Е Х, что 4.7. Пополнение нормированного пространства 203 Тогда, используя (4.1), получаем !!й — й„!!и = !!(о — й ) + (й„— о„) + (й — й„) !)н < < !!й — й ))и+ )!й. — йв))в+ !)й — й ))В < 1 1 < — + — + !!й — й„!!н. (4.63) Согласно определению 4.1 фундаментальной последовательности, для произвольного с > 0 существует такой номер Ф, что !!й — й„)!н < — при тп > Ф и и > М.
Выберем ти > п1ах ! -, Ж) (,Е и и > шах~-, Ж). Тогда из (4.63) имеем (4 с )! --й ))н<-+-+-=г, 4 4 2 (4.64) 0 < !)й„— й))в < ))й„— й„))п+))й — й„))н < — +))й — й„))н. (4.65) Так как ))й — й„!)и = !!п1 !!о — йп!!и, то !пп !)й — й„!!н = О. п1-+оо па~оп Переходя в (4.65) к пределу при и -+ оо, получаем !!ш ))й„— й))п = О, т.е. на основании (4.2) заключаем, что !!ш й„= й. Это означает, что произвольная фундаментальная последовательность элементов из В сходится по норме !! !!и к элементу, также принадлежащему В, т.е.
нормированное пространство В является полным (банаховым) пространством (см. 4.1). что, согласно определению 4.1, означает фундаментальность последовательности (о„) в В. Благодаря изометричности О' н О каждому элементу й„б сг соответствует единственный элемент о„Е О, причем в силу фундаментальности последовательности (й„) последовательность (о„) также фундаментальна и ей соответствует некоторый класс эквивалентности й б В. Учитывая (4.1) и (4,62), запишем 204 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ Таким образом, все условия определения 4.11 выполнены, а зто значит, что 8 является пополнением нормированного пространства Р.
~ Вопросы и задачи 4,1. Доказать, что в функциональном пространстве // непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, 61 функций /(х) можно ввести следующие нормы: Ц/Ц1 = [/(а)[+ пьах (/~(х)], Ц/Цз= )/(х)[е[х+ пьах [/ (х)!. а показать, что нормы Ц Ц1 и Ц. Цз зквивалентны норме Ц/'Цо = 1пах пьах Щх)[, пьах )/'(х)[, /' б 1/, [аЕ[а,Ь] а я[а,Ь] т.е. найдутся числа о;,)11 > О, 1 = 1, 2, такие, что -,УЦо<Ц/Ц;<ДЦЛ., У.и. 4.2, Доказать неравенство Гельдера для интегралов при р > 1, 1/'р+ 1/'д аа 1: ь ь Ь 1/е [,/(1) д(Ь)! [1 < [У(1)[Я й [д(1)! [1 а а а 4.3. Доказать неравенство Минковского для интегралов при р>1: ь 1/и Ь 1/а 6 1/р [~(1)+д(1)!' [1 < [/(1)!" [/ + ]д(Ь)[Р [Ь а а а *О. Гелъдер (1859-1937) — немецкий математик.
205 Воиросы и задачи 4.4. Показать, что множество Бр[а,Ь], р ) 1, функций определенных на отрезке [а,6], для которых существует ко- ь вечный интеграл Лебега [ [1[1)]"Й, является нормированным а пространством с нормой Ь ]Л, = йьИ' 11 а 4.5. Доказать, что нормированное пространство Сь[а,6) функций г, имеющих на отрезке [а,6] непрерывные производные до й-го порядка включительно, с нормой ь []Д= ~~> щах ]У1 1(х)], УЕС [а,Ь), е1а,ь1 является банаховым. 4.8. Доказать, что оператор А: С'[О, Ц-+ С[0, Ц, действующий по правилу иь = Ау д=» р(х) = —, я Е [О, Ц, является непрерывным.
4.7. Является ли оператор А: Р -ь С[а,Ь), где И вЂ” нормированное пространство непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, 6] функций с нормой ]]Д = пьах фя)], 1 ЕР, де[а,ь1 действующий по правилу ьр = А2 «=ь ~р[я) = — „, х с [а,6], ф непрерывным? 4.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
