XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Линейный оператор Г: й -> К, определенный на нормированном пространстве Р, называют лииебиым фуииииоиилом. !(Г(! = впр (г'и!. ((и((ь1 (4.20) Так как для линейного функционала — = !Р~ — ( ~, то (Ри! ! /и~ !!и(! ! (,(!и)(,) ' Линейный фииициоиал Е Р -+ И является ограиичениым, если образом любого ограниченного в Р множества будет ограниченное числовое множество, или, согласно теореме 4.6, если функционал Р переводит единичный замкиушый шар (4.17) в ограниченное числовое множество. В силу обших свойств линейных операторов линейный функционал г' Й -+ 1ь непрерывен в Р, если он непрерывен в какой-либо одной точке из У (например, в точке О 674).
Для непрерывности линейного функционала необходимо и достаточно его ограниченности на единичном шаре. Точную верхнюю грань значений !Ги! б ль на единичном замкнутом шаре называют иориоб лииейиого фуиициоиала Р, т.е. 4лв Линейные ограниченные функционалы Действительно, учитывая (4.20), с одной стороны, вар — = впр!Г~ — ) ! < ьнр !Еи! < !!Е!!. !Р'ел! и иФО !!М!! ФФО ))и)! 1!оп=1 Так как !Еее! < — при )!и!! < 1, и ф О, то, с другой стороны, !!ги! ))и)! ))и)! = вир )ги! < впр — < вир —.
)ши! )и'ел! ()и((41 ((ий(1 !!М!! и140 !)М!! и1еО )Кеа! < !)и')! )!ее)!. (4.22) Пример 4.11. Покажем, что интеграл Цх) = х(1) й1 определяет ограниченный линейный функционал в нормированном пространстве С(а, Ь). Поскольку ь )У(х)! = х(С)й < (Ь вЂ” а) 1пах )х(1)! = (Ь вЂ” а)!)х)), (4.23) 1е[а,ь) а то зтот функционал ограничен и, согласно теореме 4.8, непре- рывен. С учетом (4.21) и (4.23) имеем, с одной стороны, ))1!! =впр — < Ь вЂ” а, /1(х) ! *Фо !)х)! Из (4.21) следует, что )!и )! > —, и ~ О, т.е. для любого еа Е й )ги! ()и)! ' справедливо неравенство 166 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ а с другой стороны, [1(х)] = Ь вЂ” а при х(1) = 1 и [Я[ > Ь вЂ” а.
Следовательно, норма зтого функционала ]]1[] = Ь вЂ” а. Пример 4.12. Докажем, что интеграл 1 1(х) = 1х(1) а -1 задает ограниченный линейный функционзл в нормированном пространстве С[ — 1,1]. Пусть х Е С[ — 1,1] — произвольная функция, принадлежащая единичному шару, т.е. []х]] < 1. Тогда 1 1 [1(х)] < [1х(1)] И < [[х[[ ]1[сй = [[х[] < 1. Следовательно, функционал 1(х) ограничен, причем в силу (4.20) имеем неравенство ]]1[] < 1. Заметим, что значение интеграла 1(х) от функции хе —— = хе(1) = нцп1, 1 е [ — 1, 1], равно единице: 1 1 1(хе) = 1аап1й = фМ= 1.
Однако функция хе не принадлежит С[ — 1,1], Рассмотрим последовательность непрерывных на отрезке функций, определенных следующим образом (рис. 4.2): Предельной функцией (в смысле поточечной сходимости) на отрезке [-1, 1] для функциональной последовательности (х„(1)) 1б7 4.4. Линейные ограниченные функционалы Рис. 4.2 как раз и является функция хо(1).
Поскольку 1х„(1) — четная функция, для любого и Е Я имеем о 1/о 2 з1/" я' 1 — 13~ +12~ — 1 Так как (Цх„) ~ -+ 1 при и -+ со и ЙЩ = 1, и Е 1Ч, то ~)1)~ = яир (7(х)~ ) яир)Цх„) ~ = 1. ЦЦ<1 ней Учитывая полученное выше неравенство йЯ < 1, приходим к выводу, что )Я = 1. Пример 4.13.
Вычислим норму линейного функционала Г: С1(-1,1) -+ 1ь, заданного следующим образом: Г(х) = х(1)й — х( — 1), х Е С [ — 1,1). 0 168 а нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА и ОпеРАтОРы ][х]]=пьах1( п1ах [х(1)], тах ]х'(1)] 1 1е[-ьд[ йе[-г и] Пусть ]]х]] < 1, т.е. пьах [х (Х)] < 1. 16[-г д] тах ]х(1)] < 1, 1е[-1,1] Так как функция х Е С'(-1, 1] удовлетворяет на отрезке (-1, 1], 1 Е ( — 1, 1], условиям теоремы Лагранжа (П], то ]х(1) — х( — 1)[= = [х'(с) []1+ Ц, где с Е ( — 1, [). Тогда 1 1 >Р(х)< = (х(1) — х( — 1)) й < [х'(с)](1+ 1) й < о о 1 1 < 1 п1ах [х'(с)](1+ 1) й < / (1+ 1) й = —.
,/ се[-1л] 2 о о Следовательно, в соответствии с (4.20) получаем ][г'][ < —. 3 2 Для функции хо(1) = 1 с нормой ~)хо[[ = 1 справедливо равенство 1 ~Е(х )]= [й+1= —. 3 2 о Отсюда, согласно (4.20), имеем ]]г"][ ) —. В итоге [[г"[[ = —. 2 Пример 4.14. Интеграл 1 1(х) = [зх(1) й -1 В нормированном пространстве С1[ — 1,1] норма определена равенством (см. пример 4.4).
169 4.4. Лннейные ограниченные функционалы определяет линейный функционал в нормированном пространстве Ь1[ — 1,1) суммируемых (интеерируемых ио Лебееу) на отрезке [ — 1, 1) функций с нормой [И = [х(1) Ф. -1 Найдем норму зтого функционала. Если ~[х[[ < 1, то 1 1 [1(х)[ < 1'[х(1)[И1 < [х(1)['(1 = [[х[[ < 1. -1 -1 Позтому в соответствии с (4.20) Я < 1. Рне. 4.3 Рассмотрим последовательность (х„) функций вида О, 1Е[ — 1,1 — 1/и); х„(1) = и, 16[1 — 1/и,13, (рис. 4.3). Все зти функции принадлежат Е1[ — 1, 1).
Для каждого и Е М вычислим норму функции х„(1): 1 1 [[х„[[ = [х„(1)[й= ий = 1, 1-1/и 170 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ Так как 1 1 (Цх)! = г'х„(г) г(г = иг'41г = — 1 1-1/и =-(1 — ( --) 1=- -(3--+ —,)- 1 31, и / 3 п и п~ при и -тоо, то !Я = впр !7(х)! ) впр!7(х„)! = 1. циц(1 ив и Учитывая ранее установленное неравенство !!7!! < 1, получаем (й!=1 Ф Норма линейного функционала имеет простую геометрическую интерпретацию.
Множество элементов нормированного пространства Й, удовлетворяющих уравнению Р'и = 1,,назовем гнперилосностиью. Расстояние до этой гиперплоскости от нулевого злементиа 0 й гт' обратно пропорционально норме функционала Р, т.е. 1 тг= 1пг !)и!(= —. Риит !!Л' Действительно, согласно (4.21), имеем (г'и! 1 1 ()Г(! = впр — = епр = впр ифо !)тг!! и~о ~! — ~~ и= и !!о(! 1 1 1 Р„т !!о!! 1п1 !!и!! гг Пусть гго — подпространство нормированного пространстава Й и го — огРаниченный линейный фУнкционал в гто. Тогда продолжением этого фуннтгноно яа на все пространство гт' называют линейный функционал Р, определенный пай 4,5. Нормированное пространство линейных операторов 171 и такой, что г'те = Ром, и ЕЙо. Одной из центральных теорем о функционалах в нормированных пространствах является следующая.
Теорема 4.9 (теорема Хома" — Бамвха). Любой линейный ограниченный функционал Ро, определенный на подпространстве Йо нормированного пространства Й, имеет такое продолжение Р' на все нормированное пространство, что линейный функционал Р' ограничен в Й и ~~Г9~~1т = цгъ. 7р Доказательство этой теоремы можно найти, например, в учебниках А.Н. Колмогорова и С.В. Фомина или Л.А. Люстерника и В.И. Соболева. Ее геометрическяй смысл состоит в том, что всякий линейный ограниченный функционал го, определенный на подпространстве Йо С Й, может быть продолжен до линейного ограниченного функционала г', определенного на Й таким образом, что гиперплоскость в Й, заданная уравнением Р'и = 1, будет находиться от точки О Е Й на том же расстоянии 1/~)Щ, что и гиперплоскость в Йо, заданная уравнением Ром = 1.
4.5. Нормированное пространство линейных операторов Пусть А, В, С,, — линейные ограниченные оператпоры, областью определения которых является нормированное пространство Й, а множество значений лежит в нормированном пространстве И~. Множество этих операторов обозначим .С(Й,И) и (А + В)и = Аи+ Ви, (ЛА)м = ЛАи, и б Й, Л 6 хк. (4 24) Несложно проверить, что операторы А+В н ЛА являются линейными ограниченными и также принадлежат множеству Е(Й,Ю). Таким образом, на множестве Е(Й,И~) заданы операции сложения элементов и умножения элемента на число, и 'Г. Хаи (1879 — 1934) — австрийский математик.
172 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ ЦАЦ = впр ЦАи111и, Цийи<1 (4.25) т.е. точную верхнюю грань значений [[Аи[[1и на единичном замкнутом таре $3(0,1) (4.17) с центром в точке О 6 й. Как и для линейных функционалов, нетрудно доказать, что [[А[!= вар [ ~ло [1и11и и что нормой оператора А является точная нижняя грань множества всех чисел М, удовлетворяющих (4.19).
Отсюда следует справедливость неравенства ЦАиЦИ1 < ЦАЦ ЦиЦМ, и 6 й. (4.26) Проверим выполнение аксиом нормы (см. 4.1) в линейном пространстве Е(ь1,И1). Пусть ЦАЦ = О. Тогда из (4.26) следует, что Аи = О для всех и бй, т.е. А = О. Верно и обратное: если оператор А нулевой, то для всех и 6 й имеем [[Аи[[1у = 0 и иэ (4.25) находим 11А1[ = О. Согласно (4.25), имеем [1оА[! = впр ЦоАи111и =1о[ впр ЦАи[)в = (о) 1[А1[. ЦиЦ<1 1941<1 Наконец, используя (4.25), получим неравенство треугольника для норм операторов А, В 6 ь(П,И1): 11А+В[[= впр [[(А+В)и)[1к< Ций<1 < впр ЦАи11М1+ впр ЦВи()1т = ЦА[1+ ЦВЦ. Ций<1 ЦиЦ<1 легко убедиться в том, что для этих операций выполнены все аксиомы линейного пространства. Значит, множество операторов Е(й, И1) является линейным пространством [1Ч).
Отметим, что нулевым элементом этого линейного пространства является нулевой оператор. Норму в Е(й, И1) введем аналогично тому, как вводили норму для линейных ЦЦуннционалов (см. 4,4). Нормой линейного оператпоро А 6 Е(й, И') назовем число 4.Б. Норннрованное пространство вннейнмх операторов 173 Таким образом, пространство х".(74, Ж) линейных ограниченных операторов является нормированным с нормой, определяемой (4.25). Пример 4,15.
Оператор А: С[о,Ь] -6 С[о,Ь], рассмотренный в примере 4.8, является линейным ограниченным. Линейность его очевидна, а ограниченность следует из непрерывности (см. теорему 4.8). Найдем норму оператора А, если К(в,1) = е'+', в, Ь б [а, Ь]. Тогда оператор А определяется правилом СО= АУ 4=» ср(6) = ЕС+аС(В)Ссе, 6 Е [о, Ь]. а Пусть с — произвольная непрерывная функция, такая, что ]Я = тах ],с (в)] < 1. Тогда получим ая(а,6] ]]Ау]! = тая Сс ЕС+31(В) С]В = так ЕС 6 Ев С"(В) С]В < се(а,ь],/ ] се(а,ь] „Г а а 6 6 ь э]л ] < 6 а1 еь(еь еа) Следовательно, ]]А]] < еь(е -е'). Если 7е(в) = 1, в Е [о, Ь], то 6 ]]АЯ = псах 6 е +'с]в = еЬ(е — е ).
с е(а,6] с' а Так как ]]Я = 1, то ]]А]] ) еЬ(еЬ вЂ” е'). В итоге получаем ]]А]! = е6(еЬ еа) Теорема 4.10. Если пространство Ю бонохово, то и пространство С(64, И~) линейных ограниченных операторов бан ахово. 174 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ ~ Пусть (А„1 — фундаментальная последовательность элементов А„б С(Р, Ю).
Тогда, согласно определению 4.1, для любого я > 0 существует такой номер Ж(с) Е Я, что для любых т > Ю(е) и и > М(с) выполнено неравенство йА — А„й < с. Выберем произвольный элемент и Е й и рассмотрим последовательность (А„и1 элементов А„и Е И~. Она также фундаментальна в банаховом пространстве И~, поскольку, согласно (4.26), для то > Х(с) и и > Х(с) ))А м — А„и))мг = ))(А — А„)и))в < ))А — А„)) ))м))и < е))и))ц. Так как пространство Ю банахово, то (А„м1 сходится к некоторому элементу яв яэ И~. Любому элементу м Ей поставим в соответствие единственный (в силу единственности предела последовательности) элемент яп б Ю, который является пределом последовательности (А„и1, т.е. определим оператор А, удовлетворяющий равенству !пп А„м= Аи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
