XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 19
Текст из файла (страница 19)
3.7. В некоторой точке среды известен тензор скоростей деформации. Записать выражения для объемной мощности источников энергии, связанной с работой напряжений в идеаяьной и вязкой сжимаемой и несжимаемой средах. З.З. Вывести волновое (3.59) и телеграфное (3.61) уравнения из уравнений (3.58) Максвелла.
4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ Постановки задач математической физики, рассмотренные в части 1 этой книги, включают функциональные уравнения, связывающие искомые и заданные функции, принадлежащие некоторым множествам функций. Поэтому при изучении приближенных методов математической физики возникает необходимость использовать некоторые понятия и методы функционального анализа.
Одними из основных объектов изучения в функциональном анализе являются бесконечномерные нормированные пространства, элементами которых во многих случаях являются функции. В этой главе использованы некоторые положения функционального анализа, изложенные в [!Х). 4.1. Нормированные пространства Множество, между элементами которого установлены определенные соотношения, часто называют пространством.
Если такое множество состоит из функций, то говорят о функциональном пространстве. Так, если множество функций удовлетворяет аксиомам линейного пространства [1Ч], то его часто называют линейным функциональным пространством. Его элементами могут быть, например, скалярные или векторные (действительные или комплексные) функции. Векторные функции будем обозначать так же, как и векторы — полужирным курсивом [например, у, и, о), а скалярные — - светлым курсивом (например,1, и, п).
Пример 4.1. Множество всех определенных на числовой прямой Ж многочленов Р~[х) =аех +а1х +аь 1х+ая стев /с-1 пени не выше некоторого натурального числа к Е 1ч с произвольными действительными или комплексными коэффициента- 138 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ ми (с обычными операциями сложения функций и умножения на числа) является линейным функциональным пространством. Множества скалярных действительных функций нлн векторфункцнй, непрерывных илн непрерывно дифференцнруемых на отрезке [а,6], удовлетворяют аксиомам линейного пространства и поэтому являются линейными функциональными пространствами. В дальнейшем, если специально не оговорено, будем рассматривать линейные функциональные пространства, элементамн которых являются скалярные действительные функции с операцией умножения только на действительные числа. Если система (и„)„ч элементов линейного функционального пространства И является в И линейно зависимой (независнмой) [1Ъ'1, то для краткости эту систему будем называть линейно зависимыми (независимыми) функциями вИ.
В основном будем изучать бесконечноиерные линейные функционаяьные нросшрюнсшею, т.е. такие, в которых можно указать сколь угодно большое число линейно независимых функций. Под линейною оболочкой системы функций а„Е И, п Е г1, образующих (бесконечную) последовательность (и„), будем понимать множество всевозможных (конечных) линейных комбинаций функций этой системы. Систему (м„1 функций из И называют линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима. Линейная оболочка бесконечной линейно независимой системы (м„) функций является бесконечномерным линейным функциональным пространством. Пример 4.2.
Множество всех действительных функций одного действительного переменного, непрерывных на отрезке [ю,6), является линейным пространством (см. пример 4.1), причем бесконечномерным, поскольку для любого Ж Е г1 существует М линейно независимых элементов этого линейного пространства. Например, многочлены х", п = 1, Х, линейно независимы. Линейное пространство многочленов степени не выше некоторого натурального числа М конечномерно [1Ч). 132 4. Ь Нормнрованные пространства Говорят, что в линейном пространстве й задана норма, если каждому элементу и Е Р поставлено в соответствне действительное число Оий, причем верны трн аксиомы нормы: 1) йий > О и йиЙ = О тогда и только тогда, когда ()и!) =О; 2) ~!оий = 1о! 1~ий, о Е Е; 3) йи+ ой < йий+ йой, и, о Е Р (неравенство треугольника).
Линейное пространство, в котором задана норма, называют нормированным пространством. В случае линейного функционального пространства, в котором определена норма, говорят о функциональном нормированном простпранстпве, а норму элемента (функции) в таком функциональном пространстве называют кормой функции. Чтобы подчеркнуть, что речь идет о норме функции и в пространстве Й, будем писать Ои()р, а правило, которое устанавливает соответствие между функцией и 6 14' и ее нормой в й, будем обозначать |( ~)14. Отметим, что в нормированном пространстве Ы справедливо неравенство О < ~ йище — йий ~ < йи~ ой < йище+ йоши, и, и Е И.
(4.1) 1пп йи„— и)! = О. (4.2) Действительно, если в неравенстве треугольника (акснома 3) заменнть сначала и на и — и, а затем и на и — и, то получим неравенства йи(~ — 'йод < Ои — ий н йпй — йий < йп — и(). Учитывал равенства )! — ой = йпй и йи — пй = 'йп — ий (акснома 2), приходим к (4.1). Нормированное пространство й является метрическим пространством с метрикой, нндуцнрованной нормой, т.е. р(и, п) = = 'йи — ий, и, и Е Ы. Под сходимостью последовательности (и„) по норме й .
~)ц понимают сходнмость этой последовательности по метрике р, индуцнрованной нормой й ~~ц. Элемент и Е 14' называют пределом последовательности (и„) С й, сходящейся по норме, если 140 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ Понятия окрестности точки, внутренней, изолированной, граничной и предельной точки множества, фундаментальной последовательности, ограниченности, замкнутости и компактности множества, введенные для метрического пространства [1], применимы и для нормированного пространства. Определение 4.1. Последоватпельность [и„2 С И называют фундаментальной в нормированном пространстве И, если для любого числа г > 0 можно указать такое число Ю Е р), что при всех т > Ж и и > Ж верно неравенство йи — и„(] < х.
В полном нормированном 1банаховом*) пространстве любая фундаментальная последовательность сходится по норме. Банахово пространство будем обозначать символом 8. Пусть И вЂ” нормированное пространство. Напомним [1Х], что если для множества Х С И его замыкание Х, т.е. объединение Х со всеми предельными точками Х из И, совпадает с И, то множество Х называют всюду плогпным в И. С учетом определения предельной точки множества в метрическом пространстве [1] можно дать следующее эквивалентное определение. Определение 4.2. Множество Х С И называют всюду плотным в нормированном пространстве И, если для любого и б И и любого г > 0 найдется такой элемент и' б Х, что '0и — и''0' < г. Нормированное пространство И называют сепарабельным.
если в этом пространстве существует счетное всюду плотное подмножество. Пусть И1 СИ вЂ” лннейнал оболочка некоторой системы элементов и„, и е г1, нормированного пространства И. Если эта оболочка — замкнутое множество, то она является подпространством нормированного пространства И. Напомним, что систему элементов называют замкнутой в банаховом пространстве, если ее линейная оболочка является всюду плотной в 'С. Бквах (1892 — 1945) — польский математик. 141 4,1, Нормированные пространства этом пространстве. Замкнутость системы (и„) означает, что любой элемент и Е Ы можно сколь угодно точно (по норме этого пространства) представить конечными линейными комбинациями элементов данной системы, т.е. для любых и Е И и е > 0 можно подобрать такой номер Ю Е Я и такие коэффициенты а„Е К, п = 1, Ж, что для элемента Ф йы = ~~1 а„и„ ам1 будет выполнено неравенство ]]и — йл1]] < е.
Пример 4.3. Функциональное пространство непрерывных на отрезке [а, 6] действительных функций /(х) одного действительного переменного я является линейным (см. пример 4.1). Оно будет банаховым [1Х], если ввести норму 'ОЯ = шах )/(я)!. (4.3) )(/)) = (/(я)]пи, /б С[а,6], а (4.4) задает норму в С[а,6]. Но полученное нормированное пространство с нормой (4.4) не является полным. Покажем зто для случая [а, 6] = [О, 1]. Например, нетрудно убедиться, что последовательность непрерывных на отрезке [О, 1] функций (рис. 4.1) О, 0<я<1/2 — 1/и; ах+ 1 — и/2, 1/2 — 1/и < я < 1/2; (4,5) 1, 1/2<я<1, 1Р„(Х) = Это банахово пространство обозначают С[п,6].
В линейном функциональном пространстве С[о,6] можно ввести и другую норму. Из свойств интеграла Римана и неравенства треугольника для действительных чисел следует, что соотношение 142 4 НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ 2 о 2 Рис. 4.1 фр„— 1р [[= [ог„(х) — ~р (х)[Их= о 1/г ~~Р„(х) — у(х) ) Их < г/2-1/с 1/2 нх 1 4~ их+ 1 — -) Нх = — < с. 2) 2п 1/2-1/с Однако зта фундаментальнал последовательность не имеет предела в С[а.о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
