XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Кз постоянная Стефана — Больцмана. Плотность теплового потока, проходящего через диатермичную среду и падающего на этот участок с внутренней поверхности оболочки, обозначим д'(М). Этот поток частично поглощается, а частично отражается, т.е. 9'(М) = А(М) у'(М)+ К(М)с('(М), где А(М) н Н(М)— коэффициенты поглощения и отражения внутренней поверхности данного участка. В итоге для рассматриваемого участка (если не учитывать перенос тепловой энергии между соседними участками тонкостенной оболочки путем теплопроводности) получаем 9(М) + +А(М)д'(М) = д'(М)+н(М), или д(М) + А(М)д'(М) = (б(М) + с'(М)) ссдТ~(М).
(3.91) В (3.91) входят две неизвестные функции положения точки М Е Я: температура Т(М) этого участка и плотность д'(М) падающего на него теплового потока. Это означает, что постановка задачи пока не замкнута и необходимо использовать дополнительные соотношения. Примем, что распределение по направлениям излучения, отраженного от внутренней поверхности оболочки, является рассеянным (диффузным) и подчиняется закону Ламберта * с(Я, (М) = соя1зм11Я(М) с(11, М Е 5, (3.92) В(М) и'(М) где Й )' (М) — проходящий через телесный угол пй поток излучения, отраженного от площадки Ио'(М) под углом сзм к направлению внутренней нормали к оболочке в точке М Е о (рис.
3.9). 'Й. Стефан (1833-1893) и Л. Ббльцман (1844-1906) — австрийские физики. "И.Г. Ламберт (1728-1777) — немецкий математик и физик. Д.Э.2. Примеры задач, описываемых интеграяъными уравнениями 129 Рнс, 3,9 <Ц,(М) = соаезядйБ(М) Ий, М Е 5. О(М) (3.93) Нетрудно убедиться, что интегрирование (3.93) по поверхности г' полусферы радиуса г с центром в точке М Е Я приведет к значению О(М) НЯ(М), соответствующему потоку собственного излучения площадкой пЯ(М). Действительно, для телесного угла имеем Ий = ЙГ(гэ, Где ЙГ = гэе1П1рмспрмс1яр — площадь элементарного участка полусферы, на который опирается этот телесный угол (см. рнс. 3.9). Тогда получим ЙЯ, (М) ИР'= / Й4 е1п~рм сое~руйры = 9(М) )И(М) Г Г О О я/2 = 2д(М) НЯ(М) я)п ру с1(е1п езу) = е(М) НЯ(М).
0 Закон Ламберта строго справедлив для поверхности, обладающей свойствами абсолютно черного тела, но его допустимо применять и в случае достаточно щероховатой поверхности (в противоположность гладкой поверхности, отражение от которой является зеркальным). Будем считать, что распределение по направлениям собственного излучения также подчиняется закону Ламберта 130 э. мАтемАтические ЧОДели некОтОРых сРеД Аналогичный результат можно получить и для отраженного излучения.
В окрестности точки ЮЕ5 выделим участок оболочки с площадью внутренней поверхности Н5(Ю) (см. рис. 3.8). О этого участка на площадку И5(М), согласно закону Ламберта, направлен поток й~„(Ю) = — сояул~Ы5(Х) Нйм собственное(М) го излучения и поток Й~у'(1Ч) = й(Х) — соя~рчсБ(Ж) Ийм я'(д') излучения, отраженного от этого участка. В данном случае с1й~я = Й5(М) —,', где 1зям — расстояние между точками Ж Ри и М, а Ру и Рм — углы прямой ХМ с внутренними нормалями к оболочке в точках Ю и М соответственно.
В итоге на единичную площадку внутренней поверхности оболочки в окрестности точки М б 5 падает посылаемый площадкой И5(М) поток плотностью дд~ч(М) = сояум совр~рй5(М), е(Ф) + й(Ю)д'(Х) (им . Если проинтегрировать правую часть этого равенства по всей поверхности 5, то найдем плотность суммарного теплового потока, падающего на площадку в окрестности точки М Е 5: д(М) = /(д(М) ~-Я(Ж)д~Ж)) ~М Ж) ЩМ~. (394) Здесь соя уМ сову~у (мм Отметим, что при вычислении интеграла в (3,94) точка М б 5 фиксирована.
Обозначим 9'(М) = ооТч(М). Тогда д(М) — е(М)9~(М) Ч'(М) = а'(М)д'(М) и вместо (3.91) можно записать 9(М)+А(М) 9'(М) = (,(М)+, (М))» (М). (393) Д.З.2, Примеры эалач, описываемых интегральными уравнениями 131 Выражая и' из (3.95) и подставляя в (3.94), приходим к интегральному уравнению относительно функции д'(М), М Е э': е(М) + е" (М) А(М) Е(Х) + (Х)Е (Х) о(Х) (М Х) ~~(Х) А(Х) — 9(Х)ь~(М, Х) оЯХ). (3.96) А(М),/ А(Х) ' Решение этого уравнения позволяет найти установившееся распределение 1/4 температуры Т(М) = (д'(М)/еео) по поверхности 5 рассматриваемой оболочки, Для сферической оболочки оол4 = = ~ру и ьэ(М, Х) = 1/(4хге) = сопв1 (рис.
3.10), где ге — радиус оболочки. В этом случае из (3.94) следует, что Рнс. 3.10 д'(М) = — 1 (е(Х)е1'(Х) + й(Х)д'(Х)) е(Я(Х) = и' = сопя1, 4пте,/ эо т.е. в окрестности любой точки М Е эе внутренней поверхности 5е сферической оболочки плотность и' падающего потока одинакова. Подставляя в это равенство д'(Х) из (3.95), нахо- дим /" е'(Х)А(Х) йЯ(Х)э( ' /'е(ХЯ(Х) ЙЯ(Х) ,/ е(Х) +е~(Х) ! э' е(Х) + е*(Х) Ео Ео и затем при помощи (3.95) вычисляем Т(М) = ' ,(» (М) (3.98) 132 3. мАтемАтические мОДели некОтОРых сРеД Пусть свойства внутренней и внешней поверхностей оболочки соответствуют серому телу, т.е. е(М) = А(М) = с = сопес и е'(М) = е* = сопяс, М Е 5о.
Тогда, согласно (3.97), в (3.98) имеем д'=, / д(Ж) И5(Х). 4ягос* / ло (3.99) Примем, что 4(М) — плотность поглощенного внешней поверх- ностью сферической оболочки потока солнечного излучения на околоземной орбите. Если направить ось Оя отсчета угла а на Солнце (рис. 3.11), то получим при 0 < 11 < 2х е*дя сова, 0 < а < —; йа) = 2' О, — <а<и, 2 (3ДОО) где дя — солнечная постоянная, ха рактеризуюшзя плотность потока солнечного излучения на среднем расстоянии Земли от Солнца (примем, что (дл/оо)'~4 = 390К). Полагая для сферы оЯ= гозыпаНаЩ из (3.98) — (3.100) при е' = е находим, что установившееся распределение температуры, симметричное относительно оси Оз, на освещенной стороне оболочки будет Т(а) = 328 — +сола К, 1 4 Рис.
З.21 Наибольшая температура Т „= 347 К соответствует значению а = О, а вся неосвещенная сторона оболочки имеет температуру Т;„= 232 К. Пример 3.6. Пусть рассмотренная в примере 3.5 сферическая оболочка Яо радиуса го имеет толщину о, а материал оболочки обладает теплопроводностью Л. Составим уравнение Д.З.2. Примеры задач, епиеываемы» интегральными уравнениями 133 переноса тепловой энергии излучением с учетом передачи теплоты путем теплопроводности, считая по-прежнему температуру по толщине оболочки однородной.
Теперь баланс тепловой энергии участка оболочки в окрестности точки М Е Бе вместо (3.91) примет вид иЛ'Т(М) + 9(М) + А(М)9'(М) = = (е(М) + е" (М)) оеТ~(М), (3.101) причем в данном случае оператор Лапласа от искомой функции Т(М) температуры следует вычислять по поверхности сферы [Н1) дт .
ат 1 02Т 2 ' ( у+ 2 2 2' — „2;„Д (, н ~ „г;„2 0112' где о, 13 — угловые координаты точки М Е Яе (см, рис. 3.11). 2 д'Т Отметим что Ч2Т = — —, при оо = 0 и о = л. го дно о Используя (3,101), вместо (3.97) теперь получаем 9(Д~) + АьеогТ(М) Е(Ю) + о" (Ю) о Яо 1 е'(Ф) А(Д7) оБ(М) ,/ е(Ж) +е'(Ю) и, подставляя в (3.101), приходим к интегро-дифференциальному УРавнению ~й~ Т(М) = (е(М) +ео(М))о То(М) й(М) .(ао) ~( ) ~~~2Т(М) О (2 О ) + Ео (М) А М о ( е (Ф)А(Ж)е15(У) / Я(Ф)+,*(Дт) ео относительно искомой функции Т(М), М Е Яе. 134 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД Вопросы и задачи 3.1. Доказать, что для идеальной жидкости (газа) мощность напряжений можно представить в виде — —.
Р А> р <и 3.2. Показать, что равновесие покоящейся идеальной жидкости (или газа) возможно лишь при условии Ь(~7 х Ь) = О. З.З. Доказать, что разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор единственно. 3.4. Значения компонент (в МПа) тензора напряжений в некоторой точке среды заданы матрицей Разложить его на шаровой теизор и девиатор.
Найти вектор напряжения, действующий в проходящей через эту точку площадке с единичным вектором нормали и =2е1/3 — 2ез/3+ез/3, где е;, г = 1,2,3, — орты прямоугольной системы координат Ох1хзхз. Вычислить модуль этого вектора, его проекцию на направление вектора нормали и угол между этими векторами. З.б. Вывести (3.20) нз (3.19). 3,6. Используя (3.31), получить зависимости компонентов тензора деформаций от компонентов тензора напряжений и вывести (3.34).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
