XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Навье (1785 — 183б). Эти уравнения в виде, соответствующем (3.20), были получены в 1845 году английским физиком и математиком Дж.Г. Стоксом (1819-1903). В отличие от идеальной жидкости при контакте вязкой жидкости с твердым телом отсутствует проскальзывание, возникает эффект прилипания. Поэтому при задании граничных условий должны совпадать векторы скорости частиц жидкости н точек такой границы (а не только нх проекции на направление нормали к границе). Для несжимаемой (~7и = О) неоднородной вязкой жидкости с постоянным значением г7 уравнения неразрывности (2.2), (2.4) и уравнение (3.20) в виде ди г р — = Ь вЂ” С7р+ г7Ч7 и с11 (3.21) образуют замкнутую систему относительно неизвестных функций р(г,х), и(1,х) и р(1,х).
Неоднородность несжимаемой жидкости может быть вызвана зависимостью ее плотности от температуры или от концентрации растворенной в жидкости примеси. В поле тяготения такая неоднородность приводит к изменению векторного поля объемных сил. Если несжимаемая жидкость однородна, т.е. р = сопя1, то в указанной системе 94 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД Пример 3.1. При достаточно медленном движении вязкой жидкости можно пренебречь в (3.21) инерционными силами, приравняв правую часть нулю. Тогда в частном случае течения однородной несжимаемой вязкой жидкости параллельно координатной плоскости хгОхг получим систему уравнений д1г ег — — + дхг д1г 6з — — + дхг дог доз — +— дхг дхг (3.22) Ясно, что последнее уравнение в (3.22) превращается в тождество, если ввести функцию г1г, удовлетворяющую соотноше- ниям дгд дг1г в1 ) ог (3.23) дхз дхг (ее называют фуммциег3 гтгогяа). Физический смысл этой функции состоит в том, что она постоянна вдоль каждой линии тока, которая при установившемся течении совпадает с траекторией частиц жидкости, а расход жидкости между двумя любыми линиями тока пропорционален разности значений гд, соответствующих этим линиям.
диг дю Функцию ь = — — —, характеризующую угловую скодхг дхг ' рость вращения частиц жидкости при движении в плоскости, называют завггхренмосгггью. Учитывая (3.23), получаем урав- нение для для — + — = — ~, дхз дхз (3.24) уравнения (2.2) и (2.4) равносильны и система (2.4), (3.21) будет замкнута относительно функций о(1,х) и р(1,х). Рассмотрим один из путей модификации лгагпематическог1 модели, содержащей систему (2.4), (3.21), на сравнительно простом примере двумерного течения.
З.г. Модели ялэкой жидкости связывающее функцию тока и завихренность. Если продиффе- ренцировать первое уравнение в (3.22) по хг, а второе — по х1, и из второго результата вычесть первый, то получим уравне- ние Пуассона дЬг дЬ! г дг~ дг~ ~ дх1 дхг ~дхэ дхгг) (3.25) дгр дгр дЬ, (3.26) г+ г + дх', дх,' дх1 дхг Обычно контур Г, ограничивающий двумерную область Ь, в которой рассматривают течение жидкости, содержит участки, соответствующие твердым стенкам. На таких участках не удается задать в корректной форме граничные условия для завихренности и давления и при решении прикладных задач эти условия обычно получают последовательными приближениями из (3.24) и первых двух уравнений (3.22) соответственно.
Отмеченные трудности можно частично преодолеть, если из (3.24) и (3.25) исключить завихренность и получить уравнение четвертого порядка дг дг дзэн дзэн 1 д6г д61 относительно функции тока. Для левой части (3.27) используют запись ~уг(э(ггэ6) (иногда 574ф или глгэД, если оператор Лапласа обозначают гз), имея в виду, что в данном случае оператор Лапласа действует в плоскости. При этом оэгераэгэор %'г~г называют биеармомвчесээилэ. не содержащее давления р. По найденной из (3.25) функции ~ затем из (3,24) можно найти функцию тока э6 и из (3.23) вычислить проекции сч вектора скорости на координатные оси Охы Охг. Если необходимо найти поле давления, то дифференцированием первого уравнения (3.22) по хм второго — по хг и сложением результатов с учетом третьего уравнения (3.22) приходим к уравнению Пуассона 96 3.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД Если векторное поле объемных сил является потенциальным, т.е. Ь = ~7В, то — = — и (3.27) переходит в бнеармоннне- дМ дМ д, дс, ское уравнение ~73(~зя)) = О. Функцию, удовлетворяющую такому уравнению, называют бнеармоничесной. Несмотря на высокий порядок бигармонического уравнения, математическая модель течения вязкой жидкости на основе функции тока имеет то преимущество, что появляется возможность корректно сформулировать граничные условия.
Согласно физическому смыслу функции тока, на непроницаемом для жидкости участке контура ее значение не изменяется, т.е. 4 = сопя(. Если весь контур Г, ограничивающий односвязную область Р (рис. ЗА), является непроницаемым, то на нем можно принять 4~ = О. На участке Г. (рис. 3.2), через который жидкость вытекает из области Р (или поступает в зту область) и на котором задана скорость течения и'(Р), Р Е Г„, нетрудно вычислить изменение функции тока я(Р) ф(Р) = )О(А) + о'(Р')п(Р') с(л(Р'), Р Е Г„ о где Ф(А) — значение функции тока в точке А е Г., от которой отсчитывают длину л(Р') дуги до текущей точки Р' 6 Г.
с единичным вектором п(Р') внешней нормали. п(Р ') Рис. 3.1 Рис. 3.2 97 З.З. Модели ввзкой жидкости Если в области Р до решения задачи можно установить линию Го симметрии течения (см. рис. 3.2), то она будет совпадать с одной из линий тока, на которой г6 = Се = сопя$, а в точках Р Е Ге частицы жидкости не будут вращаться, т.е. ЦР) = О, и в соответствии с (3.24) тУгтг(Р) = О.
Совмещал в любой точке Р е Ге осн координат с направлениями 1(Р) касательной и п(Р) нормали к линии симметрии, в силу инвариантности оператора Лапласа относительно поворота ортогональной системы координат [Ъ'П) получаем дгц(р) дг,в(р) д1г(Р) дпг(Р) Но так как Я Р) = сопяФ, Р Е Ге, то дгЦ Р) а (Р) и, следовательно, в качестве граничного условия можно взять дг МР) — = О. дпг(Р) дф(Р) дп(Р) = тг'(Р) й(Р) = пг (Р), Р Е Г', (3.28) где с(Р) — единичный вектор в направлении касательной к контуру в точке Р Е Г, повернутый относительно единичного вектора п(Р) внешней нормали против хода часовой стрелки, Ясно, что в случае неподвижной стенки и,'(Р) = О. Аналогичные рассуждения можно провести применительно к свободной поверхности жидкости (участок Г на рис. 3.1), если пренебречь трением жидкости с воздухом (или иным газом) на этой поверхности.
Однако на участке Г', соответствующем твердой стенке, происходит прилипание частиц жидкости и в точках Р Е Г вектор и(Р) скорости жидкости равен заданному вектору и'(Р) скорости стенки (например, при вращении сосуда с жидкостью). Поэтому в соответствии с (3.23) имеем на такой стенке 98 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД Таким образом, модель вязкой жидкости позволяет задать в каждой точке контура Г по два граничных условия для функции тока 4~, необходимых для решения уравнения (3.27) с бнгармоннческнм оператором. Этн граничные условия можно записать в достаточно общем виде следующим образом: ЯР) = уо(Р),, = 71(Р), Р Е Г1 С Г; дЦ Р) ЦР) =9'=сопяс,, =О, РЕ Гг =Г1Г1, дг4(Р) дп' (Р) (3.29) где уе(Р) н 11(Р) — заданные функции точки на контуре Г, ограничивающем область Р, а число Ф можно прннять равным нулю.
3.3. Упругое твердое тело Переходя к уравнению состояння твердого тела, ограничнмся математической моделью лннейно упругой нзотропной среды. Эта модель в выбранной прямоугольной системе коордннат Ох1хгхз связывает компоненты об тензора напряжений с компонентами тенэора деформаций 1 /ди; дну~ 2 ~дху дх, (З.ЗО) где и; — проекции вектора и перемещения точек тела, линей- ными соотношениями оу — — Айбб + 27геб, 0 = ем + егг + язз = с„= 17и. (3 31) 'Г. Ламе (1705-1870) — французский математик и инженер.
"Р. Гук (1635- 1703) — английский ученый. Здесь с1 — объемная деформация, А н р — конспгонпгьа Ломе . Соотношения (3.31) выражают так называемый обо6- и4енньай зокон Гукй, а (З.ЗО) называют соонгношенилми Комли. 99 З.З. Упругое твердое тело Из (3.31) для среднего нормального напряжения находим и' = (Л+ -й) ет = К 6, (3.32) а для компонентов девиатпора напряжений получаем вб =2йеб, лбе но — — 04„1,,1 =1,2,3. (3.33) 1 Коэффициент К = Л+ — й называют модулем объемного сжа2— 3 тия, а 1л — модулем сдвига. В инженерных задачах чаше используют коэффициенты Е=р, и= ЗЛ+2а Л (3.34) Л+Р ' 2(Л+р)' причем ~7м = с1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
