XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Эйлером в 1755 году. Их можно представить в векторной форме: Й~ р — = ь-'рр. Й (3.2) Принимая во внимание, что (Ъ'П] ди дтт до 1 — = — + (и 17) и = — + - ватт — о х (%т х о), й д1 д1 2 можно записать (3.2) также в виде 2 "р — «- — ~7о2 «- — = — «- тт х (~у х и). д1 2 р р (3,3) При умеренных давлениях жидкость обычно считают несжимаемой.
Если несжимаемая жидкость однородна, т.е. р= = р' = сопя|, то при заданном значении р' (3.1) и уравнение нераэрывностпи йо = О (2.4) образуют замкнутую систему четырех уравнений относительно четырех неизвестных функций и«, 1= 1,2,3, и р. Несжимаемая жидкость может быть неоднородной, т.е. состоять из частиц, имеющих различную плотность, но сохраняющих ее в процессе движения неизменной (т.е.
3.1. Модели идеальной жидкости (гата) — = 0). Тогда к указанным четырем следует добавить уравдр ~й пение — ~+ х7(ро) = 0 (2.2). Оно позволяет найти функцию р = др де = р(т, х), описывающую распределение плотности неоднородной несжимаемой жидкости в пространстве в различные моменты времени 1, если в момент времени 1= О, принимаемый за начальный, задано начальное распределение ре(х) = р(0, х). Пусть при р = р' = сопяе векторные поля скорости однородной несжимаемой жидкости и объемных сил являются потенциальными, т.е. ~7 х э = О, и = х7<р и Ь = тУВ, где ~р и В— действительные функции, зависящие в общем случае от времени и пространственных координат.
Тогда (З.З) принимает вид С7( ~+-(1ур)'+", ) =О. (3.4) Отсюда следует интаеграл Комли — Лагранжа ВР ) 2 Р — +-(1~'р) + =д(1) дС 2 ро (3.5) из р —  — + — = сопе1. ре (З.б) Это уравнение Д. Бернулли установил в 1738 году для течения жидкости в поле силы тяжести, т.е. при В = — р'дехз, где де— "Д.
Бернулли (1700 — 1782) — швейцарский математик и механик. причем для нахождения функции д(т) достаточно располагать зависимостью от 1 левой части (3.5) в какой-либо одной точке области движения жидкости. Из (2А) получаем, что нотенциал скоростпи у удовлетворяет уравнению Лапласа 172<р = О, т.е. является гармонической функцией. При установившемся движении — = 0 и (3.5) переходит в дч де известный интаегра а Бернулли* 88 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД ускорение свободного падения, а зз — координата, отсчитываемая вертикально вверх. Если плотность среды зависит только от давления, то процесс в такой среде называют баротропным.
Газ называют совершенным, если он подчиняется уравнению состояния 13.7) р= рКТ, с„ИТ+ рИ(1/р) = О, (3.8) где с, — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. В (3.8) первое слагаемое характеризует изменение внутренней энергии газа, а второе — работу давления при изменении объема 1/р единицы массы газа. Из 13.7) находим 4 РФ 6Т= — —— рй рзВ и, подставляя в 13.8), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными интегрирование которого приводит к зависимости Р= Ср~, С = сопв1 (3.9) И где 7 = 1+ — = — ' — показатель адиабаты; с — удельная с, с, и теплоемкость газа при постоянном давлении.
где й — удельная газовая постоянная для данного газа. Движение совершенного газа является баротропным процессом при известной температуре Т газа или же при отсутствии теплообмена частиц газа между собой и с внешней средой, т.е. в случае адиабатического течения. Действительно, в этом случае для единицы массы газа 89 3.1. Модели идеальиой иидиости (газа) р )' и ро где ро — некоторое заданное значение давления, полагая, что ор 1 плотность газа возрастает с ростом давления, т.е. — = —, > О.
4 Р(р) Тогда -~7р= т7Р, так что из (3.3) при 17 х о = О следует 1 Р— +-(АР) +Р- Вр — 6(1), дур 1 д1 2 (3.1О) причем функцию Ь(1) можно найти тем же путем, что и функцию й(1) в (3.5). Дифференциал функции давления можно представить в виде Ир а ар ) Р Р Отсюда следует, что а = — = )~(р) > О. ИР 1 Ир 1 сУ' р 111 а2 <~~ Тогда, используя уравнение неразрывности в виде (2.3) и зави- симость о = ~7<р, имеем 1 йР— — +~721Р = О.
а2 111 (3.1 1) Таким образом, в случае баротропного движения газа зависимость р= 7(р), уравнения Эйлера (3.1) и уравнение неразрывности (2.2) образуют замкнутую систему относительно пяти неизвестных функций о1, е2, ез, р и р. Если векторное поле плотности Ьр — — Ь/р объемных сил, приходящихся на единицу массы газа, является потенциальным, т.е. Ьр — — ч7ВР, где Вр— действительная функция, зависящая в общем случае от времени и пространственных координат, то при потенциальном движении газа, когда о = ~712, можно получить интеграл Коши— Лагранжа (3.5).
Для этого введем функцию давления 90 и, мАтемАтические мОДели некОтОРых сРеД Система (3.10), (3.11) замкнута относительно неизвестных действительных функций Р и <р, поскольку а~ можно также представить как функцию Р. Например, в случае адиабатического течения, учитывая (3.9), получаем о~= — =ТСР~ = У вЂ”, з '!р ч ! р "Р Р (3.12) а для функции давления р Р г ( Нр Г,, гс,,( а тс Р=~ — =тС~ р - ~р= — Р - = — — — р,—, Р ч — 1 у — 1 ~ ! ро ро д1р 1 дР— +~ =0, —,— +~ р=о, д! ' а д! где а~ = сопя! — значение — вычисленное для невозмущенного Ир о= состояния.
Исключая отсюда Р, получаем так называемое волновое уравнение — =а 17у др 2 2 д1з (3.!3) которое является дифференциальным уравнением гиперболического типа. Значение ао имеет смысл скорости распространения волн в газе и носит название скорости звука. Если в невозмущенном состоянии газ имеет температуру Т, то для /рр ~ ~1/~ где ро = ( — ) .
Отсюда следует линейная зависимость а 2 (, С.) = (Т- !)Р+Ср," ' = (т- !)Р+С'! р, '" . В ряде прикладных задач азродинамики и акустики течение газа можно рассматривать как возмущенное относительно известного движения или состояния покоя. Так, при малых возмущениях около состояния покоя систему (3.10), (3.11) можно линеаризовать и привести к виду 91 З.З.
Модели влэкой жидкости адиабатического течения из (3.7) и (3.12) следует известная формула ав = ~чЛ7. И. Ньютон предполагал, что при распространении звуковых волн течение газа изотермическое, и получил для скорости звука выражение МГВТ. Эта ошибка позднее была исправлена П.С. Лапласом. При установившихся колебаниях с некоторой частотой ш функцию уг можно представить произведением зависящей только от времени 1 периодической функции вида в1пы1 или совоА (или линейной комбинации этих функций) и функции и, зависящей лишь от пространственных координат и описывающей форму волны.
Тогда (3.13) переходит в уравнение эллиптического типа г ~ и+ — и=О, ао (3.14) 3,2, Модели вязкой жидкости В отличие от идеальной (невязкой) жидкости при движении вязкой жидкости компоненты шензора напряжений в выбранной прямоугольной системе координат Охгхгхз в общем случае могут принимать произвольные значения. Рассмотрим наиболее простую модель иэотропной вязкой жидкости, связывающую ноипоненты аг тензора напряжений с компонентами называемое уравнением Гельмгольца.
При взаимодействии идеальной жидкости (идеального газа) с непроницаемой границей области течения из-за того, что вектор напряжения коллинеарен вектору и нормали к границе, возможно проскальзывание частиц, т.е. отсутствует их прилипание к границе.
Поэтому на таких границах совпадают проекции векторов скорости жидкости (газа) и заданной скорости со границы на направление нормали, т.е. ни= сои, или (в случае потенциального поля скорости) (%'р)и = иои. На свободной границе области должно быть задано давление, а на проницаемых границах — вектор скорости или давление. 92 3.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД тпензора скоростпей деформаций 1тдо; до,~ 2 ~дхб дх;)' (ЗЛ5) линейными соотношениями о;~ = — рб17 + Iс(37о) б,; + 2~об, т, у = 1, 2, 3, (3.16) где коэффициенты й и и характеризуют вязкое сопротивление при движении среды, а бб = 1 при т = т' и б;, = О при т фу' (тпекзор втпорого ранга с компонентами бо называют единиикььм). В этой модели предполагают отсутствне проскальзывания частиц жидкости на границе с твердым телом, т.е. векторы скоростей жидкости н твердого тела в точках такой границы совпадают [в точках неподвижной границы скорость жидкости равна нулю). Из (3.16) следует, что среднее нормальное напряжение равно о' = = — р+ (й+ -т1) ~о. (3.17) 1 л,; = 2тф , ~; = (; — -(17о)б,, т, т' = 1, 2, 3, (3.18) 3 где Ц являются компонентами девиаптора скоросптей деформаций. Они характеризуют скорость изменения формы частицы среды постоянного объема путем сдвиговых деформаций.
Поэтому т1 называют коэффициентом сдвиговой вязкости. Так как ~о характеризует скорость изменения единицы объема 2 среды в окрестности точки с радиус-вектором х, то й+ -т1 в (3.17) называют коэффициентом объемной вязкости. Тензор напряжений, для которого о' = О, называют девиатпором наирлэкений.
Любой тензор напряжений можно представить суммой шарового тензоро и девиатора с компонентами тц = о, — о'б, . Из (3.16) следует, что 3.2. Молоди иконой жидкости Если подставить (3.1б) в уравнения движения (2.85), то с учетом суммирования по повторяющемуся индексу у получим Ио; др дк1о и дгф, р — '=Ь; — — + — +2 '~, 1,у=1,2,3, (3,19) с(1 ' дх, дх; дх Отсюда при постоянных й и т7 с учетом (3.15) приходим к векторной форме уравнений Навье — Стиомеа р — = Ь вЂ” ~7р+ (й+ 0)ч7(чуи) + т717 и. (3.20) й1 г й Уравнения движения вязкой жидкости при упрощенных предположениях вывел в 1822 году французский инженер и механик А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
