XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В частности, в точках поверхности, ограничивающей векунорную унрубкд в таком поле, допустйм разрыв векторной функции, но ее проекция на нормаль к этой поверхности равна нулю. Условие вида (2.23) позволяет строить так называемые негладкие и разрывные решения задач математической физики, не удовлетворяющие (2.19) во всех точках рассматриваемой области, путем „сшивания" гладких решений, полученных в подобластях, где (2.19) сохраняет силу.
Такие задачи возникают при изучении процессов переноса массы, например, в неоднородной несжимаемой среде с резким или скачкообразным изменением плотности, в сжимаемой среде со скачками уплотнения и ударными волнами. Эти соображения вызывают естественное стремление попытаться использовать дивергентную форму уравнения неразрывности для общего случая неустановившегося во времени движения сплошной среды. В этом случае функции р и о в уравнении неразрывности (2.2) зависят не только от пространственных координат, но и от времени 1. Аналогично (2.20) запишем (2.2) в координатной форме: 50 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ дифференциальную операцию дивергенция при помощи опера- тора 1 д д д д 1 д ~7 = — е1 — +е1 — +ез — + ез — = — е4 — + ~С, (2.26) оо дС дхс дхз дхз оо дС который аналогичен дифференциальному векторному оператору (1.19) (см.
Д.1.1). В соответствии с правилом стандартного скалярного дмнозкения, учитывая (2.25) и (2.26), вычислим др дрос дрог дроз ~7г = — + — + — +— дС дх, дх, де. Сравнивая правую часть зтого равенства с (2.24), приходим к выводу, что уравнение неразрывности в пространстве К4 можно записать в виде ~7г = О. (2.27) Такую форму представления уравнения неразрьавностн будем называть обоб444енно41 днвергентноб. Пусть à — произвольный изменяющийся во времени объем, ограниченный движущейся поверхностью 5 (см.
рис. 1.1), точки которой перемещаются со скоростью о(С,х) среды. В таком объеме масса т среды будет неизменной во времени (см. 2.1). Обозначим через ся С (Со, Сс) промежуток времени С, в течение которого происходит движение среды, и рассмотрим область й = ся х %' С К4 с границей дй (рис. 2.2).
Интегрируя (2.27) по области й и применяя в К4 фор.кулу (1.26) Остроградского (см. Д.1.1), получаем (2.28) где й — единичный вектор внешней нормали к дй (в данном случае ССй = ССС Л' и 41(дй) = 4СС 4СБ). Пусть в области й существуют точки М(С; хс, хз,хз) 6 й, в которых функция г(М) не является непрерывной или же 3.3.
Дивергеитиав форма уравнении нераарывноети 51 Рис. 2.2 ~р(1,х) = О, (2,29) где у(е,х) — действительная функция, непрерывно дифференцируемзя по времени 1 и пространственным координатам х;, 1= 1,2,3, радиус-вектора х точки М Е Кз, причем частные производные этой функции по пространственным координатам не обращаются одновременно в нуль в любой точке М'(е; хб хз1 хз) Е дй*, т.е. ]~7ф] ф О. Тогда по аналогии с выражением для вектора нормали к поверхности в Кз '1Ч] получим с учетом 12.26) выражение 1 дд ду др ду та' = — — е~+ — е~ + — ег+ — ез = Фу, (2.30) ге д1 дх! дхз дхз определяющее в Ка вектор, который можно рассматривать как вектор нормали к дй* в произвольной точке М" Е дй". не имеет непрерывных частных производных по координатам этих точек.
Тогда интеграл по области Й в (2.28) аналогично интегралу по трехмерной области Ъ' в 12.21) сохранит свое значение, равное нулю, если такие точки образуют множество Й* С Й с мерой Лебега, равной нулю. Но при этом первое равенство в (2.28) может не иметь места. Пусть такое множество дй* С Й является в К4 гладкой поверхностью ~Ч] и делит область Й на две подобласти Й1 и Йз так, что Й10Йз0 дй' = Й и Й1 П Йз Г~ дй* = И. Множество дй" С К4 зададим уравнением 52 2.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ Рис. 2.З Если через г~ и г~ обозначить пределы функции г(М) при стремлении к точке М' Е дй' точек М1 ~ й~ и Мз Е йз соответственно, то, используя ту же процедуру, что и в случае установившегося переноса массы, в произвольной точке М" Е е дй* приходим к условию гЛ =гзй" на дй", (2.31) ~Р М~) 1 ~(М1) ~(М ) а~-+о Ж (2.32) где М1 Е д,* — точка пересечения 5; с прямой, лежащей на направлении единичного вектора ~7у(~, и) ~Ч~($, ) ~ (2.33) при выполнении которого сохраняет силу первое равенство в (2.28). Теперь в трехмерном пространстве льз с системой координат Ох1хзхз рассмотрим подвижную поверхность, заданную тем же уравнением (2.29). Пусть в момент времени ~ зта поверхность занимает положение 5' и за время Ь1 переходит в положение 5; (рис.
2.3). Вектор скорости о'(1, М') перемещения поверхности 5' в точке М' Е 5' определим как предел 2.2. Днвергентная форма уравнения неразрывности 53 нормали к Я в точке М' б Я', а х(М') и х(М*) — радиус- векторы точек Мс' и М' соответственно. Так как ср(с,х(М")) = =0 и ср(с+Ь(х(Мс)) =О, то в линейном приближении с учетом (2.33) получаем ср((+ сас(,х(М;)) — ср((,ж(М )) = ' с5с(+ дср((, х) ххх(М') + ~УР((,х) (ж(М, ) - ж(М')) = Ь(+ дссс((, ж) х=х(М ) д( х=х(М') + ~~р(Е,х)~ тс'(М')(х(М;) — х(М')) = О. ххх(М 1 Отсюда в силу того, что векторы х(Мс*) — ж(М ) и тс'(М') являются коллинеарными, имеем ( ( ..) 1 дср((,х)~ ~~Р((,х)~ д( ~,х, м.( и после подстановки в (2.32) находим ((,М ) = — 'о( ' ) 1 ."(М').
(2.34) 1~~ рИ х)11х=х(М ( Учитывая, что в (2.30) Ф(о = — — ес+ т р, и используя (2,33) (ар ее ос и (2.34), запишем та" (М') = — ' ес+ та'(М'). (2.35) ссо Тогда вместо (2.31) с учетом (2.25) и обозначения [ ) скачка значений функции при переходе через поверхность разрыва Я в направлении, противоположном вектору та', в любой точке 54 2.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ М е 5 имеем (р(1, х(М"))в(1, х(М"))т4'(М')1 = = ~р(1,х(М"))1в" (1, М")4э" (М*). Отсюда следует, что если поверхность э' неподвижна относительно системы координат Ох4хэхз, т.е. функция ~р не зависит от 1 и ~п'(М')~ =О, то для любой точки М' 6 э' верно условие (2.23).
Если же для каждой точки М' Б 5* в фиксированный момент времени 1 ввести свою совутвсп4еуюм4ую систему моордиманч, начало которой имеет скорость, определяемую вектором о'(1,М ), то в такой системе координат будем иметь [р(1,х(М'))4н(1,х(М ))4э'(М*)~ = О, М" 6 5', (2.36) где 4н = и — и — вектор скорости движения среды относитель- но точки М" е л', Пример 2.2. Пусть среда раэнородна н состоит нз смеси и веществ, плотность и скорость которых описывают функции р("1(1,х) и в1ь1(1,х), я = 1, и, непрерывно дифференцируемые в области й С Е4 по всем своим аргументам.
Тогда для каждого й-го вещества вместо (2.15) получим обобщенную дивергентную форму закона сохранения массы в виде (2.37) где т„, (1,х) — непрерывная в области й С 1ь функция, харак. (/с1 теризующая скорость образования этого вещества в единице объема эа счет превращения из других веществ, а И~1 отличается от г в (2.25) лишь верхним индексом й у функций р и о. Интегрируя (2.37) по области й и используя формулу Остроградского в виде (1.26), получаем 2.3. Днвергентнав форма уравнения нераэрывноетн 55 где, по-прежнему, дй — граница области й, а й — единичный вектор внешней нормали к дй. Пусть теперь множество дй" С й точек, в которых функция т1~) не имеет непрерывных производных или разрывна, делит область Й на Две поДобласти й| и йя = (й1дй") ~йм пРичем на дй" может происходить образование )с-го вещества за счет превращения из других веществ со скоростью тд .
Если . 1ь) дй* является в й множеством, мера Лебега которого равна нулю, то интеграл по й в (2.38) не изменит своего значения и второе равенство в (2.38) сохранит силу, но первое равенство в общем случае не будет иметь места.
Действительно, нз условия сохранения )е-го вещества в области Й теперь следует, что Обозначим через дй1 и дйз = дй ~ дй1 части границы дй области й, ограничивающие извне подобласти Й1 и йз соответственно, и предположим, что в Й1 и Йя функция г1~), которую (в) 1ь) обозначим г, и г соответственно, непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам. Тогда к каждой из зтнх подобластей можно применить формулу Остроградского (1.26) и написать дй1 дй.
дйз где тв' — единичный вектор нормали к дй, направленный в сторону подобласти Йя. Складывая почленно зти равенства и считая дй' С Й множеством, имеющим равную нулю меру 56 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИИ Лебега, с учетом второго равенства в (2.38) получаим -1"1- ((дй)+ -1"а ((дй)+ ай~ апг + г,'"1а*((дй")+ г,"1(-~')И(дй")= ап' аа. — г(~1йй(дй) + (г~( 1 — гз 1)Й'И(дй ) = аа ап' М )Ий+ 1у ()Ий= С ®Ий= т()Ий.
И1 Отсюда с учетом (2.39) следует, что второе равенство в (2.38) сохраняет силу при выполнении условия Рассматривая область й как окрестность некоторой точки М' Е дй" и стягивая эту окрестность к данной точке, из (2.40) заключаем, что (г1 — гз)Й*+ тИ) = 0 на 5, (2.41) где г~ и г" — пределы функций г~ 1 и гз при стремлении к точке М* с дй' точек М~ б й~ и Мз Е йз соответственно. Если множество дй" задано в К4 уравнением (2.29), то точке М" Е дй* в момент времени 1 соответствует точка М' Е 5* на поверхности разрыва 5", заданной тем же уравнением в Кз (см. рис. 2.1). Тогда с учетом (2.35) и обозначения скачка функций при переходе через поверхность разрыва 5" в любой точке М* е 5" получаем (р1"1(1,*(М*))и®(1,ж(М )) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
