XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Эакон сокраиеиие количества движении поеерхиосщь разрыва 5', делящую Г на две подобласти $~1 и Ьз (см. рис. 2.1), то процедура, аналогичная использованной в 2.2, дает условие для скачка (р10п") проекции вектора р10 на направление единичного вектора ел* нормали к 5* в виде (р01чл*) + р,' = О, 1 = 1, 2, 3, (2.89) ~атчп,*о*]+ Р"чз* = О, 4, 4 = 1, 2, 3, (2.90) выраженному через компоненты тензора напряжений и записанному с учетом правила суммирования по повторяющимся индексам. Чтобы получить условия на поверхности разрыва в случае движущейся среды, в уравнении неразрывности (2.2) перейдем к координатной записи дифференциальной операции дивергенции: др дщ — + — ~=0, 1,1'=1,2,3, д1 д, а также учтем, что й~; до, до, — '= — '+о — ' 1 у=1 2 3.
л1 д1 Тогда вместо (2.85) будем иметь дро; д — '+ — (РиР; — а,;) — Ь; = О, 1,,1 =1,2,3, (2.91) д1 дх„ 'Сил Седое Л.И. где р,* — проекции на координатные оси Ох, вектора р' плотности внешних поверхностных сил, которые могут быть приложены на этой поверхности. Такие силы могут возникнуть, например, при взаимодействии среды с электромагнитным полем*. Умножая (2,89) на направляющие косинусы и;, 1 = 1, 2, 3, вектора нормали н,", суммируя по индексу г и учитывая (2.83), приходим к условию 80 2.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИИ В четырехмерном евклидовом арифметическом пространстве К4 с ортонормированным базисом е = (ем е„ез, ез) введем векторы р =,оо;оое~+ (ро о; — о;)е, (О— 1,,1 =1,2,3, о р('1 — Ь; = О, 1 = 1, 2, 3. (2.92) Теперь процедура, аналогичная использованной в 2.2, приведет к следующим условиям на поверхности разрыва, о'": ~(ро,о, — оН)п') = '(ро,~)о*п'+р,*, 1=1,2,3, (2.93) где о' — вектор скорости перемещения точек поверхности о*.
Умножая (2.93) на и,* и суммируя не только по индексу ), но и по индексу 1, получаем условие (р(оев") — ори"и,"] = (роев)о"тв*+р*ее*, 1, 1= 1, 2,3, (294) обобщающее (2.90) на случай движущейся среды. Если поверхность 5" неподвижна, т.е. ~о*~ = О, то первое слагаемое в правой части (2.94) исчезает. Тот же результат имеет место, если среда несжимаема, так как в этом случае в соответствии с (2.23) (роп.'~ = 0 на о'. Вектор момента К количества движения среды, находящейся в объеме Г, можно представить в виде (1.5).
Интегральная форма закона сохранения момента количества движения относительно некоторой фиксированной точки устанавливает равенство скорости изменения вектора К моменту относительно этой же точки всех действующих объемных и поверхностных сил. Можно показать', что при отсутствии моментов, распре- 'Смз Седов Л.И.
где, как и в (2.25), оо — произвольная константа, имеющая размерность скорости. Используя векторный оператор (2.26), перейдем от (2.91) к обобо1енной дивергентной форме закона сохранения количества движения в виде Д.2.!. Формулы векторного анализа в случае неоднородной среды 81 деленных по объему 1' или ограничивающей его поверхности 5, из этого закона следует симметрия тензора напряжений, т.е. ~т, = и,!, 2, 2' = 1, 2, 3. Однако в общем случае может возникнуть необходимость учитывать распределенные по объему и поверхности моменты (в частности, при движении среды в электромагнитном поле"). Дополнение 2.1.
Формулы векторного анализа в случае неоднородной среды Л2! Лгл Л2з Л = Лщ Л22 Лзз Лз! Л32 Лзз (2.95) причем Л, = Луо 2, 2 = 1,2,3. Каждая из компонент этого тензора может быть функцией координат х, точки М Е К~. В этом случае (2.53) примет вид ~т 1 Д От ф1 1м! у=! (2.9б) 'См., например: Мозсек Ж. Законы сохранения физических субстанций в неоднородной сплошной среде прн постановке задач математической физики приводят к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами. Например, в уравнении (2.53) нестационарной теплопроводности, следующем из закона сохранения тепловой энергии (см.
2.3), теплопроводность Л(М) среды может быть функцией координат точки М Е Из. Более того, если среда еще и анизотропна, т.е. ее свойства передавать тепловую энергию различны в различных направлениях, то вместо Л в (2.53) войдет пземзор Л(М) пзеплопроеодмостпм. Он является пзеизороле второго ранга и в прямоугольной системе координат Ох!хзхз имеет вид квадратной матрицы третьего порядка: 82 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ где Т вЂ” искомая функция температуры; с > 0 — теплоемкость единицы объема среды; 1У вЂ” объемная мощность источников й) тепловой энергии.
Замечание 2.1. Напомним, что симметрическую матрицу вида (2.95) ортоеональным преобразованием можно привести к диагональному виду. Координатные осн, задаваемые ортонормированным базисом, в котором матрица (2.95) является диагональной, называют елавкыми осями текэора, которому соответствует эта матрица.
Тогда при совпадении координатных осей Ох;, 1= 1, 2, 3, с главными осями тензора А(М) вместо (2.96) получим дТ 1 д дТ ф) 1ж1 где А, — диагональные элементы матрицы (2.95) после ее приведения к диагональному виду, называемые в данном случае елаеными коэффициентами тпеплопроаодкостпи аниэотропной среды. Уравнения с переменными коэффициентами могут быть результатом линеаризации нелинейных математических моделей физических процессов. При приближенном решении нелинейных задач методом итераций обычно приходится решать такие уравнения на каждой итерации. Выражение в виде двойной суммы в правой части (2.96) характерно для многих уравнений с переменными коэффициентами, встречающихся в задачах математической физики. В более общем случае т-мерного евклидова арифметического пространства К'н рассмотрим интегралы Д.2.1.
Формулы векторного анаанаа в случае неоднородной среды 83 по конечной области Й С К с границей дй. Здесь и и ив действительные функции, дважды непрерывно дифференцируемые по всем своим аргументам х1, хз, ..., х на замыкании Й области Й, а переменные коэффициенты а! = а „«,у = 1, ти, непрерывно дифференцируемы по тем же аргументам на Й. Если в (1.25) принять ди "дх 1=! 1=1,т, Используя (2.97) и равенство — (а! и — ) =и~! ~~! — (а!.— )+~~ ~~1 — а; —, «=1 1=1 «м1 1=1 1 «=1 1=1 для второго из рассматриваемых интегралов находим = / ю ~) ~~ а1,— рч «1(дй) — / ~~! ~~! — а; — «1Й.
(2.98) Г ди Г дю ди дху „/ дх, "дх, аа =1 Зм1 «=1 ум! то интеграл в левой части (1.25) совпадет с первым из рас- сматриваемых интегралов. Тогда получим обобщение формулы Остроградского на случай переменных коэффициентов: 84 а ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ Меняя в (2.98) местами функции и и е и вычитая полученный результат из (2.98), с учетом равенств а;, = аН, г, у = 1, щ, получаем ЖЙт(" — '")- г(" — '")) 1=1 1=1 ~~) аб (е — — и — ) и; д(дй). (2.99) у ди де аа '='1=' Таким образом, (2,98) и (2.99) можно считать обобщением первой н второй формул Грина соответственно на случай т-мерного пространства и переменных козффнциентов. Вопросы и задачи 2.1. Поле скорости несжимаемой среды задано функцией Ахз о = — е1 + ез(хмхз)ез, ! Р где )х) = ~/тт1+хзт. Найти функцию ез(х„хз), если ез(О,хз) =О, и проверить, является ли поле скорости потенциальным.
2.2. В проходящих через фиксированную точку площадках с единичными векторами нормали п и е' действуют векторы напряжений р и р' соответственно. Доказать, что ра' = р'и. 2.3. Найти зависимость вектора плотности объемных сил от координат точки, если тензор напряжений в неподвижной среде задан матрицей с Зах|хг 5ахз зО 5ахзз О 2ахз, а = сопаС. О 2ахз О 3. МАТЕМАТИ'ВЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД В общем случае количество неизвестных функций, входящих в уравнения, полученные из законов сохранения физических субстанций, превышает количество этих уравнений. Поэтому таких уравнений обычно недо~таточно для построения замкнутой формулировки задач математической физики.
Так, для получения из закона сохранения тепловой энергии дифференциальных уравнений (2,53) и (2.54) нестационарной теплопроводности, содержащих единственную неизвестную функцию температуры среды, пришлось использовать эмпирический закон (1.12) теплопроводности и зависимость (2.52) объемной плотности тепловой энергии от температуры. Эта зависимость является характерным примером уравнения состояния среды. Чтобы использовать (2.85) для формулировки задач математической физики, полагая заданным поле вектора Ь плотности объемных сил, необходимо установить связь между вектором и скорости среды и тензором напрялеений. Эта связь также может быть выражена соответствующим уравнением состояния среды, часто называемым математической моделью среды.
Рассмотрим некоторые из таких моделей. 3.1. Модели идеальной жидкости (газа) К жидкости (или газу) относят такую среду, вектор напряасения в любой точке которой в состоянии покоя всегда коллинеарен вектору нормали к любой площадке, проходящей через эту точку. Для твердых тел это имеет место лишь в условиях всестороннего сжатия или растяжения. 86 э. мАтемАтические мОДели некОтОРых сРеД Идеальной (невязкой) жидкостью (или идеальным газом) считают среду, для которой указанное свойство сохраняется и при движении. При этом в любой точке такой среды тпензор напряжений с компонентами «т;-, 1,,~' = 1,2,3, является шаровым, те, «т«, = «т' при 1 = у' и «т; = О при 1 ф у.
В этом случае величину «т', взятую с обратным знаком, называют давлением жидкости (или газа) и обозначают р, т.е. р = -о'. Тогда вместо уравнений двиэкенил (2.85) получим в прямоугольной (декартовой) системе координат Ох«хзхз соотношения р — =Ь; — — =О, 1=1,2,3, ди, др (3.1) а1 ' дяч называемые уравненилляи Эйлера. Они установлены Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
