XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Рассмотрим баланс тепловых потоков, проходящих через элементарный участок ЫЯ' поверхности 5' в окрестности некоторой точки М* Е 5' (см. рис. 2.7). Из Ъг к этому участку в соответствии с (1.12) (законом Фурье) поступает тепловой поток Щ = -Лг(~7Тг)ггг (М*) 65*, где лег(м") — единичный вектор нормали в точке М* Е 5', внешней по отношению к части $'г тела. Аналогично из части Иг тела к данному участку поступает тепловой поток Й~г —— = -Лг(7Тг)заг(м')екЯ". В сумме эти тепловые потоки равны нулю: й~г+ йчг = О.
Отсюда имеем Л (Стт ) га (М*) + Л (С7Т ), (М') = О, или, учитывая, что ггг — — — ггг, получаем дТг дТг дпг дпг' (2.64) Таким образом, если через поверхность передается тепловой ат ат ат поток и Лг ф Лг, то — ~ —, т.е. производная — по напраап, а,' ап, влению вектора глг(м') функции (2.63), непрерывной в точке 66 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ дТ1 дТ2 Л1 — = а„(Т1 — Тз) = Лз —. 'ди1 " дп1 ' (2.65) Отсюда следует, что при конечном значении о„передачу через поверхность з' теплового потока сопровождает скачок температуры [Т(М*))= Т1(М ) — Тз(М*), М с 5*, в направлении, противоположном вектору п1(М*), где под Т1(М') и Тг(М') в данном случае надо понимать пределы Функций Т1(М1) и Тз(Мз) прн сближении с М' точек М1 и Мз соответственно.
Если при переходе через некоторую поверхность рассматриваемая функция не является непрерывной, то говорят о поверхмосгаа саламана разрыва по отношению к этой функции, а если функция непрерывна, а раэрывна хотя бы одна из ее частных производных, то говорят о аоверхмостаа слабо- но разрыва. При идеальном тепловом контакте частей тела с различными значениями Л1 н Лз контактная поверхность з' в примере 2.4 является поверхностью слабого разрыва по отношению к функции (2.63) температуры Т(М), М Е Г. В случае неидеального теплового контакта 5' будет поверхностью сильного разрыва по отношению к функции температуры.
Пример 2.6. Рассмотрим двухслойную пластину, слои которой имеют различные значения коэффициентов теплопроводности Л1 ~ Лз, и примем, что температурное поле в пластине одномерно, т.е. изменяется лишь в направлении координатной М' е 5', терпит в этой точке разрыв. Равенство Т1(М") = = Тз(М') и (2.64) составляют граничные условия 1Н рода, или граничные условия идеального теплового контакта. Отличие теплового контакта между частями $'~ и Гз тела в окрестности точки М' е з' от идеального можно характеризовать некоторым конечным значением о„) 0 коэффициента контактной проводимости (ндеальному тепловому контакту соответствует о„ -+ оо, а значение о„ = О отвечает идеально теплоизолированному участку поверхности з'*). Тогда вместо (2.64) для точки М' Е 5" имеем гка Законы сохранения эаряда и теояоаой энергии 67 оси Ох1 (рис.
2.8). Пусть при установившемся процессе теплопроводностн через пластину в положительном направлении атой оси проходит тепловой поток плотностью а. Тогда в случае идеального теплового контакта между слоями в соответствии с (2.64) в плоскости контакта (яг = О) имеем ИТ! Ж; д = — Л1 — — — — Лг —.
(2.66) Их1 Ияг' Рис. 2.8 Ясно, что при постоянных значениях Л1 и Лг температура по толщине Ь, первого слоя и по толщине Ьг второго слоя будет изменяться линейно (на рнс. 2.8 изображено распределение температуры для случая Л1 < Лг). При заданных значениях а, температуры Т, внешней среды и козффициента о теплообмена на поверхности пластины при х1 — — Ьг из (2.66) несложно найти, что Тг(Ьг) = Тс + х, Тг(0) = Т1(0) = Тг(Ьг) + х ~ н Т1 ( — Ь1) = =Тг(0) + ~ '.
Отсюда получаем Л, ' ЬТ, = Тг(-Ьг) — Тг(0) = — и ЬТг = Тг(0) — Тг(Ь ) =— аЬг аЬг л, л При — « — перепадом сзТг температуры по толщине втол л, Лэ Л1 рого слоя можно пренебречь по сравнению с перепадом ЬТ, по толщине первого слоя и принять температуру второго слоя однородной по его толщине, т.е. Тг(х|) =сопИ. Таким обра- л зом, существенное различие термических сопротивлений — и Ьэ Л1 — слоев позволяет упростить математическую модель проЛг цесса установившейся теплопроводности в двухслойной пластине.
Возникающая при зтом погрешность пропорциональна ЬэЛ1 —. Если при сопоставимых толщинах слоев их теплопроводЛ1Лэ ' ности отличаются иа два и более порядков (зто характерно, 68 г, зл коны сохрлняния оизичбских сунстлнций например, для металлов и теплоизолирующих материалов), то погрешность вычисления температур не превышает процента от»лт».
Принятое упрощение можно использовать и в случае нестационарного процесса теплопроводиости, описываемого в слоях пластины уравнениями дт от дт от — =а», — =аг —, д~ дхг ' дг дхг ' (2.67) дТ» — Л» — = Ч, дх» дТ» дТг Т»=тг н Л» — =Лг —, дх» дх» ' дтг Лг — — — о(т, — Тг), дх» х» =-Ь», (2.68) х» — — О; х» = Ьг.
Интегрируя второе уравнение (2.67) по толщине Ьг второго слоя н учитывая (2.68), получаем л, л, , ~аг | от,«, х,) „ / д т,(г. х.) „ Л, дт,(». х.)( ° 6х» =аз/ Нх» — —— дг / дх, сг дх» о о = — (т,- Тг(г Ьг)) —— о Л» дт»(г,б) с с Отсюда, полагая при Ьг/Лг < Ь»/Л» температуру по толщине этого слоя однородной, те.
Тг(гх») = Та«) = Т»(гб), находим дт» дт» Ьгсг — —— с»(тя — Т») — Л» — прн х» = О. (2.69) дг ' дх» где ໠— — Л»/с» и аг = Лг/сг — температуропроводиости пластин, а с» и сг — их объемные теплоемкости. Помимо начальных распределений Т»(О,х») = Т'(х») и Тг(б,х») = Тг (х») температуры в слоях в момент времени» = О для решения (2.67) необходимо задать граничные условия: л.з.
Законы сохранения заряда и тепловой энергии 69 Это равенство и первое равенство (2.68) Т являются в принятом приближении граничными условиями для первого уравнения (2.67). Отметим, что мы, пре- ''. ' ли небрегая термическим сопротивлением второго слоя пластины, учитываем его Т теплоемкость. Характер распределе- -:, О: ' х, ния температуры по толщине пластины в некоторый момент времени 1 в этом Рис. 2.9 приближении показан на рис.
2.9. Таким образом, плоскость х1 —— 0 остается и при принятом приближении поверхностью слабого разрыва по отношению как к установившемуся, так и к нестационарному распределениям температуры в рассматриваемой двухслойной пластине. Пример 2,6. Поверхность слабого разрыва по отношению к распределению температуры может возникнуть при фазовом переходе в среде (например, в процессах плавления, испарения, сублимации, затвердевания или конденсации), причем эта поверхность может перемещаться во времени $ относительно частиц среды.
Примем, что переход среды из одного агрегатного состояния в другое происходит при фиксированной температуре Т' = сопяФ и сопровождается поглощением единицей массы среды тепловой энергии г (величину г называют теплотой плавления, испарения или сублимации и для этих процессов обычно г> 0). Рассмотрим в неподвижной среде одномерное поле температуры, изменяющейся лишь в направлении координатной оси Ох1. Тогда плоскость х1 = х, в которой температура среды равна Т", будет поверхностью слабого разрыва относительно распределения температуры в среде, если в процессе фазового перехода тепловой контакт между различными агрегатными состояниями этой среды сохраняется идеальным, т.е.
Т1(~,х') = Тз(1,х*) = Т (рис. 2.10). Эта плоскость разделяет два агрегатных состояния среды с теплопроводностями Л1 и Лз, 70 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ существующие при температурах соответственно выше и ииже Т . Скорость ц" = дх'/п1 движения поверхности слабого разрыва в данном случае можно найти из баланса тепловой энергии при х~ = х*. С учетом (1.12) запишем Т1 Тз — Л1 — + Аз — = ргц', (2.70) дх1 дх~ Рис. 2.10 Условия на поверхности з* разрыва в процессах теплопроводности можно сформулировать в более общем виде. Для этого в четырехмерном евклидовом арифметическом пространстве К~ с ортоиормироваииым базисом е = (е1, е~, ез, ез) введем вектор й =степе~+и, причем, как и в (2.25), цв — произвольная константа, имеющая размерность скорости.
При этом локальизл форма (2.51) закона сохранения тепловой энергии перейдет в обобщенную дивергентиую форму ~7д = 7 и . Пусть векторная функция д(1,М) не имеет непрерывных производных или не является иепрерывной в точках М* е 5* поверхности 5', делящей область го иа подобласти $"~ и Ъ~. Примем, что зта поверхность может перемещаться, причем ее точки М* Е з'* имеют скорость о'(1,М"). Тогда аналогично (2.44) в любой точке М' б з' получим 10(1,М )м"(М ))+7(я1(1,М ) = = (гг(1,М )]о (1,М )гь (М ), (2.71) где р — плотность среды перед изменением ее агрегатного состояния.
Ясно, что е' > 0 при г > О, если левал часть (2.70) положительна, и наоборот. Таким образом, движущаяся плоскость фазового перехода при г ф 0 является поверхностью сильного разрыва по отношению к функции плотности теплового потока. 7Р 2.3. Законы сохранении заряда и тепловой энергии где 1. — поверхностнал интенсивность источников тепловой (9) энергии. Если поверхность э* неподвижна, то [в'[= О и из (2.71) следует условие [Ч„(г,а(М')) + 1~~ (),ж(М')) = 0 (2.72) для скачка значений д„= п(1,М')п*(М ) проекции вектора и на направление единичного вектора те*(М') нормали к э* при переходе в точке М б 5 через э'* в противоположном направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
