XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(М*)) + т~ 1(1,а(М")) = = '(р(~1(г,ж(М*))]о"(1,М*)п" (М'). (2.42) 2.а Законы сохранения заряда и тепловой ввергни 57 Для записанного в виде (2.17) закона сохранения Ее-го вещества, имеющего в движущейся со скоростью и среде объемную концентрацию С = р(ь), вместо (2.37) будем иметь чус — 1(с) (2.43) где С' = Сове, + Си — К)с) чС (К(е7) — коэффициент диффузии);! = тк . В этом случае вместо (2.42) получаем (С) ° [к) [(С(1, х(М') ) о(1, х(М")) — К(~)хЕС(1, х(М"))) и* (М')1 -)- +Ел (1,х(М*)) = [С(1,х(М")))о'(2,М")и'(М'), (2,44) где Ел( ) = т~ц ).
Отсюда в сопутствующей для точки М* й о" (с) . (ь) системе координат приходим к условию [С(е,х(М'))то(1,х(М'))и'(М )1+Ел~ )(1,х(М')) = = [К)С)~7С(1,х(М'))и*(М" Н. 2.3. Законы сохранения электрического заряда и тепловой энергии ПУсть в области ко С Яаз, огРаниченной повеРхностью оо, неподвижной относительно прямоугольной системы координат Ох1хзхз (рис.
2.4), существуют источники электрического заряда интенсивностью 1к, равной изменению его объемной плот(е) ности р, в единицу времени. Через Е„обозначим проекцию 4е) вектора 2(') плотности электрического тока в точках поверхности 5о на направление в этих точках единичного вектора и внешней нормали к Яо. Тогда, учитывая (1.4), условие сохранения заряда в объеме 1'о можно представить в виде — = — ЕЕ р, Е) =ЕЕ 1,' а -~ 2(')ЕИ. Ц Е Г Г 1.) Г ., б) а.Е' ко 58 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ Рис. 2.4 Отсюда, используя (1.10) и формулу Оетароградеиосо — Гаусса, получаем интегральную форму закона сохранения электриче- ского заряда: (2.45) Так как объем ке произволен,' то при условии непрерывности подынтегральной функции из (2.45) находим локальную форму этого закона: Р +~ (.) 7() (2.46) — '+~7(р,о) = ф~ — 17(оЕ).
(2.47) В отличие от (2.18), куда входит лишь одна неизвестная функция С, в (2.47) помимо неизвестной функции р, входит еще и напряженность Е, которая, вообще говоря, зависит от р, Выделив конвективную и диффузионную составляющие переноса электрических зарядов (см. 1.3), запишем ЗЧ') = р,о+ + оЕ, где о и о — вектор скорости и электрическая проводимость среды;Š— напряженность электрического поля.
Тогда вместо (2.46) получим З.З. Законы сохранения заряда и тепяоаой зиергии 59 (см. 3.5). Поэтому даже при заданных функциях 1к и и, как (е) правило, формулы (2.47) недостаточно для получения полной формулировки задачи. В четырехмерном евклидовом арифметическом пространстве Еа с ортонормировааным базисом е = (ем еы ез, ез) определим вектор яе = р,свес+ р,о+цЕ, где, как и в (2.25), сов произвольная константа, имеющая размерность скорости. Тогда обобщеннал дивергентнаа форма закона сохранения заряда примет вид Фг, = 1к, причем дифференциальная операция дн(е) вергенции задана вааа при помощи оператора (2.26). Пусть векторная функция г,((,М) не имеет непрерывных производных или не является непрерывной в точках М' е 5" некоторой поверхности 5', делящей область 1о на подобласти е1 и $"~.
Тогда по аналогии с (2.44) в любой точке М 6 5" получим для этой поверхности разрыва условие [(ре((, М*)п ((, М*) + аЕ((, М*)) еа" (М')1 + + 1я(')((,М') = ~р,((,М*)1о" ((,М")тх" (М ). (2.48) Здесь 1 — поверхностная интенсивность источников заряда, (е» равная изменению заряда в единицу времеви на единице площади поверхности 5", о'((, М*) — вектор скорости перемещения точки М" Е 5* вместе с поверхностью 5*, а символ ( ) обозначает скачок значений функции при переходе в точке М' Е 5" через поверхность 5' в направлении, противоположном единичному вектору ах*(М') к этой поверхности.
Условие (2.48) позволяет „сшивать" на поверхностях разрыва так называемые гладкие решения, полученные в отдельных подобластях и удовлетворяющие закону сохранения заряда (2.47). Необходимость в этом возникает, например, при переносе заряда в неоднородной среде и при возникновении источников заряда на границах контакта разнородных материалов. Перейдем к рассмотрению закона сохранения тепловой энергии в неподвижной несжимаемой среде, занимающей неизменяе- 60 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИИ мый во времени объем го, ограниченный поверхностью оо, фиксированной относительно системы координат Ох1хахз.
Пусть в среде действуют источники тепловой энергии объемной мощностью 1у . Через д обозначим проекцию вектора о плоопносопи (о) теплового поопона в точках поверхности оо на направление в этих точках единичного вектора оо внешней нормали к оо. Тогда условие сохранения тепловой энергии в объеме $о примет вид (2.49) Етио = 1у ио — днио.
Уо ко аа Здесь гт — объемнпл нлотносноь тепловой энграсии. Применяя (1.10) и формулу (1.18) Остроградского — Гаусса, из (2.49) получаем интегральную форму закона сохранения тепловой энергии в виде (2.50) В силу произвольности объема йе из (2.50) при условии непрерывности подынтегрзльной функции следует локальная форма этого закона: — + и~у= 1 о).
д1 (2.51) Примем, что гт в (2.51) зависит лишь от температуры Т, причем Т (2.52) гт = сЙТ, о где с > 0 — теплоемкость единицы объема среды. Тогда, подставляя (1.12) и (2.52) в (2.51) и используя правило дифференцирования интеграла по верхнему пределу, получаем нелинейное (в общем случае) дифференциальное уравнение нестационарной 2.3. Эвноны сохранении эарлдв и тепловой энергии теплопроводности дТ 1 !Од — =- у(тт)+ — '. де с с Если теплопроводность среды А не зависит от температуры и пространственных координат, то вместо (2.53) имеем аналогичное (2.18) уравнение — =а!!7 Т+ —, дТ з ф~ (2.54) д! с где а = Л/с — температуропроводность среды.
Примем, что а не зависит от температуры. Тогда если у® не зависит от Т или зависит линейно, то (2.54) будет линейным уравнением параболического типа. Если — = О и 1 /с не зависит от Т то нз !ЭЭ' рд де ! (2.54) следует дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности, являющееся уравнением Пуассона. Наконец, при — эв О н !к = О (2.54) переходит в уравнение Лапласа. ат ое Отметим, что все перечисленные типы уравнений получены из локальной формы закона сохранения тепловой энергии неподвижной несжимаемой среды. В уравнение (2.53) входит единственная неизвестная функция Т = Т($, М), М е Ъш описывающая изменение во времени ~ распределения температуры в области $'о (рис.
2.5). Для рещения уравнения (2.53) необходимо задать краевые условия. Начальным условием будет распределение в ее температуры Рис. ЗЛ 62 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ Т(с,М)=Ус,М), МЕ5,. (2.55) На остальиых участках 5з = 5е ~ 5~ поверхности 5е граничиые условия в общем случае могут иметь вид Л(т7Т(С,Р))те(Р) = ~г(й,РТ(!,Р)), Р Е 5з, (2.56) где п(Р) — единичный вектор внешней нормали к 5е в точке Р Е 5г. Функция 7з(!,Р,Т(!,Р)) имеет смысл проекции на направление п(Р) вектора плотности теплового потока, подводимого извне к поверхности'5з в окрестности точки Р Е 5з.
Если эта функция ие зависит от Т(1, Р), то (2.55) называют граничными условиями П рода (ХП1, а если 7з(1, РТ(1, Р)) = а(!, Р)(Т,(!., Р) — Т(1,Р)), Р Е 5з, (2.57) то граничиыми условиями П! рода, причем Т, и о > Π— заданиые температура виешией среды и коэффициент теплообмеиа с этой средой. При о = О имеем (з —— О, что соответствует частному случаю граничных условий П рода на идеально теплоиэолированной поверхиости. Поскольку значения ~з по физическому смыслу задачи конечны, то при увеличении интенсивности теплообмена (а-+ оо) имеем Т(1, Р) -+ Т,(!,Р).
В этом случае граничные условия П! рода переходят в граничные условия 1 рода. Пример 2.3. Рассмотрим прямой стержень, поперечное сечение которого является правильным шестиугольииком со Те(М) = Т(О,М) в момент времени ! = О, принимаемый за начальный, а на ограничивающей К~ неподвижной поверхности 5е должны быть задаиы граничные условия. Рассмотрим иекоторые типы граничных условий. Если в точках М Е 5~ на участках 5~ С 5е поверхности 5е в любой момент времени ! > О функция Д(!,М) задает значения температуры этой поверхности (см.
рис. 2.5), то говорят о граиичиых условиях 1 рода [Х1Ц и записывают 2.3. Законы сохранения заряда и тепловой энергии с — = — (Л вЂ” ) + — (Л вЂ” ) + 1„' . (2.58) дт д дт д дт д! дх~ дхг дхг дхг На контуре шестиугольного поперечного сечения имеем гра- ничные условия 1П рода Л(ЧТ)п(Р) = о(Т, — Т), (2.59) причем в данном случае дТ дТ (КТ)п(Р) = — пг + пг дх, дх, где п1 и иг — направляющие косинусы единичного вектора внешней нормали к контуру. В математическую формулировку задачи должно входить начальное условие в виде заданного начального распределения температуры в рассматриваемом поперечном сечении стержня: Т(0,хмхг) = То(хмхг). (2.60) стороной 1 (рис. 2.б). Примем, что хг объемная мощность ! источников (И 1 т, а энергии в стержне, коэффициент те- В плообмена о на его поверхности и !м ег Ъ А температура Т, внешней среды не из- гЗ1 О е1 ГЗ~ х| меняются по длине Ь стержня.
ГЗ~2 Если 1 « Ь, то поперечные сечения стержня, достаточно удаленные от его торцов, будут находить- -1 ся примерно в одинаковых условиях, Рис. 2.6 так что переносом тепловой энергии вдоль стержня можно пренебречь, Поэтому процесс переноса тепловой энергии в каждом из таких сечений можно рассматривать независимо от процесса в соседних сечениях, а задачу переноса тепловой энергии сформулировать как двумерную в системе координат Ох1хг. Тогда искомой будет функция Т = = Т(1, хм хг), описывающая нестационарное температурное поле в поперечном сечении стержня. В этом случае (2.53) примет внд 64 г. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУНСтлнЦИй Если То(х„хг) =сопзС, а 7к, о, Т„си Л не зависЯт от кооР- (ч) динат, то в силу симметрии поперечного сечения стержня решение задачи достаточно найти для треугольника ОАВ с идеально теплоизолированиыми сторонами ОА и ОВ (см.
рис, 2.6). В этом случае вместо (2.59) имеем Л = о(Т, — Т) на АВ; дТ дл2 дТ Л вЂ” =О на ОА; дх2 гдТ, дТ Л~ — и'2+ — п'2~ = О на ОВ, Ьх, ' д*г '~ (2.61) причем н', = — 1/2 и и~~ — — ~/3/2. Рис. 2.7 В процессе теплопроводности возможно возникновение поверхности, для точек которой не будет выполнено условие непрерывности функции температуры или производных этой функции.
Рассмотрим сначала зту ситуацию на примерах. Пример 2.4. Пусть'твердое тело объемом Го ограничено поверхностью Во и разделено на две части р2 и Кг поверхностью 5' (рис. 2.7), причем Л2 и Лг — коэффициенты теплопроводности материала частей р2 и рг соответственно. В точках Р 6 Яо заданы постоянные во времени значения температуры Т(Р) = = ~2(Р), а в каждой иэ частей $'2 и $"2 тела установившееся 2.3. Законы сохранения заряда и тепловой ввергни 65 распределение температуры при отсутствии объемных источ- ников тепловой энергии удовлетворяет уравнениям < х7(Л1~7Т1(М1)) = О, Мг Е 1см х7(лгх7Тг(мг)) = О, Мг Е Ъ'г (2.62) которые следуют из (2.53) при — = О и 1,, = О, Рд аг Предположим, что в точках М е 5' тепловой контакт частей Ъ~ и $'г тела является идеальным, т.е. Тг(м') = Тг(м') и функция т(м), м~«;; Т(м) = Тг(м), М Е 12, '(2.63) Тг(м) =Тг(м), М Е 5, непрерывна в точках М Е 5".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
