XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В упомянутые математические модели входят характерные для задач математической физики уравнения с частными производными !Х!Ц, а в некоторых случаях — ингаегральные и инпьегро-дифференциальные уравнения. Такие уравнения относят к классу функциональныв, решением которых являются функции (в отличие от уравнений, решением которых являются числа). Эти модели могут содержать также интегральные функционалы от искомых функций !ХЧ1. На допустимом множестве функций функционал достигает так называемого ста- 21 К2. Плотность физических субстанций ционарного значения, которому отвечает стпациоиарнал оточиа дтуикциоиала, т.е. искомое решение рассматриваемой задачи.
В некоторых случаях это значение может соответствовать экстремуму функционала, что обычно связано с формулировкой задачи на основе некоторого вариационного принципа, имеющего определенное физическое содержание [ХЪ'). 1.2. Плотность физических субстанций Количественной характеристикой любой физической субстанции является ее объемная плотпмостпь, т.е. количество этой субстанции в единице объема.
Рассмотрим окрестность точки М Е й С Жз, имеющую диаметр д и объем Дт'. Пусть в этом объеме находится масса Дт некоторой сплошной среды. Предел Дтп 1цп — = р(М) н-+о ДГ (1. 1) эмеренн как предел ДЕ с(М) = !Pп г.~о Д1" (12) где ДŠ— количество энергии в объеме Д'т'. Основной единицей измерения объемной плотности энергии является Дж/м~. Если объем ДГ содержит электрический заряд ДЯ, то предел (1.3) называют объемной плотпностпью электпрнмескоео заря- да, основной единицей измерения которой является Кл/мз.
называют плотпмостпью среды в той точке М пространства, к которой стягивается рассматриваемая окрестность при Ы вЂ” + О. Основной (стандартной) единицей измерения плотности среды является кг/мз. Аналогично можно ввести понятие объемной плотпностпи 22 К ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ Напомним (У!Ц, что если функции р(М), е(М) и р,(М) ограничены в ограниченной замкнутой области Й С Кз и непрерывны в Й всюду, кроме, быть может, некоторого множесспва точек объема нуль, то эти функции интегрируемы в области Й.
В дальнейшем пространственную область Й будем обозначать так же, как и ее объем !'. Тогда для массы т, энергии Е и электрического заряда Я в этой области можно записать т = р(М) ИУ, Е = е(М) <Л~, Я = р,(М) Ы1'. (1.4) Понятие объемной плотности применимо не только к физическим субстанциям, выражаемым скалярными величинами (массе, энергии, заряду), но и к субстанциям, выражаемым векторными величинами, Пусть векторное поле скорости движения среды задано векторной функцией в = в(с,х), зависящей в общем случае от времени ! и координат х„! = 1, 2, 3, радиус-вектора х = х1е1+ хзез+ хзез, определяющего положение точки пространства относительно прямоугольной системы координат Ох|хзхз с ортами е; (рис. 1.1). Тогда произведение рв можно назвать вектором объемиоб илотвкоскзи колииеспзва движеиил среды.
Аналогично векторное произведение х х (рв) назовем вектором объемкоб илоизкосизи момекпза количества движекил среды относительно начала координат. Основными единицами измерения модулей этих векторов кг кг Нс Нс являются — и —, или — и— мзс мс 1~3 1~2 соответственно.
Если ри — непрерывная функция координат в пространственной области объемом 1' всюду, кроме, быть может, некоторого множест- Рис. 1.1 Ь 2. Ллотиость физических суостзииий ва точек объема нуль, то для находящейся в этой области среды векторы количества движения у и момента количества движения Х можно представить в виде .т = роВ~, Х= х хром'.
(1.5) Замечание 1,1, Подынтегральные функции в (1.4) и (1.5) могут в общем случае зависеть от времеви 1. Тогда значения соответствующих интегралов также могут изменяться во времени. Пусть действительная функция С = С(1,х) непрерывно дифференцируема по 1 и задает в текущий момент времени зависимость от пространственных координат объемной плотности некоторой физической субстанции. Количество С(1) этой субстанции в фиксированный момент времени 1 в объеме У выражает интеграл (1.6) зависящий от параметра Ф (Н1]. Пусть точки поверхности 5, ограничивающей объем $', движутся вместе с частицами среды, находящимися в этих точках, с заданной скоростью о(1,х) относительно системы координат Ох1хзхз (рис.
1.2). Тогда в момент времени 1+ Ь| поверхность Рис. 1.2 24 Ь ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ б У' переместится в положение 5' и будет ограничивать объем Ъ'. Сначала рассмотрим случай, когда $' С Ъ". Предполагая, что интеграл в (1.6) дифференцируем по параметру 8, найдем скорость изменения количества субстанции. Согласно определению производной (П), — = — / С(1,х)Л~= Ю~(~) И Г Й Й/ = !пп — С(!+ Ь1,х) А' — С(й, х) Н"к' ас-+о Ьй Ъ,.! ,,Р = и — '! !(са~ь~е-со„ол ~-/со~а~, ~о) = ас-+осы' 1, / Г . С(!+Ы,х)-С(1,х) ~ !пп 1, ы-+а Ъ + !!ш — ~ С($+Ы,х) ИЪ', (1.7) 1 ьио Ь! где Ъ" = Г ~, $' — объем, который ометает поверхность 5 при перемещении в положение 5'.
Этот объем представим состоящим из элементарных цилиндров, каждый из которых имеет основание И5 и образующую длиной !о(Р)~Ы, параллельную вектору и(Р) = о(1,х(Р)) скорости среды в точке Р б 5, причем п(Р) — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5 в точке Р Е 5 (см. рис. 1.2). Тогда элементарный объем во втором интеграле в правой части (1.7) запишем в виде НЪ' = о(1,х)п(Р)ЬИ5 > О, Р е 5, и получим !пп — / С(! + Ь1, х) Л~ = 1 .д/ к» = !!ш — ! С(!+АЙ!,х)о(1,х)пЫЮ5= / С(1,х)о(1,х)пй, ы-~о Ы,/ К2. Плотность физических субстанций поскольку С(1+ Ы,х) -+ С(1,х) при са1 -+ 0 в силу непрерывности функции С(1,х).
Предполагая непрерывную дифференцируемость по координатам функций С и е, преобразуем интеграл в правой части последнего равенства по у)орлеуле Остроградс)сего — Гаусса. В итоге, учитывая, что подынтегрзльная функция первого инте- дС(ц х) грала в правой части (1.7) равна частной производной д8 х Е т', получаем формулу дифференцирования по времени 1 интеграла, взятого по изменяемому во времени объему: где ь7 — дифференциальный оператор Гамильтона д д = — е) + — ез+ — ез, дх) дхз дхз (1.9) 1С(1) 1 ГС(~ ) „дС(е,х) д~ (110) (м' (и'./ к) Смс Седов Л.И. е,, г = 1, 2, 3, — орты системы координат Ох) хзхз (см. рис.
1.2). Напомним, что действие этого оператора на векторную функцию соответствует операции дивергенции. Отметим, что к (1.8) можно прийти и в случае, когда 1)"' (.. 'т', но при этом во втором интеграле в правой части (1.7) с1т' = о(1,х)п(Р)сьйеьз < О, Р Е 5. Можно показать', что (1.8) применимо прн произвольном изменении объема Ъ' во времени. Для фиксированного объема К~, ограниченного неподвижной относительно системы координат Ох)хзхз поверхностью Яо, вместо (1.8) будем иметь 26 Е ОСНОВНЫЕ ФИЗИ ЧЕСНИЕ СУБСТАНЦИИ 1.3. Перенос физических субстанций Большинство изучаемых в математической физике процессов связано с переносом в пространстве конкретных физических субстанций: массы, энергии, электрического заряда, количества движения нли его момента.
Интенсивность переноса физической субстанции определяют плошностпью пот«ока, равной количеству субстанции, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса. Среди механизмов переноса выделяют конвективный (или молярный) и диффузионный (или молекулярный). Первый из них связан с движением с«латиной среды, определяемым векторным полем ее скорости и = и(т, М), М Е К~, в момент времени т. Для физической субстанции, выражаемой скалярной величиной, плотность потока конвективного переноса является вектором, коллинеарным вектору скорости и и равным произведению и и обьемной плотности этой субстанции.
Так, направление и интенсивность конвективного переноса массы определяет вектор «лот«пост«и «отака массы ри, где р — плотностпь среды. Модуль этого вектора равен коли честву массы, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению вектора скорости. Основная единица измерения плотности потока массы (как и модуля вектора обьсмной плотности количества движения среды)— мт.с Направление и интенсивность конвективного переноса энергии и заряда определяют векторами гтт и р,и плошкосши потока энергии и плотпносши электпрического шока, где с и р, — обьемные плотности энергии и электрического заряда соответственно.
Модули этих векторов измеряют в Вт/мз и А/мя соответственно. Диффузионный перенос физических субстанций может происходить и при отсутствии направленного движения среды (например, при хаотическом молекулярном движении в жидкости, !лв Перенос физических субссенциз) 27 газе или плазме и тепловом движении ионов, атомов и молекул в твердом теле). При неравномерном пространственном распределении в среде объемной плотности С некоторой физической субстанции хаотическое движение микрочастиц среды постепенно приводит к выравниванию этого распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
