XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Что такое абсолютная и относительная погрешности? [1Ц 16. Каковы правила вычисления скалярного, векторного и смешанного произведений векторов? Что такое нулевой, единичный и коллинеарные векторы, радиус- вектор точки в пространстве? [ПЦ, [17[ 17. Что такое квадратная, прямоугольная, блочная, симметрическая, нулевая, единичная, верхняя [нижняя) треугольная, вырожденная матрица? Что представляют собой транспонированная и обратная матрицы по отношению к данной матрице? Как вычислить ранг матрицы? Чему равен определитель диагональной матрицы? При каком условии однородная квадратная система линейных алгебраических уравнений [СЛАУ) имеет ненулевое решение? [ПЦ 18.
Перечислите аксиомы линейного пространства, которым подчиняются линейные операции в этом пространстве. Что называют базисом и размерностью линейного ПРЕДИСЛОВИЕ пространства? Каковы аксиомы расстояния между элементами метрического пространства и нормы злементов нормированного пространства? В чем состоит отличие зтих пространств? Дайте геометрическую интерпретацию неравенства треугольника в трехмерном евклидовом арифметическом пространстве 1«з. Что такое ортонормированный базис в 1«"? [1), [1Ч) 19. Как найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора в конечномерном линейном пространстве? Что такое собственное подпространство линейного оператора, характеристические многочлен и уравнение матрицы? Какую квадратичную форму называют положительно (отрицательно) определенной? Сформулируйте критерий Сильвестра.
[1Ч) 20. Запишите выражение для тривиальной линейной комбинации п векторов (функций) и сформулируйте определение линейно зависимой (независимой) системы векторов (функций). [ПЦ, [1Ч], [ЧП1) 21. «1то называют векторной функцией многих переменных и ее координатной функцией, частной производной н производной по направлению? Запишите формулу Тейлора для скалярной функции многих переменных. При каком условии смешанная производная не зависит от последовательности дифференцирования? Что понимают под внешней нормапью к кусочно гладкой кривой, ограничивающей область на плоскости? Что понимают под внешней нормалью к кусочно гладкой поверхности, ограничивающей область в пространстве? [Ч) 22.
Что такое неопределенный интеграл? Напишите формулу интегрирования по частям и формулу Ньютона — Лейбница. Чему равна производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу? Что такое абсолютно сходящийся несобственный интеграп? В чем разичие интегралов Римана и Лебега? [Ч1), [!Х) 11 23. Что называют кратным (в том числе двойным и тройным), криволинейным и поверхностным интегралами, скалярным и векторным, безвихревым, потенциальным, соленоидальным и лапласовым полями, потоком и циркуляцией вектора, телесным углом? Напишите выражения для операторов Гамильтона и Лапласа в декартовой прямоугольной системе координат. Как при помощи оператора Гамильтона записать операции дивергенцни, градиента и ротора? Что понимают под элементарным объемом? [УП] 24.
Что такое сходящийся числовой ряд? При каких условиях функциональный ряд сходится на данном множестве поточечно, равномерно, абсолютно, условно? Что такое радиус сходимости степенного ряда? Запишите частичную сумму и остаток ряда Тейлора. В чем различие между ортогональной и ортонормированной системами функций? Как вычислить коэффициенты Фурье разложения функции в ряд Фурье? Каков смысл выражения почти всюду? Что понимают под замыканием множества? [1Х] 25.
Что называют линейным дифференциальным оператором и линейным обыкновенным дифференциальным уравнением (линейным ОДУ), нормальной системой ОДУ, уравнениями с частными производными эллиптического, параболического и гиперболического типов? Напишите уравнения Лапласа, Пуассона, теплопроводности и волновое уравнение. В чем различие между задачей Коши и краевой задачей? Что такое начальные и граничные условия? [ИП], [ХН] ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА'ЧЕНИЯ 4 и ~ — начало и окончание доказательства — окончание примера, замечания, теоремы, следствия а б А — элемент а принадлежит множеству А 1-1.1 А = (а, 6, с) — множество А состоит из элементов а, 6, с 1-1.1 — пустое множество 1-1.1 А С В, В Э А — множество А включено в множество В 1-1.2 М вЂ” множество натуральных чисел 1-1.3 Š— множество целых чисел 1-1.3 Я вЂ” множество рациональных чисел 1-1.3 К вЂ” множество действительных чисел 1-1.3 С вЂ” множество комплексных чисел 1-4.3, Х Х х У вЂ” декартово произведение множеств Х и У 1-2.5 К" — произведение (декартово) и множеств действительных чисел (н-я декартова степень множества К); и-мерное линейное арифметическое пространство 1-2,5, 1и (а, 6), (о,6) — отрезок, интервал с концами в точках а и 6 1-1.3 (а, 6), (а, 6] — полуинтервалы с концами в точках а и 6 1-1,3 (х) — абсолютная величина (модуль) числа х 1-1.3 со — объединение бесконечных точек +со и — оо 1-1.3 А =  — из высказывания А следует высказывание В (А— достаточное условие В, а  — необходимое условие А) 1-1.5 А с=ь  — высказывания А и В равносильны 1-1.5 квантор существования (3х — существует такое х, что ...) 1-1.5 квантор всеобщности (Чх — для любого х) 1-1.5 сумма и слагаемых ам аз, ..., а„1-2.6 ь=1 и П а,„ я=1,и произведение и сомножителей ам аз, ..., а„1-2.6 число Й принимает последовательно все значения из множества натуральных чисел от 1 до и включительно 1-2.6 1пп У(х) — предел функции ~(х) в точке а (при х -+ а) 1-7.1 х->а Бх и ау = Бай(х) — приращения аргумента х и функции у = = У(х) 1-6.1 1'(а) — производная функции Дх) в точке а 11 у'(х), у', ду/~Ь, у' — производная фуякции у = Дх) 11 ах и Ыу = ф(х)~ -, — дифференциалы аргумента х и функции у =Дх) в точке а 11 У("~(а) — производная и-го порядка (и-я производная) функции У(х) в точке а 11 — знак интеграла 1Г1 — замыкание области У 1Х х1, хз, хз — координаты точки в декартовой прямоугольной системе координат Ох1хзхз 1.2 ем ез, ез — орты декартовой прямоугольной системы координат Ох1хзхз 1.2 зирХ, зир х — точная верхняя грань множества Х 1-2.7 *ЕХ 1п1Х, 1пГ х — точная нижняя грань множества Х 1-2,7 *ЕХ р и ~р — полярные координаты (радиус и угол) точки на плоскости 1-4.3 14 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ 17 — дифференциальный оператор Гамильтона Ъ'П, 1.3 ЖУ) ВУ) АоВ, АВ 1р — тождественный оператор 1: П -+ й 4.2 А .С(Р, ур) — линейное пространство линейных операторов, дей- кегА (и, е) С[а, Ь] С~(а, Ь]— 1 2(о Ь] Вг (11) дифференциальный оператор Лапласа Ъ'11, 2.1 нулевой элемент линейного пространства 1Ъ~, 4.1 скачок значений функции при переходе через по- верхность разрыва 2.2 нормированное пространство функций, непрерыв- ных на отрезке (а, Ь] 1Х нормированное пространство функций, непрерывно дифференцируемых Й раз на отрезке (а, Ь] 4.1 гильбертово пространство функций, суммируемых с квадратом на отрезке (а, Ь] 1Х гильбертово пространство функций, суммируемых с квадратом в области Й 5.1 система Х функций м„, в = 1, Ж 4.1 последовательность функций и„, и Е Я 4.1 норма элемента или оператора в нормированном пространстве 4.1 расстояние между элементами и и е в метрическом пространстве Й 4.1 — область определения и область значений функ- ции (оператора, функционала) ~ 4.2, 4,4 — композиция, произведение операторов А и В 4.2 оператор, обратный к оператору А 4.2 ствующих из линейного пространства й в линейное пространство И~ Г~, 4.5 ядро линейного оператора А 1Ъ', 4.5 скалярное произведение элементов и и о евклидова (гильбертова) пространства 5.1 15 и 1 о — элементы и и о евклидова (гильбертова) пространства ортогональны 3,1 ю.! М вЂ” элемент аг в евклидовом (гильбертовом) пространстве ортогонален подпространству М 5.1 Единицы измерения физических величин кельвин - основная единица измерения температуры 1.3 Па паскаль — единица измерения давления и механического напряжения 1.3 Используемые сокращения ГИУ ГЭ КЭ вЂ” граничное интегральное уравнение 12.1 — граничный элемент 12.2 — конечный элемент 10 МГЭ вЂ” метод граничных элементов 12 МКР— метод конечных разностей 7.1 МКЭ вЂ” метод конечных элементов 10 ОДУ вЂ” обыкновенное дифференциальное уравнение 4.2 СЛАУ вЂ” система линейных алгебраических уравнений 6,1 кг, м, с — килограмм, метр и секунда — основные единицы измерения массы, расстояния и времени 1.2 Дж, Кл, Н вЂ” джоуль, кулон и ньютон — единицы измерения энергии, электрического заряда и силы 1,2 Вт, А, В, Ом — ватт, ампер, вольт и ом — единицы измерения мощности, силы электрического тока, электрических напряжения и сопротивления 1.3 1б ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ Буквы латинского алфавита Буквы греческого алфавита Наряду с указанным произношением также говорят „лямб- Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят „жи").
1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ 1.1. Особенности постановки задач математической физики Предметом изучения математической физики является теория магясматических моделей физических явлений. Эта теория находится на стыке математики и физики, поскольку такие модели описывают конкретные физические процессы, а методы построения и исследования этих моделей являются математическими.
Однако методы, характерные для математической физики, применимы для изучения не только физических явлений. Эти методы в настоящее время используют в химии, геологии, биологии, экологии, экономике, Находят они применение н в технике при мапземапзмчесмом моделировакми различных технических систем и устройств, под которым понимают адекватную замену исследуемого технического объекта его математической моделью и ее последующее изучение методами вычислительной математики с привлечением современных вычислительных средств.
Столь широкое распространение методов математической физики связано с большой общностью математических моделей, базирующихся на фундаментальных законах природы, в том числе на законах сохранения таких физических субстанций, как масса, энергия, заряд, количество движения и момент количества движения'. Это приводит, в частности, к тому, 'Довольно часто в физике и механике наряду с термином „количество движения" используют термин „импульс".
20 Е ОСНОВНЫЕ ФИЗИ ЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ что одни и те же математические модели описывают явления различной природы. Для математической физики характерно исследование процессов в системе, представляющей обычно некоторую пространственную область, заполненную непрерывной материальной средой (так называемой силоилной средой). В такой области величины, описывающие состояние среды и протекающие в ней физические процессы, зависят, как правило, от пространственных координат и времени. Теоретической основой построения математических моделей таких процессов являются механика и электродинамика сплошных сред. В общем случае модели математической физики описывают поведение системы на трех уровнях: взаимодействие системы в целом с внешней средой; взаимодействие между элементарными объемами системы и свойства отдельно взятого элементарного объема.
Взаимодействие на первом уровне находит отражение в формулировке нраевыя условий, т.е. условий на границе области решения задачи, включающих в общем случае граничные и начальные условия. Второму уровню отвечает описание взаимодействия элементарных объемов на основе законов сохранения физических субстанций и их переноса в пространстве, что позволяет построить математические модели процессов переноса этих субстанций. Наконец, третий уровень соответствует установлению уравнений состпо*ния среды, т.е. построению математических моделей поведения среды в элементарном объеме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
