XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ь Ь Некоторые формулы векторного анализа Рис. 1.$ тождество. Тогда по аналогии с вычислением тройных интегралов вместо (1.21) можно записать У (з~ ез - зм-1) ю~(() = " <(хат "<Ь ю е(х, (1.22) й й У (е~ г'-,к» -~) где Р С К"' 1 — область, которая является проекцией области 11 С К"' на гиперплоскость К"' 1, ортогональную орту е (см, рис. 1.3). дн,„ Пусть ю = —, где и, (хм хе,...,х„,) — функция, непрерывхт ди ная вместе со своей производной — на замыкании й.
В зтом д. случае (1.22) примет вид У'(з1 Ез а'В~ — 1) — е(й = <Ш вЂ” дх й У (зоез»- ' -а) ,*. „г( „*..-.*.-,>)юв +. (*„*..- ... „и „*., -.*.-ойдо. ее левее ж и%ГО е акнемеиемедм 34 Е ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ Так как аргументы подынтегральной функции и интегралов в правой части этого равенства являются координатами точек М" и М„границы дй, то в первом из этих интегралов дВ = и (М")а(дй(М )), а во втором интеграле дР = = — и (М„)д(дй(М.)), где и является направляющим косинусом (относительно орта е„,) единичного вектора й внешней нормали к дй в соответствующих точках, а д(дй) — элементарным участком границы дй в окрестности каждой из этих точек.
Поэтому эти интегралы можно заменить одним интегралом по границе дй и в итоге записать ди — ~И = и и Ы(дй). дх,„ (1.23) ди, — <И = / и;и; И(дй), 1= 1, т. дх; (1.24) й ап Ясно, что произвольную область й С В можно разбить внутренними границами на такие подобласти, для которых сохраняет силу (1.23). Объединяя интегралы по этим под- областям и учитывая, что интегралы по участкам внутренних границ взаимно уничтожатся, поскольку направляющие коси- нусы внешних нормалей в точках таких границ имеют про- тивоположные знаки, заключаем, что (1.23) справедливо для произвольной области с гладкой границей.
Но интеграл в пра- вой части (1.23) не изменит своего значения, если множество точек, в которых подынтегральная функция терпит разрыв, имеет меру Лебега, равную нулю. Поэтому (1.23) верно и в случае кусочно гладкой границы дй. Аналогично (1.23) для любой функции и,(хыхз,...,х ), 1= Ви, = 1, т, непрерывной вместе со своей производной — ' на замыВх, канин й, можно записать 35 д. Ь Ь Некоторые формулы векторного анализа ского еа г ~) — И11= / ~~ яцп;И(д11) дх; й =' * вй =' (1.25) для области Й С К™ в т-мерном пространстве К . Обозначая й = и1е1+ изет ... и — +...+ е и учитывая (1.19) и правиласкалярного умножения в евклидовом арифметическом пространстве К вместо (1.25) приходим к формуле Остроградского в виде , вместо '7Й Нй = йта И(дй), й зй (1.26) где й = п,е1+ пзез+ ..
+ и е„,. П сть в (1.26) й = й~7й, где й, й действительные функции, дважды непрерывно дифференцируемые на замыкании Й. Тогда, выполняя в соответствии с (1.19) дифференцирование, находим Фй =Чи(т7й) + (~7й)~7й = ю7 й+~ Чй)т7йи после подстановки в (1.26) получаем гФ*з»-(ее)ез)ео=1 пееааеа), й й Эй или Г ~7зйдй = й(кй)йп(дй) — (з7й)т7ййзе.
(1.27) й ай й Меняя в (1.27) местами функции й и й и вычитая полученный результат из (1.27), имеем Г ( Ф~ — '7~ ) ИИ = (й'7й — иФй)й И(д11). (1.28) й ай Суммируя по1зти равенства, получаем ф р у у фо м л Оскарогрод- 36 К ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ В трехмерном случае (тп = 3) оператор и соответствует дифференциальному оператору Гамильтона Ч, а Фз — оператору Лапласа T~, часто обозначаемому Ь. Обозначив в (1.27) и (1.28) трехмерную область й символом )', а поверхность дй символом 5, приходим к известным первой и второй формулам Грина итт7~и тЛ' = иЯи) и тБ — (т7и) йитЛ7, (1,29) ~~ н установленным английским математиком и физиком Дж.
Грином (1793 — 1841) в 1828 году в связи с его исследованиями по теории потенциала. Здесь и и и — действительные функции, дважды непрерывно диФференцируемые на замыкании 1т области 1т„п — единичный вектор внешней нормали к Я. Равенство (1.29) иногда называют предварительной формулой Грина. Таким образом, (1.27) и (1.28) можно рассматривать как обобщение первой и второй формул Грина на тп-мерный случай. Отметим, что при приближенном решении задач математической физики нередко возникает необходимость в преобразовании интегралов по области Ъ', содержаших вместо хан выражение вида T(Л 17и), где Л(М) — действительная функция, имеющая на замыкании Г' кусочно непрерывные производные по координатам точки М Е )7.
В зтом случае вместо формул (1.29) и (1.30) будем иметь и17(Л 17и) сВ' = Ли(т7и)п т18 — Л(туи) т7и т(тт, (1.31) У ит7(ЛЧ7и) = ит7(Лии)т11т+ Л(Л7и — ит7и)пт(5. (1.32) 37 Вопросы и задачи Ясно, что при А = сопв1 эти формулы переходят в формулы (1.29) и (1.30). Вопросы и задачи 1,1. Доказать, что если функция )(г) дважды непрерывно а ФФ Р-и ру * ° =ч)Гг1~4, -ч1()=у() ) Рз ) (г) = ?п(г) + 2~'(г)/г, где х = х)е( + хяез + хзез и е;, 1 = = 1, 2, 3, — орты прямоугольной системы координат Ох)х2хз.
1.2. Доказать, что объем ~', ограниченный поверхностью 5, можно вычислить по формуле = — ( (1?~~) ~(15, 6„/ где х — радиус-вектор точки поверхности, а о — единичный вектор внешней нормали к поверхности в зтой точке. 1.3. Доказать справедливость формул (1.31), (1.32). 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИ'ЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ 2.1. Закон сохранения массы Пусть скалярное поле плотности среды и векторное поле скорости движения этой среды заданы в некоторой области П С К~ непрерывно дифференцируемымн функциями р = = р(1,М) и и = п(1,М) времени 1 и координат я;, 1= 1, 2, 3, точки М е П в прямоугольной системе координат Ох1хзхз. Рассмотрим в этой области произвольную подобласть У, объем которой обозначим тем же символом У.
В этой подобласти в некоторый момент времени 1 находится в соответствии с (1.4) масса сплошной среды т = .р(1, М) дУ. Пусть точки поверхности о, ограничивающей объем У, движутся вместе с частицами среды. Тогда масса среды в этом изменяющемся во времени объеме У(1) остается постоянной, поскольку частицы среды не пересекают поверхность 5.
Поэтому в соответствии с (1.8) имеем — = — ~ р(й,М)дУ= ~ ( — +Ч(ри))дУ=О. (2.1) $'р) Это равенство является одной из интегральных форм закона сохранения массы. В фиксированный момент времени 1 выделим некоторый объем У„(1) С У(1), ограниченный поверхностью 5„, точки которой также движутся вместе с частицами среды. Поэтому 3О 2.1. Закон сохранения массы 1 /' др л„-+о Ъ'„(1) 1 д1 1!т — ( — + ~7( рн) ) Л' = ~'„(ю1 +чу(Я,М),(1,М)) =О. др(1, М) Отсюда получаем локальную форму закона сохранения массы — + С7(р ) = О.
др д1 (2.2) В системе координат, движушейся вместе с частицей среды, изменение плотности во времени описывается полной производной Ыр/Й = — + е(~7р), равной сумме локальной — и ар . а, дс вс конвективной (или переносной) производных. Так как ~7(ре) = = р~7е+ н(~7р), то вместо (2.2) можно написать — + рТ7н = О. др Й (2.3) В механике сплошной среды (2.2) и (2.3) называют уравмемилляи неразрыв ностпи. Если среда несжимаема, то ее плотность неизменна, хотя в случае неоднородной среды в различных точках пространства и в различные моменты времени она может иметь разную плотность.
Но в системе координат, движущейся вместе с любой частицей несжимаемой среды, с1р/с11 = О. В этом случае уравнение неразрывности принимает наиболее простой вид (2.1) сохраняет силу и для объема 1~„(1). Обозначим через И„ диаметр области, соответствующий этому объему.
Пусть последовательность (Ъ'„(1)) объемов Ъ'„(1) С Цс), и с г1, такова, что при с1„— + О они стягиваются в точку М б П. Тогда при условии непрерывности подынтегральной функции в (2.1), согласно теореме о среднем значении для тройного интеграла 1ЧП1, из (2.1) следует, что 40 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИИ Ясно, что (2.4) справедливо и для однородной несжимаемой среды при р=сопя1, что следует и из (2.2).
Отметим, что в случае несжимаемой среды операции интегрирования по изменяемому во времени объему и дифференцирования по времени можно менять местами. Действительно, для объемной плотности С некоторой физической субстанции, используя (1.8) и выражение для полной производной, имеем — Слl = ( — + ~7(Сту)) Лl = ( — + С'17о) сйl (2 5) аС Й дс а1 Отсюда в случае несжимаемой среды с учетом (2.4) заключаем. что Если в (2.5) положить С: — 1, то в случае сжимаемой среды с учетом уормулы Осгараградского -- Гаусса будем иметь й~ — = / ~7оИЪ'= отвс(о.
а'1 „/ Таким образом, дивергенция ~7ц(1, М) является локальной скоростью относительного увеличения элементарного объема в окрестности точки М в момент времени 1. Очевидно, что для несжимаемой среды в соответствии с (2.4) эта скорость равна нулю, т.е. объем области, занятой средой, остается постоянным, но область может изменять свою форму. Пусть С = рС„„где С„, = С (1,М) — количество физической субстанции, приходящейся на единицу массы среды, находящейся в момент времени 1 в окрестности точки М.
Тогда, заменяя в (2.5) С на рС и учитывая (2.3), в случае непрерывной дифференцируемости по времени 1 функций р(8,М) и 41 2. Ь Закон сохранения массы С (1,М) получаем ',~рс а = /(арс !',с ч.)ю= =~р — н$ +~с„( — +рг )В'=~р — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
