XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 15
Текст из файла (страница 15)
2.4). Если в неподвижной среде происходит перенос только тепловой энергии, т.е. Ц = О, и = и, 1г — — 1~,, и массовая (Е) (Е) И) плотность внутренней энергии зависит лишь от температуры Т, то (3.53) переходит в дифференциальное уравнение (2.53) нестационарной теплопроводности. В более общем случае и может зависеть не только от температуры, 1 может харак- (Е) теризовать объемную мощность выделения не только тепловой энергии, а д(е) быть суммой векторов плотности потоков различных видов энергии (например, тепловой и энергии электромагнитного излучения). Однако при этом могут возникнуть 107 3.4.
Уравнение нереноеа энергии в среде распределенные по объему и поверхности моменты (в частности, при взаимодействии среды с злектромагнитным полем"), "( ..4 что может нарушить симметрию тензора напряжений (см. 2., 3.3) и потребовать уточнения уравнения (3.53). ВЕ Вернемся к закону сохранения знергии в виде — = Иг+(3л+ +Як и снова используем (3.44) — (3.46), (3.48) и (3.49). Тогда, заменяя в (2.5) С объемной плотностью е энергии и учитывая (3.42), получаем НЕ с1 ( (де — — с Н$' = — + с7(ео)) сй' = У(с) У(с) Ьо с(с'+ )пес(5 — д(е)пс(д+ 1еЯ/ = У(с) оэ Я Я у(с) (Ьп+ 'Р(ссэчосе ) — с(7с7( )+ 7, ) с(К ее У(с) или ( — + ~7(со+ су(~) — о си е .) — 7У ) + Ьи) ссэ' = О. (3 54) с с 1 (. дс Отсюда следует, что — + с7(еес+ (и) — сэс;о;еу) = 7у( ) — Ьес, с, у = 1, 2, 3.
(3.55) д$ Интегральная форма (3.54) закона сохранения знергии оста(/ рз ется в силе и в том случае, если множество точек в 1' Е которых подынтегральная функция не является непрерывной, имеет меру Лебена, равную нулю. Пусть зто множество образует поверхность Я", которая делит область э' на две подобласти См., например: Моэееи Ж. 108 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД $'~ и $з. Для получения условий на такой поверхности разрыва введем в четырехмерном евклидовом арифметическом пространстве К~ с ортонормированным базисом е = (еь еы ез, ез) вектор е = еоое~+се+01е1 — о„,сче1, где, как и в (2.25), ее произвольная константа, имеющая размерность скорости.
Используя векторный оператор (2.26), вместо (3.55) запишем ~е = 11, 1 — Ье. (3.56) Теперь процедура, аналогичная использованной в 2.2, приведет к следующим условиям на поверхности разрыва Я*: '1(со+01~1 — о„и,е )и"~ = [с)о"в*+1~1 1 — р'е, (3.57) где о* — вектор скорости перемещения точек поверхности о'*; п' — единичный вектор нормали к о', 1 — мощность источников энергии, действующих на поверхности Я; р*— плотность внешних поверхностных сил, которые могут быть приложены на этой поверхности (см.
2.4). 3.5. Уравнения Максвелла Математические модели, описывающие электромагнитные процессы в сплошнов среде, используют ряд известных физических понятий и законов. Электромагнитное поле характеризуют векторными функциями Е = Е(1,а) и Н = Н(1,ю) напряженности электрического и магнитного полей соответственно, где 1 — — время, а — радиус-вектор точки в прямоугольной системе координат Ох~хзхз.
Для среды, обладающей диэлектрической с и магнитной и проницаемостями, вводят также векторы электрического смещения В = асеЕ и магнитной индукции В = рроН (се — 8 8542 10 'з — и пе = 4я 10 "= 1,2566 10 е —-- 109 З.о, уравнения Максвелла 1 электрическая и магнитная постоянные, причем = с ~Форо -2,9979 108 м/с — скорость света в вакууме). Электромагнитные процессы в такой среде описывают уравнения Максвелла* (3.58) — =с ~7 1р. 2 2 де2 (3.59) При установившыхся колебаниях с некоторой частотой оо форма волны для каждой нз этих проекций, описываемая функцие1" 'Дж.К. Максвелл (1831-1879) — шотландский физик и математик, дВ т7 х Е+ — = О, ~7В = О, д1 дР T х Н вЂ” — =,у1'1, 17Р = р„ до где Π— нулевой вектор; у('1 — вектор плотности электрического тока; р, — обьеленая плотность электрического заряда.
В (3.58) модули векторов Е н Н измеряют в В/м и А/м соответственно, что предписано системой единиц СИ. Связь между 71'1 и Е для изотропной среды при отсутствии распределеыных сторонних источников злектродвижущей силы (ЭДС) устанавливает закон Ома в виде (1.14).
В случае анизотропной среды, свойства которой зависят от направления, вместо электрической проводимости о в (1.14) следует использовать тензор второго ранга коэффициентов электрической проводимости. Запись (3.58) предполагает, что среда неподвижна относительно сыстемы координат Ох1хзхз, а эта система иыерцыальна, т.е.
неподвижна или движется поступательно с постоянной скоростью. Отметим, что вакууму соответствуют значения г = = р = 1. Кроме того, в вакууме 7('1 = О, т.е. о' = О, и обычно р, = О. Можно показать (ХП), что тогда при возникновении электромагнитных колебаний каждая нз проекций векторов напряженности электрического и магнитного полей, соответствующая функции ~р времени и пространственных координат, будет удовлетворять волновому уравнению вида 110 3.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД и только пространственных координат, удовлетворяет уравне- нию Гельл4гольца дз д. сг ~уз, д1з гео д1 ер (3.61) В частном случае постоянного электрического поля в покоящейся среде, называемого электростатическим, из (3.58) следует система уравнений электростатики ~7 х.Е=О, (3.62) ~7Р = р,. В случае постоянного магнитного поля в неподвижной среде из (3.58) имеем систему уравнений магнитостатики Ч х Н = уц'1, ~7В = О.
(3.63) Первое уравнение (3.62) есть условие потенциальности электростатического поля, для которого с помощью соотношения Е= -'1Ус1 можно ввести потенциал У. Из второго уравнения (3.62) при Р=ееоЕ получаем чу(чуеЮ) + — = О. ео (3.64) Если диэлектрическая проницаемость среды е = сопаФ, то из (3.64) следует уравнение Пуассона „.узг + Ре еео (3.65) Так как объемная плотность р, электрических зарядов в электростатическом поле не изменяется во времени, то в среде отсутствует электрический ток. Поэтому в средах с электри- %'~и+ — и = О. (3.60) сз В среде с электрической проводимостью о ) 0 колебания будут затухающими, а вместо (3.59) при г ф 1 и и ф 1 получим так называемое гпеяеграфное уравнение 3.5. Уравнения Максвелла ческой проводимостью а.
> О (например, в металлах) в соответствии с (1.14) должно быть Е = — '(Ч1= О, т.е. У = сопвс и, согласно (3.65), р,: — О. Это означает, что если металлическое тело объемом Р', ограниченным поверхностью Я, имеет электрический заряд О„ то он будет сосредоточен на поверхности тела. Пример 3.2. Пусть в полости заземленного металлического тела с внутренней поверхностью Яе расположено тело нз металла, ограниченное замкнутой поверхностью 5. (рнс.
3.3). В области $~ между этими телами находится среда с диэлектрической проницаемостью с(М) и объемной плотностью р,(М) электрических зарядов, а внутреннее тело заряжено до потенциала Р. относительно заземленного тела. В этом случае распределение потенциала (1(М) описывается уравнением (3.64) г граничными условиями Й7(Р ) = СУо = О, Р Е Яа, '(7(Р ) = ЕУ, Р Е 5 ° (3.66) Рис. З.З Интегрируя второе уравнение (3.62) по области $~, с учетом формулы Остроерадского — Гаусса находим | ЧУ(М) й/ = 3Э(Р)п(Р)<Б+ Я, + П(Р)Ы,Р) г(Я = р,(М) т, 112 а мАТеМАТИчЕскИе МОДЕЛИ нЕкОТОРЫХ СРЕД где п(Р) — единичный вектор внешней (относительно области Г) нормали в точках Р поверхностей Ь', и Яо.
Это соотношение останется верным и в частном случае р,(М) е— н О. В этом случае получаем равенство Р(Р)п(Р) е18 = — Р(Р)п(Р) ИВ. (3.67) Р(Р)п(Р)с(о = р(')(Р)с(Я. (3.68) При р,(М) = 0 рассматриваемую систему характеризуют элек- трической емкостью С = Я~б;. При изучении электромагнитных процессов в поляризующихся и (или) намагничивающихся средах уравнения (3.58) Максвелла рассматривают совместно с соотношениями Р =соЕ+ Р и В =Ив(Н+ М) (3 69) где Р и М вЂ” векторы электрической поляризованности и намагниченности среды соответственно. В некоторых случаях для сред, называемых диэлектриками, можно принять Р = соХООЕ, Р = гав Е, с = 1+ Х('), (3.70) Если ввести поверхностную плотность электрического заряда р (Р) = Р(Р)п(Р), то (3.67) можно интерпретировать как 1е) равенство по абсолютной величине электрического заряда Я, сосредоточенного на поверхности Я. внутреннего тела, и наведенного электрического заряда на поверхности Ео заземленного тела.
Таким образом, решение краевой задачи (3.64), (3.66) позволяет определить векторную функцию Р(Р) =с(Р)яоЕ(Р) = =-с(Р)Гот7~3(Р), Р б,э' = о.).) Яо, электрического смещения и поверхностную плотность р = Р(Р)п(Р) электрического за(е) ряда, а затем, используя (3.67), вычислить заряд внутреннего тела 3.5. Уравненнл Максвелла Из где )((') — электрическая восприимчивость среды.
Для сред, относящихся к днамагнетикам и парамагнетикам, можно также испольэовать линейные соотношения М=Х( )Н, В =рроН, р=1+Х( ), (371) где )(( ) — магнитная восприимчивость. Ясно, что для анизотропных сред )((е) и ~( ), а значит, е и р будут тензорами второго ранга, а единицу в последних равенствах (3.70) н (3.71) заменит единичный тензор второго раиса. Для некоторых сред зависимость Р от Е и М от Н нелинейна и даже не является Р однозначной функцией. Так, для сегнетоэлектриков график зависимости Р от Е имеет вид петли гистерезнса (рнс. 3.4). На рисун- О Е ке стрелками отмечено направление движения точки по кривой при возрастании и убывании модуля Е = )Е~ с учетом смены направления Рмс. 3.4 вектора Е на противоположное, что условно соответствует значениям Е < О.
При этом с некоторым запаздыванием происходит смена на противоположное направление и вектора Р, что также условно соответствует значениям Р < 0 модуля Р = )Р~. Аналогичный вид имеет график зависимости М от Н для ферромагнетиков. На характер указанных зависимостей могут повлиять механические напряжения в среде (так называемые пьезоэлектрический и пьезомагнитный эффекты, которые широко используют в технических устройствах).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
