XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В этом случае возникают дополнительные составляющие электрической поляризованности и намагниченности, выражаемые векторами Р(с) =Ы(с)Р и М(с) е( )о где а — тензор напряжений второго ранга; сл(с) и ся("')— тензоры третьего ранга пьезоэлектрических и пьезомагнитных коэффициентов. 'Смс Сиротин Ю.И,, Шаскольскал М.П. 114 3.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД Следует отметить существование и обратных пьезоэлектрического и пьезомагнитного эффектов, когда электрическое и магнитное поля вызывают деформацию ~реды. В некоторых средах возникает деформация, пропорциональная квадрату напряженности электрического или магнитного поля и неизменяемал при изменении направления вектора напряженности на противоположное. Эти явления называют соответственно электрострикцией и магнитострикцией. Они, в свою очередь, могут повлиять на поляризуемость и намагничивание среды. Некоторые среды обладают так называемыми прямым и обратным магннтоэлектрическими эффектами: поляризуются под действием магнитного поля и намагничиваются под действием электрического поля.
Дополнительные составляющие электрической поляризованности и намагниченности в этом случае можно представить в виде Р1 ~ =СН и М1'1=0 'Е, где С вЂ” тензор второго ранга магнитоэлектрических коэффициентов. Таким образом, математические модели взаимодействия среды с электрическим и магнитным полями достаточно сложны и многообразны. Дополнительное усложнение таких моделей связано с необходимостью учитывать влияние температурного состояния среды на ее свойства.
Но при всем разнообразии этих моделей уравнения Максвелла остаются в силе, являются универсальными и сохраняют свое фундаментальное значение. Отметим, что если к третьему уравнению (3.58) применить операцию дивергенцин и использовать четвертое уравнение 13.58), то придем к локальной форме закона сохранения электрического заряда (2.46) прн условии, что в среде отсутствуют источники заряда (1, = 0). Силы воздействия электромагнитного поля на среду называют пондеромоторными.
На неподвижную относительно выбранной инерциальной системы координат среду при отсут- !15 3.5. Уравнения Максвелла ствии электрической поляризации и намагниченности (~1е1 = 1 = О, т.е. с = р = 1) действует так называемая сила Лоренца, вектор объемной плотности которой равен Ь1'1 = р,Е+ роу1е) х и. (3.72) Для электрически поляризованной н намагниченной неподвиж- ной среды с. учетом правила суммирования по повторяющемуся индексу имеем* Ь1'1 = реЕ+у1'1 х В+ + -(Р'чуЕ, — Е1ЧР'+рол7'туО, рой туЫ;), (3.73) 1 'Смл Седое Л.н. 'Сма Монсен Ж. где индекс 1= 1,2, 3 указывает номер координатной оси Ох;, на которую спроектирован соответствующий вектор. Если для среды справедливы 13.70) и 13.71), причем электрическая н магнитная восприимчивости являются скалярами и не зависят от координат, то выражение в круглых скобках в 13.73) равно нулю.
Это выражение может быть отлично от нуля для анизотропной среды или в случае, когда электрическая н магнитная восприимчивости зависят от координат. Ясно, что при взаимодействии среды с электромагнитным полем пондеромоторные силы должны быть учтены в уравнениях движения нли равновесия (см. 2.4). Более того, в общем случае прн таком взаимодействии возникают распределенные в объеме среды моменты 1пары сил), что приводит к утрате свойства симметрии тензором напряжений".
Известно, что объемная плотность энергии электромагнитного поля в вакууме равна и = 1соЕ~+ роО )/2. Направление и интенсивность переноса этой энергии характеризуют вектором 5 = Е х О Умова — Пойнтинга, введенном в работах русского физика Н.А. Умова 11846-1915) и английского физика 116 а МАТеМАтичеСКИе МОДели некОтОРых сРед дН дЕ Н(СУ х Е) — Е(17 х Н) = — дон — — еоŠ—. д1 д1 Отсюда в силу Н( з7 х Е) — Е(~7 х Н) = ~У(Е х Н) 1ЧЩ прихо- дим к уравнению Умова — Пойнтинга ды — +79=0, дв (3,74) которое является локальной формой закона сохранения энергии электромагнитного поля в вакууме.
Аналогично из (3.58) следует уравнение Умова — Пойнтинга — + T Я+ у(') Е = О, и =,Š— + Н вЂ”, (3.75) дш,, дХ) дВ дс д1 д1 для электрически поляризуемой и намагничиввемой ~реды. Слагаемое у1')Е характеризует для неподвижной среды так называемое джоулево тепло, т.е. объемную мощность 1д вс(е) точников тепловой энергии, передаваемой среде при ее взаимодействии с электромагнитным полем. Эти источники должны быть учтены в уравнении (3,53) переноса энергии.
В среду также поступает энергия, затрачиваемая на электрическую поляризацию и намагничивание. Объемная мощность источников этой энергии равна д(й> — в) д.О дЕ дВ дН = Е( — — ео — )+Н( — — до — ) = 1р+ 1М, где с учетом (3.69) дР 1Р=Š— и д1 дМ 1м = РоН д1 (3.76) Дж. Г. Пбйнтинга (1852-1914). Если первое и третье уравнения (3.58) сквлярно умножить на Н и Е соответственно и затем, приняв для ваккума с = )з = 1 и у1') = О, из первого результата вычесть второй, то получим 3.6. Электромагнитные процессы в движущейсв среде 117 Если зависимость Р от Е (или М от Н) имеет вид петли гистерезиса 1см. рис.
3.4), то часть затрачиваемой на процессы поляризации (или намагничивания) энергии электромагнитного поля может переходить в теплоту, что также следует учтывать в уравнении 13.53) переноса энергии. 3.6. Электромагнитные процессы в медленно движущейся среде Выше 1см. 3.5) приведены уравнения 13.58) Максвелла для электрически поляризованной и намагниченной среды, неподвижной относительно некоторой иперциальной системы координат. Их запись будет неизменна 1инвариаитна), если при переходе к другой инерциальной системе координат, движущейся относительно прежней поступательно с постоянной скоростью, применить преобразование, предложенное в 1904 году нидерландским физиком и математиком Х.А. Лоренцом 11853-1928).
Пусть оси системы координат О'х',х' х' параллельны соответствующим осям системы координат Ох1хзхз и точка О' движется относительно точки О вдоль оси Ох| с постоянной скоростью и в положительном направлении этой оси (рис. 3.5). Тогда прн преобразовании Лоренца время н координаты в этих системах будут связаны соотношениями Х1 Рис. З.в 118 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД где с — скорость распространения электромагнитных волн в вакууме. Этн соотношения отличаются от формул преобразо- вания Галилея с хз = хз 1 =1, / х,=х — ц(, Р хг — — хг, относительно которого инвариантны уравнения классической (нерелятивистской) механики. При сравнительно медленном движении среды можно пренебречь значением нг/сг по сравнению с единицей и при преобразовании системы координат использовать приближенные формулы. В этом случае (3.58) будут инвариантны относительно преобразований Галилея, если в новой ииерциальной системе координат, движущейся относительно прежней со скоростью Ъ', принять" Е'=Е+Ъ'хВ, В'=В-, у(') =у(')-Ъ'р„ 'к" х Е сг ' " (3 77) Р =Р+гдЪ1хВ~ Н =Н 1 ХР~ Ре Ре1 т7 х Е = О, Г7Р = р„е(7 х Н = — +,у('), 1(7В = О.
дР д1 'Г. Галилей (1664-1642) — итальянский физик, механик н математик. *'Смл Монсен Ж. "*Г. Минковский (1864 — 1909) — немецкий математик н физик. где величины со штрихом относятся к новой системе координат, а соответствующие им величины без штриха — к прежней системе. Г. Минковский"' сформулировал принцип, позволяющий использовать (3.77) при произвольном поле скорости среды, задаваемом в прежней системе координат векторной функцией н = н(1, х), если в (3.77) Ъ' заменить на н. Тогда в рассматриваемом приближении уравнения (3.58) будут справедливы для элементарного объема движущейся среды в сопутствующей системе координат, движущейся вместе с этим объемом. В частном случае, когда(Н) «(о!'(Р(и)В) «)п)(Е), в (3.77) можно принять Е' = Е и 1У = Р, а (3.58) привести к виду здь злентромвгннтные процессы в движущейся среде 119 В этом приближении изменение электрического поля порожда- ет магнитное поле, но обратным эффектом (электромагнитной индукцией) пренебрегают.
С учетом (3.77) в прежней системе координат для движущейся среды имеем Ре воЕ+Р В=до(Н+4яМ), уц'~=пЕ+реи, где и — электрическая проводимость среды. В случае, когда (Е! « )и))В) и )о!(Р(« (Н), в (3.77) допустимо принять Н' = Н и В' = В, а (3.58) записать в виде %'хЕ= — —, ~7Р=р„я7хН=71е1, ~7В=О. дВ дс Здесь учитывается эффект электромагнитной индукции, поро- ждающий электрическое поле при изменении магнитного поля, но пренебрегается обратным (магнитоэлектрическим) эффек- том. Принимая во внимание (3.77), получаем Р =еоЕ+Р В = ро(Н+ М), уче1 = о(Е+ и х В) + р,и. (3.78) — + ~7(ри) = О, др д1 (3.79) 'Смс Седое Хй. Пример 3.3.
В математической модели магнитной гидро- динамики обычно принимают*, что в движущейся проводящей среде отсутствуют поляризация и намагниченность, т,е. Р = = еоЕ и .В = роН, но может протекать электрический ток (73'~ ф О), причем (ииР! << (Н), так что приближенно Н'= Н. Будем считать, что среда идеальная (невязкая) и имеет плотность р.
Тогда уравнение неразрывности имеет вид (2.2) 120 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД а вместо векторной формы (3.2) уравнений Эйлера получим ап р — + ~р= 5+а1'1, а1 (3.80) где р — давление, и в соответствии с (3.72) и (3.77) (с заменой Ъ' на е) в инерциальной системе координат вектор объемной плотности силы Лоренца Ь1'1 = р,(Е+ и х В)+тй'1 х В, причем вектор у01 плотности электрического тока задан по- следним равенством в (3.78). В уравнении (3.53) переноса энер- гии мощность объемных источников энергии, обусловленных выделением джоулева тепла (см.
З.б), равна 1Е = уй'~ (Е+ е Х В). К указанным соотношениям необходимо добавить уравнения Максвелла (3.58), записанные с.учетом приближенного равен- ства Н' = Н в сопутствующей системе координат, движущейся с элементарным объемом среды: дН 17 х Е'+Ив — =0 дЕ' т7 х Н вЂ” ев — — — я~'~, д1 17Н=О, (3.81) Т~Е'= р,. уй'1 = ~7 х Н, р, = О, (3.82) В частном случае бесконечно большой электрической проводимости (а-+со) среды математическую модель магнитной гидродинамики удается упростить. Так как плотность электрического тока должна быть конечной, из последнего равенства (3.78) следует, что Е = — е х В = -рве х Н, т.е. напряженность электрического поля в идеальном проводнике в сопутствующей системе координат равна нулю (Е' = 0). Тогда из третьего и четвертого уравнений (3.81) имеем 3.6. Электроны нитные процессы в двнжушейсв среде 121 а первое и второе уравнения (3.81) дают — =Чх(ихН), ЧН=О. ДН дС (3.83) Ясно, что для идеального проводника !р, = О, а в (3.80) ЬС'1 = = (Ч х Н) х В = Сгв(Ч х Н) х Н.
Используя формулы векторного анализа [ЪП], с учетом второго уравнения (3.83) находим Ч х (о х Н) = (НЧ)о — (сЧ)Н+о(ЧН) — Н(Чо) = = (НЧ)ц — (оЧ)Н вЂ” Н(Чи), (Ч х Н) х Н = (НЧ)Н вЂ” -'ЧНг, 1 2 Тогда из (3.80) и первого уравнения (3.83) получим два вектор- ных уравнения р — +Чр= Ь+ р (НЧ)Н вЂ” — ЧН, Ыо Сго г Й 2 дН вЂ” = (НЧ)и — (оЧ)Н вЂ” Н(Чи) дс (3.84) относительно двух векторных функций о и Н и двух действи- тельных функций р и р. Вместе с (3.79) и уравнением состояния р = р(р) уравнения (3.84) составляют замкнутую систему. Предположим, что все неизвестные функции зависят лишь от одной пространственной координаты хм причем вектор е скорости среды имеет лишь одну ненулевую проекцию и на координатную ось Охм а Ь= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
